1、2018年陕西省高三教学质量检测试题（一）数学（理）第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，则中元素的个数（ ）A0 B1 C2 D32.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.已知命题对任意，总有；“”是“”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）A B C D4
2、.已知等差数列的前项和为，且，.若，则（ ）A420 B340 C.-420 D-3405.设，定义符号函数，则函数的图像大致是（ ）A B C. D6.将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A12种 B10种 C.9种 D8种7.若变量满足约束条件，则的最大值为（ ）A4 B3 C.2 D18.已知与均为正三角形，且.若平面与平面垂直，且异面直线和所成角为，则（ ）A B C. D9.运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为，从集合中任取一个元素，则函数，是增函数的概率为（ ）A B C. D1
3、0.已知为所在平面内一点，则的面积等于（ ）A B C. D11.过双曲线的右焦点作圆的切线（切点为），交轴于点.若为线段的中点，则双曲线的离心率是（ ）A B C.2 D12.若函数存在极值，且这些极值的和不小于，则的取值范围为（ ）A B C. D第卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题，每小题5分，共20分）13.若直线是抛物线的一条切线，则 14.若函数，的图像关于原点对称，则函数，的值域为 15.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑中，平面，则该鳖臑的外接球的表面积为 16.已知的内角的对边分别是，且，若，则的取值范
4、围为 三、解答题（本大题分必考题和选择题两部分，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）（一）必考题（共5小题，每小题12分，共60分）17.已知在递增等差数列中，是和的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）若，为数列的前项和，求的值.18.如图，四棱柱的底面是菱形，底面，.（）证明：平面平面；（）若，求二面角的余弦值.19.随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：（）根据以上数据，能否在犯错误的概
5、率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关？（）现从所抽取的30岁以上的网民中，按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出3人赠送优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用共享单车的概率.将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用共享单车的人数为，求的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：20.已知椭圆的左右焦点分别为和，由4个点，和组成了一个高为，面积为的等腰梯形.（）求椭圆的方程；（）过点的直线和椭圆交于两点，求面积的最大值.21.设函数，.（）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减
6、区间和极小值（其中为自然对数的底数）；（）若对任何，恒成立，求的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；（）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（）解不等式.（）记函数的值域为，若，证明.试卷答案一、选择题1-5:DBDDC 6-10:ABDCB 11、12：AC二、填空题13.-4 14
7、. 15. 16. 三、解答题17.解：（）由为等差数列，设公差为，则.是和的等比中项，即，解之，得（舍），或.（）.18.（）证明：平面，平面，.是菱形，.，平面.平面，平面平面.（）平面，以为原点，方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.，.则，.设平面的法向量为，.令，得.同理可求得平面的法向量为.19.解：（）由列联表可知，.，能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关.（）依题意，可知所抽取的10名30岁以上网民中，经常使用共享单车的有（人），偶尔或不用共享单车的有（人）.则选出的3人中至少2人经常使用共享单车的概率为.由列联表，可知抽到经常使用共享单位
8、的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用共享单车的市民的概率为.由题意得，；.20.解：（）由条件，得，且，.又，解得，.椭圆的方程.（）显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为，直线与椭圆交于，联立方程，消去得，.直线过椭圆内的点，无论为何值，直线和椭圆总相交.，.令，设，易知时，函数单调递减，函数单调递增，当，设时，的最大值为3.21.解：（）由条件得，曲线在点处的切线与直线垂直，此切线的斜率为0，即，有，得.，由得，由得.在上单调递减，在上单调递增.当时，取得极小值.故的单调递减区间，极小值为2.（）条件等价于对任意，恒成立，设，则在上单调递减.在上恒成立.得恒成立.（对，仅在时成立）.故的取值范围是.22.解：（）直线的直角坐标方程为，曲线.曲线为圆，且圆心到直线的距离.曲线上的点到直线的距离的最大值为.（）曲线上的所有点均在直线的下方，对，有恒成立.即（其中）恒成立.又，解得.实数的取值范围为.23.解：（）依题意，得，于是得，或，或，解得.即不等式的解集为.（），当且仅当时，取等号，.原不等式等价于.，.