1、解三角形1、正弦定理：在中，、分别为角、的对边，则有CAabcAC(为的外接圆的半径)2sinsinsinabcRCARCA2、正弦定理的变形公式：，；2 sinaRA2 sinbR2 sincRC，；sin2aRA sin2bR sin2cCR:sin:sin:sina b cCARAaCBAcba2sinsinsinsin3、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCacAA 4、余弦定理：在中，有，推论：CA2222cosabcbcA222cos2bcabcA 5、正、余弦定理的适用范围：对任意三角形适用6、三角形中的其他常用结论（1）；CBA（2）任意两边之和大于第三
2、边，任意两边之差小于第三边；（3）角的转换：2sin)2cos(,2cos)2sin(),cos(cos),sin(sinCBACBABACBAC（4）大角对大边，大边对大角：BABAbasinsin（5）在锐角三角形中：2cossinBABA解三角形题型分类一、已知三元素，解三角形（核心知识）（1）已知三角（AAA），不能解三角形（2）已知两角一边，包括 AAS，ASA 两种AAS：1、(2012高考广东卷)在ABC 中，若A60，B45，BC3，则 AC()2A4B2C.D.333322、（2016 年全国 II 高考）（13）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 co
3、sA=，cos C=，a=1，则 b=.45513【答案】2113ASA：（3）已知一角两边，包括 SSA，SAS 两种SSA 型：（难点：注意大角对大边，大边对大角）3、（2017 全国文 3.15）的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 C=60，b=ABC，c=3，则 A=_.6【答案】75【解析】由正弦定理，得，sinsinbcBC36sin22sin32bCBc结合可得，则.bc45B 18075ABC2016 全国文 1（4）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知，则5a 2c 2cos3A b=（A）（B）（C）2（D）323【答案】D【解析】试题
4、分析：由余弦定理得，解得（舍去），选 D.3222452bb3b31b考点：余弦定理SAS：（4）已知三边 SSS，二、已知 1-2 个元素，可间接出 2-1 个元素，解三角形2017全国3（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，ABCsin3cos0AA2 7a 2b（1）求c；【解析】（1）由得，sin3cos0AA2sin03A即，又，3AkkZ0,A，得.3A 23A 由余弦定理.又代入并整理2222cosabcbcA12 7,2,cos2abA 得，故.2125c 4c 2014新课标全国卷钝角三角形 ABC 的面积是，AB1，BC，则 AC122()A5B.C2D1
5、54B解析 根据三角形面积公式，得 BABCsin B，即 1sin B121212212，得 sinB，其中 CA.若 B 为锐角，则 B，所以 AC2241AB，易知 A 为直角，此时ABC 为直角三角形，所以122 1 2 22B 为钝角，即 B，所以 AC.34122 1 2 (22)5三、方程法，解三角形：条件为元素之间的关系，且涉及元素超过三个或不易直接求出单个元素的。【2015 高考天津，理 13】在中，内角所对的边分别为，已知ABC,A B C,a b c的面积为，则的值为.ABC3 1512,cos,4bcA a【答案】8【解析】因为，所以，0A215sin1cos4AA又，
6、解方程组得，115sin3 15,2428ABCSbcAbcbc224bcbc6,4bc由余弦定理得，所以.2222212cos64264644abcbcA 8a（2016 年全国 I 高考）的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABC2cos(coscos).C aB+bAc（I）求 C；（II）若的面积为，求的周长7,cABC3 32ABC【解析】(1)2coscoscosC aBbAc由正弦定理得：2cossincossincossinCABBAC2cossinsinCABC，ABC0ABC、，sinsin0ABC，2cos1C 1cos2C 0C，3C 由余弦定理得：222
7、2coscababC221722abab237abab133 3sin242SabCab6ab 2187ab5ab周长为ABC57abc其中第 2 问，涉及元素有角 C，边 c，a,b 四个元素四、边角转化2017 全国 1（12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为23sinaA（1）求 sinBsinC;（2）若 6cosBcosC=1，a=3，求ABC 的周长.【考点】：解三角形。【思路】：根据三角形面积公式可以求得第一问，第二问直接利用余弦定理求解即可。【解析】：（1）由题意可得21sin23sinABCaSbcAA，化简可得2223sinab
8、cA，根据正弦定理化简可得：2222sin3sinsinCsinsinsinC3ABAB。（2）由2sinsinC123coscossinsinC coscos123coscos6BAABBBCABC，因此可得3BC，将之代入2sinsinC3B中可得：231sinsinsincossin0322CCCCC，化简可得3tan,366CCB，利用正弦定理可得31sin3sin232abBA，同理可得3c，故而三角形的周长为32 3。2014全国卷 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 3acos C2ccos A，tan A，求 B.1317解：由题设和正弦定理得3sin
