1、1曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系建立适当的坐标系(2)设点设轨迹上的任一点P(x，y)(3)列式列出动点P所满足的关系式(4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程3两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该
2、是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件()(2)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线()(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2y2.()(4)方程y与xy2表示同一曲线()(5)ykx与xy表示同一直线()1方程(x2
3、y24)0的曲线形状是()答案C解析由题意可得xy10或它表示直线xy10和圆x2y240在直线xy10右上方的部分2已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A2xy10B2xy50C2xy10D2xy50答案D解析由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(2x，4y)，代入2xy30得2xy50.3设定点F1(0，3)，F2(0,3)，动点P满足条件|PF1|PF2|a (a0)，则点P的轨迹是_答案椭圆或线段解析a26.当a3时，a6，此时|PF1|PF2|F1F2|，P点的轨迹为线段F1F2，当a3
4、，a0时，|PF1|PF2|F1F2|.由椭圆定义知P点的轨迹为椭圆4(教材改编)和点O(0,0)，A(c,0)距离的平方和为常数c的点的轨迹方程为_答案2x22y22cxc2c0解析设P(x，y)为轨迹上一点，则x2y2(xc)2y2c，2x22y22cxc2c0.5(教材改编)已知O方程为x2y24，过M(4,0)的直线与O交于A，B两点，则弦AB中点P的轨迹方程为_答案(x2)2y24(0x1)解析根据垂径定理知：OPPM，所以P点轨迹是以OM为直径的圆且在O内的部分，以OM为直径的圆的方程为(x2)2y24，它与O的交点为(1，)，结合图形可知所求轨迹方程为(x2)2y24(0x2|M
5、N|.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)思维升华应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线解如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系由|O1O2|4，得O1(2,0)，O2(2,0)设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有
6、|MO1|r1；由动圆M与圆O2外切，有|MO2|r2.|MO2|MO1|3.点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支a，c2，b2c2a2.点M的轨迹方程为1 (x)题型二直接法求轨迹方程命题点1已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹)例2在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分别为椭圆1(ab0)的左，右焦点已知F1PF2为等腰三角形(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足2，求点M的轨迹方程解(1)设F1(c,0)，F2(c,0)(c0)由题意，可得|PF2|F1F2|，即2c，整理得2210，得
7、1(舍去)或.所以e.(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2的方程为y(xc)A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c，得方程组的解不妨设A，B(0，c)设点M的坐标为(x，y)，则，(x，yc)由y(xc)，得cxy.于是，(x，x)，由2，即xx2.化简得18x216xy150.将y代入cxy，得c0.所以x0.因此，点M的轨迹方程是18x216xy150(x0)命题点2无明确等量关系求轨迹方程例3(2014广东)已知椭圆C：1(ab0)的一个焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，
8、y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程解(1)由题意知c，所以a3，b2a2c24，故椭圆C的标准方程为1.(2)设两切线为l1，l2，当l1x轴或l1x轴时，对应l2x轴或l2x轴，可知P(3，2)当l1与x轴不垂直且不平行时，x03.设l1的斜率为k，则k0，l2的斜率为，故l1的方程为yy0k(xx0)，联立1，得(9k24)x218(y0kx0)kx9(y0kx0)2360.因为直线l1与椭圆C相切，所以0，得9(y0kx0)2k2(9k24)(y0kx0)240，所以36k24(y0kx0)240，所以(x9)k22x0y0ky40，所以k是方程(x
9、9)x22x0y0xy40(x03)的一个根，同理是方程(x9)x22x0y0xy40(x03)的另一个根，所以k()，得xy13，其中x03，所以此时点P的轨迹方程为xy13(x03)因为P(3，2)满足xy13，综上可知，点P的轨迹方程为xy13.思维升华直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略：(1)题目给出等量关系，求轨迹方程直接代入即可得出方程(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程可利用已知条件寻找等量关系，得出方程(1)已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若2，其中为常数，则动点M的轨迹不可能是()A圆B椭圆C抛物线D双曲线答案C解析以AB所在直线为
10、x轴，AB的中垂线为y轴，建立坐标系，设M(x，y)，A(a,0)，B(a,0)，则N(x,0)因为2，所以y2(xa)(ax)，即x2y2a2，当1时，轨迹是圆；当0且1时，轨迹是椭圆；当0)，由，得(x，y)(m，m)(n，n)(mn，mn)整理得x24mn，又mn，P点的轨迹方程为x21 (x0)它表示以原点为中心，焦点在x轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x21的右支题型三相关点法求轨迹方程例4设直线xy4a与抛物线y24ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求ABC的重心的轨迹方程解设ABC的重心为G(x，y)，点C的坐标为(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，
11、y2)由方程组：消去y并整理得：x212ax16a20.x1x212a，y1y2(x14a)(x24a)(x1x2)8a4a.G(x，y)为ABC的重心，又点C(x0，y0)在抛物线上，将点C的坐标代入抛物线的方程得：(3y4a)24a(3x12a)，即(y)2(x4a)又点C与A，B不重合，x0(62)a，ABC的重心的轨迹方程为(y)2(x4a)(x(6)a)思维升华“相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程设F(1,0)，M点在x
12、轴上，P点在y轴上，且2，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程解设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，(x0，y0)(1，y0)0，x0y0.由2得(xx0，y)2(x0，y0)，即x0，即y24x.故所求的点N的轨迹方程是y24x.20利用参数法求轨迹方程典例(12分)如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)，分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，A9和B1，B2，B9，连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(iN，1i9)(1)求证：点Pi(iN，1i9)都在同一条抛物线上，
