1、八函数的奇偶性与周期性(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1(多选题)已知yf(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()Ayf(|x|)Byf(x)Cyxf(x) Dyf(x)xBD解析：由奇函数的定义f(x)f(x)验证对于选项A，f(|x|)f(|x|)，为偶函数；对于选项B，f(x)f(x)f(x)，为奇函数；对于选项C，xf(x)xf(x)xf(x)，为偶函数；对于选项D，f(x)(x)f(x)x，为奇函数故选BD.2(2020全国卷)设函数f(x)x3，则f(x)()A是奇函数，且在(0，)上单调递增B是奇函数，且在(0，)上单调递减C是偶函数，且在(0，)上单调递增
2、D是偶函数，且在(0，)上单调递减A解析：因为f(x)x3，则f(x)x3f(x)，即f(x)为奇函数根据幂函数的性质可知，yx3在(0，)上单调递增，故y1在(0，)上单调递减，y2在(0，)上单调递增，所以当x0时，f(x)x3单调递增3已知函数f(x)x1，f(a)3，则f(a)的值为()A3 B1 C1 D2B解析：由题意得f(a)f(a)a1(a)12, 所以f(a)2f(a)231.故选B.4设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)则f(7)()A3 B3C2 D2B解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)所以f(7)f(7)log2(71)3.5若定义在R上的
3、偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)ex，则g(x)()A.exex B.(exex)C.(exex) D.(exex)D解析：因为f(x)g(x)ex，所以f(x)g(x)f(x)g(x)ex，所以g(x)(exex)6已知函数f(x)为奇函数，当x0时，f(x)x2x，则当x0时，函数f(x)的最大值为_解析：设x0，所以f(x)x2x.又函数f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)x2x2，所以当x0，f(x2)对任意xR恒成立，则f(2 023)_.1解析：因为f(x)0，f(x2)，所以f(x4)f(x2)2f(x)，即函数f(x)的周期是4，所以f(2 023)f(50
4、641)f(1)因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 023)f(1)f(1)当x1时，f(12)，得f(1). 由f(x)0，得f(1)1，所以f(2 023)f(1)1.13定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)0，且f(4x)f(x)现有以下三种叙述：8是函数f(x)的一个周期；f(x)的图像关于直线x2对称；f(x)是偶函数其中正确的序号是_解析：由f(x)f(x2)0，得f(x2)f(x)，则f(x4)f(x2)f(x)，即4是f(x)的一个周期，8也是f(x)的一个周期，故正确；由f(4x)f(x)，得f(x)的图像关于直线x2对称，故正确；由f(4x)f(x)与f(
5、x4)f(x)，得f(4x)f(x)，f(x)f(x)，即函数f(x)为偶函数，故正确14设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x都有f f 成立(1)证明yf(x)是周期函数，并指出其周期(2)若f(1)2，求f(2)f(3)的值(3)若g(x)x2ax3，且y|f(x)|g(x)是偶函数，求实数a的值解：(1)由f f ，且f(x)f(x)，知f(3x)f f f(x)f(x)，所以yf(x)是周期函数，且T3是其一个周期(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)0，且f(1)f(1)2，又T3是yf(x)的一个周期，所以f(2)f(3)f(1)f(0)202.(3)因为y|f(x)|g(x)是偶函数，且|f(x)|f(x)|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数故g(x)x2ax3为偶函数，即g(x)g(x)恒成立，于是(x)2a(x)3x2ax3恒成立于是2ax0恒成立，所以a0.