9、Acos C2sin Ccos A，故 3tan Acos C2sin C.因为 tan A，所以 cos C2sin C，13所以 tan C.12所以 tan Btan180(AC)tan(AC)tan Atan Ctan Atan C11，所以 B135.2014新课标全国卷已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC 面积的最大值为_16.解析根据正弦定理和 a2 可得(ab)(ab)(cb)c，故得 b2c2a23bc，根据余弦定理得 cosA，所以 A.根据 b2c2a2bc 及基本不等b2c2a
10、22bc123式得 bc2bca2，即 bc4，所以ABC 面积的最大值为 4.12323（2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯 WORD 版含答案）ABC 在内角,A B C 的对边分别为,a b c,已知cossinabCcB.()求 B;()若2b,求 ABC 面积的最大值.【答案】（2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对）设 ABC的内角,A B C 的对边分别为,a b c,()()abc abcac.(I)求 B(II)若31sinsin4AC,求C.【答案】2017 全国 217（12 分）的内角的对边分别为，已知AB
11、C,A B C,a b c2sin8sin 2BAC（1）求；cos B（2）若，的面积为，求6acABC2b【答案】（1）；（2）15cos17B 2b“边转角”“角转边”，另外要注意三者之间的关系，这样的题目小22,ac ac ac而活，备受命题者的青睐五、复合图形中，巧构造三角形，解三角形2014湖南卷 如图 1-5 所示，在平面四边形 ABCD 中，AD1，CD2，AC.7图 1-5(1)求 cosCAD 的值；(2)若 cosBAD，sinCBA，求 BC 的长71421618解：(1)在ADC 中，由余弦定理，得cosCAD，AC2AD2CD22ACAD故由题设知，cosCAD.7
12、142 72 77(2)设BAC，则 BADCAD.因为 cosCAD，cosBAD，2 77714所以 sinCAD1cos2CAD，1(2 77)2217sinBAD.1cos2BAD1(714)23 2114于是 sin sin(BADCAD)sinBADcosCADcosBADsinCAD3 21142 77(714)217.32在ABC 中，由正弦定理，得.BCsin ACsinCBA故 BC3.ACsin sinCBA7 322162014北京卷如图 1-2，在ABC 中，B，AB8，点 D 在 BC 边上，且 CD32，cosADC.17(1)求 sinBAD；(2)求 BD，A
13、C 的长图 1-215解：(1)在ADC 中，因为 cos ADC，所以 sin ADC.17437所以 sin BADsin(ADCB)sin ADCcos Bcos ADCsin B 4371217.323314(2)在ABD 中，由正弦定理得BD3.ABsin BADsin ADB8 3 314437在ABC 中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B8252285 49，12所以 AC7.【2015 高考重庆，理 13】在ABC 中，B=，AB=，A 的角平分线 AD=,则120o23AC=_.【答案】6【解析】由正弦定理得，即，解得sinsinABADADBB23sins
14、in120ADB，从而，所以2sin2ADB45ADB15BADDAC ，.1801203030C 2cos306ACAB【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）【2015 高考新课标 1，理 16】在平面四边形 ABCD 中，A=B=C=75，BC=2，则 AB 的取值范围是.【答案】（，）626+2【考点定位】正余弦定理；数形结合思想（2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版）如图 ABC中,已知点 D 在 BC 边上,AD AC,2 2sin,3 2,33BACABAD则 BD 的长为_【答案】32016 年全国 III 高考）在ABC中，4B=，BC
15、边上的高等于 13 BC,则 cos A=（A）3 1010（B）1010（C）1010-（D）3 1010-【答案】C【2015 高考新课标 2，理 17】（本题满分 12 分）中，是上的点，平分，面积是面积的 2 倍ABCDBCADBACABDADC()求；sinsinBC()若，求和的长1AD 22DC BDAC【答案】()；()121【解析】()，因为1sin2ABDSAB ADBAD1sin2ADCSAC ADCAD，所以由正弦定理可得2ABDADCSSBADCAD 2ABACsin1sin2BACCAB()因为，所以在和中，由余弦定理:ABDADCSSBD DC2BD ABDADC
16、得，2222cosABADBDAD BDADB2222cosACADDCAD DCADC由()知，所以222222326ABACADBDDC2ABAC1AC（2013年高考新课标1（理）如图,在ABC中,ABC=90,AB=,BC=1,P为ABC内一3点,BPC=90(1)若 PB=,求 PA;(2)若APB=150,求 tanPBA12【答案】()由已知得,PBC=o60,PBA=30o,在PBA 中,由余弦定理得2PA=o11323cos3042=74,PA=72;()设PBA=,由已知得,PB=sin,在PBA 中,由正弦定理得,oo3sinsin150sin(30),化简得,3 cos