13、并求该抛物线E的方程；(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若OCM与OCN的面积比为41，求直线l的方程规范解答方法一解(1)依题意，过Ai(iN，1i9)且与x轴垂直的直线方程为xi，Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为yx.2分设Pi的坐标为(x，y)，由得yx2，即x210y.所以点Pi(iN，1i9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x210y.4分(2)依题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx10.由得x210kx1000，此时100k24000，直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M，N.6分设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则因为SOC
14、MSOCN41，所以SOCM4SOCN，所以|x1|4|x2|.又x1x20，满足题意3已知点A(1,0)，直线l：y2x4，点R是直线l上的一点，若，则点P的轨迹方程为()Ay2xBy2xCy2x8Dy2x4答案B解析设P(x，y)，R(x1，y1)，由知，点A是线段RP的中点，即点R(x1，y1)在直线y2x4上，y12x14，y2(2x)4，即y2x.4已知ABC的顶点A(5,0)，B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是()A.1B.1C.1 (x3) D.1 (x4)答案C解析如图，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826
15、3)5平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(1,3)，若点C满足12(O为原点)，其中1，2R，且121，则点C的轨迹是()A直线B椭圆C圆D双曲线答案A解析设C(x，y)，则(x，y)，(3,1)，(1,3)，12，又121，x2y50，表示一条直线6已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为_答案4解析设P(x，y)，由|PA|2|PB|，得2，3x23y212x0，即x2y24x0.P的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为2的圆即轨迹所包围的图形的面积等于4.7曲线C是平面内与两个定点F1(1,0)和F2(1,0)的距离的积
16、等于常数a2(a1)的点的轨迹给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是_答案解析因为原点O到两个定点F1(1,0)，F2(1,0)的距离的积是1，且a1，所以曲线C不过原点，即错误；因为F1(1,0)，F2(1,0)关于原点对称，所以|PF1|PF2|a2对应的轨迹关于原点对称，即正确；因为S|PF1|PF2|sinF1PF2|PF1|PF2|a2，即F1PF2的面积不大于a2，所以正确8.如图，P是椭圆1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且，则动点Q的轨迹方程是_答案1解析由于，
17、又22，设Q(x，y)，则(，)，即P点坐标为(，)，又P在椭圆上，则有1，即1.9已知ABC的内切圆与三边AB，BC，CA的切点分别为D，E，F，已知B(，0)，C(，0)，内切圆圆心为I(1，t) (t0)，设点A的轨迹为L.(1)求L的方程；(2)设直线y2xm交曲线L于不同的两点M，N，当|MN|2时，求m的值解(1)设点A(x，y)，由题意得|AB|AC|BD|CF|BE|CE|(1)(1)2.根据双曲线定义知点A的轨迹是以B，C为焦点，实轴长为2的双曲线的右支(除去点E)，L的方程为x2y21，x1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得3x24mxm210.直线y2xm
18、交x2y21 (x1)于不同的两点M，N，方程3x24mxm210的两根均在(1，)内，m，且m2.又x1x2，x1x2，|MN|，|MN|2，2，m212，m0)点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)当x01时，切线MA的斜率为.(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)解(1)因为抛物线C1：x24y上任意一点(x，y)的切线斜率为y，且切线MA的斜率为，所以A点坐标为(1，)，故切线MA的方程为y(x1).因为点M(1，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是y0(2)，y0.由
19、得p2.(2)设N(x，y)，A，B，x1x2.由N为线段AB的中点知x，y.切线MA，MB的方程分别为y(xx1)，y(xx2).由得MA，MB的交点M的坐标为.因为点M(x0，y0)在C2上，即x4y0，所以x1x2.由得x2y，x0.当x1x2时，A，B重合于原点O，AB的中点N为点O，坐标满足x2y.因此AB的中点N的轨迹方程为x2y.B组专项能力提升(时间：30分钟)11动点P在直线x1上运动，O为坐标原点，以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ，则动点Q的轨迹是()A圆B两条平行直线C抛物线D双曲线答案B解析设Q(x，y)，P(1，y0)，由题意知|OP|OQ|，且0
20、，将y0代入得x2y212，化简即y21，y1，表示两条平行直线，故选B.12在平面直角坐标系中，方程1 (a，b是不相等的两个正数)所代表的曲线是()A三角形B正方形C非正方形的长方形D非正方形的菱形答案D解析xy0，xy0时，xy1；xy0，xy0时，xy1；xy0，xy0时，yx1；xy0，xy0时，yx1.a，b是不相等的两个正数方程1所代表的曲线是非正方形的菱形13(2015浙江)如图，斜线段AB与平面所成的角为60，B为斜足，平面上的动点P满足PAB30，则点P的轨迹是()A直线B抛物线C椭圆D双曲线的一支答案C解析本题可构造如图圆锥母线与中轴线夹角为30，然后用平面去截，使直线A
21、B与平面的夹角为60，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆故选C.14如图，动圆C1：x2y2t2，1t3，与椭圆C2：y21相交于A，B，C，D四点点A1，A2分别为C2的左，右顶点求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程解由椭圆C2：y21，知A1(3,0)，A2(3,0)设点A的坐标为(x0，y0)；由曲线的对称性，得B(x0，y0)，设点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y(x3)直线A2B的方程为y(x3)由得y2(x29)又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y1.将代入得y21(x3，y0)因此点M的轨迹方程为y21(x3，y1时，设切线l的方程为ykxt，kR，由得(4k2)x22ktxt240.设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则由得x1x2，x1x2.又由l与圆x2y21相切，得1，即t2k21，所以|AB|.因为|AB|，且当t时，|AB|2，所以|AB|的最大值为2.依题意，圆心O到直线AB的距离为圆x2y21的半径，所以AOB面积S的最大值为211，此时t，相应的点T的坐标为(0，)或(0，)