17、4sin,tan=34,tanPBA=34.六、应用2014 全国文新 1（16）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得MNACA点的仰角，点的仰角以及；从点测得M60MANC45CAB75MACC.已知山高，则山高_.60MCA100BCmMN m【答案】：150【解析】在直角三角形 ABC 中，由条件可得，在MAC 中，由正弦100 2AC 定理可得，故，在直角0000sin 60sin 1806075AMAC3100 32AMACMAN 中，.0sin 60150MNAM2014四川卷如图 1-3 所示，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 6
18、7，30，此时气球的高度是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos370.80，1.73)3图 1-31360解析过 A 点向地面作垂线，记垂足为 D，则在 RtADB 中，ABD67，AD46 m，AB50(m)，ADsin 67460.92在ABC 中，ACB30，BAC673037，AB50 m，由正弦定理得，BC60(m)，ABsin 37sin 30故河流的宽度 BC 约为 60 m.【2015 高考湖北，理 13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测A得
19、公路北侧一山顶 D 在西偏北的方向上，行驶 600m 后到达处，测得此山顶在西偏30B北的方向上，仰角为，则此山的高度m.7530CD【答案】6100【考点定位】三角形三内角和定理，三角函数的定义，有关测量中的的几个术语，正弦定理.【名师点睛】本题是空间四面体问题，不能把四边形看成平面上的四边形.ABCD（2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯 WORD 版含附加题）本小题满分 16 分.如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至C 处有两种路径.一种是从 A沿直线步行到C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到C.现有甲.乙两位游客从 A
20、 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为min/50m.在甲出发 min2后,乙从 A乘缆车到 B,在 B 处停留 min1后,再从匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为min/130m,山路 AC 长为m1260,经测量,1312cosA,53cosC.(1)求索道 AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?【答案】解:(1)1312cosA,53cosC），（、20 CA135sinA,54sinC6563sincoscossinsinsinsinCACACACAB）（）（根据si
21、nBsinCACAB 得mCACAB1040sinsinB(2)设乙出发 t 分钟后,甲.乙距离为 d,则1312)50100(1302)50100()130(222ttttd)507037(20022ttd13010400 t即80 t3735t时,即乙出发 3735 分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由正弦定理sinBsinAACBC 得50013565631260sinsinBAACBC(m)乙从 B 出发时,甲已经走了 50(2+8+1)=550(m),还需走 710m才能到达 C设乙的步行速度为 Vmin/m,则350710500vCBA3507105003v146254312
22、50 v为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在14625,431250范围内法二:解:(1)如图作 BDCA 于点 D,设 BD=20k,则 DC=25k,AD=48k,AB=52k,由 AC=63k=1260m,知:AB=52k=1040m.(2)设乙出发 x 分钟后到达点 M,此时甲到达 N 点,如图所示.则:AM=130 x,AN=50(x+2),由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AMANcosA=7400 x2-14000 x+10000,其中 0 x8,当 x=(min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.3537(3)由(1)知:BC=500m,甲到 C 用时:=(min).1260501265若甲等乙 3 分钟,则乙到 C 用时:+3=(min),在 BC 上用时:(min).12651415865此时乙的速度最小,且为:500=m/min.865125043若乙等甲 3 分钟,则乙到 C 用时:-3=(min),在 BC 上用时:(min).12651115565此时乙的速度最大,且为:500=m/min.56562514故乙步行的速度应控制在,范围内.12504362514CBADMN