1、复 数一、 复数的表示方法1、复数通常有三种表示形式（1） 代数形式 z = xyi ，x、yR，i2 = 1，x 称为z的实部，记为x = Re（z）；y称为z的虚部，记为y = Im（z）。（2） 三角形式 z = r（cosisin） （r0，R），r称为z的模，称为辐角，记辐角为主值为=argz。（3） 指数形式 z=rei（r0，R）。三种形式可以互化：r =，x = rcos，y =rsin，ei= cosisin。2、 复数及其运算的几何意义在复平面上的和与差，对应这两个向量构成的平行四边形的两条对角线；复数的乘法与除法对应的向量的伸缩与旋转。例1 复平面上的动点Z1的轨迹方程为
2、|z1z0| = |z1|，Z0为定点，z00；另一动点满足z1z = 1，求点Z的轨迹，并指出它在复平面上的形状和位置。（全国高中数学联赛，1988）例2 设复数z1、z2在复平面上的对应点分别为A、B，且|z1| = 4，4z122z1z2z22=0，O为坐标原点，则OAB的面积为。（全国高中数学联赛，1992年）A、 8； B、4； C、6； D、12。例3 设z1，z2都是复数，且|z1| =3，|z2| =5，|z1z2| =7，则arg ()3的值是 （全国高中数学联赛，1992年）例4 x的二次方程x2z1xz2m = 0中，z1，z2，m均是复数，且z12 4z2 = 1620
3、i。设这个方程的两个根，满足|= 2，求|m|的最大值和最小值。（全国高中数学联赛，1994年）二、复数的模与共轭复数如果z = xyi（x，yR），则= x yi 称为z的共轭复数，|z| = 称为复数z的模。例5 证明若对复数z1，z2,有|z1 | = |1 z1z2|成立，则|z1|，|z2|中至少一个等于1。例6 设复数z1，z2满足|z1| = |z1 z2| =3，|z1 z2| =3。求log3|( )2000()2000|的值。 (全国高中数学联赛，1991年)例7 设三个不为零的复数z1，z2 ，z3满足条件z1z2z3 = 0，|z 1| = |z 2| = |z 3|。
4、求证它们对应的点Z1、Z2、Z3是一个正三角形的三个顶点。三、复数方法在代数问题中的应用构造适当的复数，可以解决或简化某些代数问题的求解，开拓新的思路和方法。例8 设二次方程ax2 x1 = 0的两个根的模都小于2，求实数a的取值范围。例9 设方程ax2 bxc = 0的一根为，且abc0，求证|1。四、复数方法在三角问题中的应用例10 已知coscoscos= sinsinsin = 0,求证：cos2cos2cos2= sin2sin2sin2 = 0.例11 设0x1，求证：2arctg arcsin = 。五、复数方法在几何问题中的应用根据复数及其几何意义，可以解决不少平面几何问题，其
5、基本思路是将图形中的点转化为复数，再通过复数运算使问题解决。例12 如图，ABC，而将ADE是两个不全等的等腰直角三角形。现固定ABC，而将ADE绕A点在平面上旋转。试证：不论ADE旋转到什么位置，线段EC上必存在一点M，使BMD为等腰直角三角形。（全国高中数学联赛，1987年）B A C E D例13 若四边形ABCD内部有一点P，使四个三角形PAB，PBC，PCD，PDA等积，求证P点必在对角线AC或BD上。（瑞典数学奥林匹克竞赛题，1982年）例14 设复数z = cosisin,( 0o180o),复数z，(1i)z,2在复平面上对应的三个点分别是P，Q，R。当P，Q，R不共线时，以P
6、Q，PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S，则点S到原点距离的最大值是 。（全国高中数学联赛，1998年）六、单位根及其应用方程x n 1= 0（n为自然数，且n2）的n个根 k = cosisin (k = 0,1,2,，n 1)称为1的n次单位根。由棣莫弗定理得，全部n次单位根可表示为1，1，12，131 n 1。关于单位根，有如下常用性质：（1） 1112 13 1 n 1 = 0（n2）；（2） 任意两个单位根i，j的积仍为一个n次单位根，且ij =i j（当ijn时，i j =k，其中k是ij除以n的余数）；（3） 设m为整数，n1则 11m 2m n1 m = （4） 若1，1，2
7、，n1是全部n次单位根，则由 x n 1= (x 1)(x 1)(x 2) (x n1),得xn1xn 2 1 = (x 1)(x 2) (x n1)。例15 设非零复数x，y满足x2 xy y2 = 0，求代数式的值。（全国高中数学联赛试题，1990年）例16 已知n = 1990，求(13Cn232Cn4 33Cn6 3994Cn1988 3995Cn1990)的值。（全国高中数学联赛试题，1990年）七、练习题1、 已知复数z = 1 sinicos（）,求z的共轭复数的辐角主值。（全高中数学联赛，1998年）2、 02，复数 Z = 1 cosisin，u =a2ai且zu是纯虚数，a
8、R。（1） 求复数的辐角主值argu（用代数式表示）；（2） 记= z2u22uz，试问是能为正实数。3、 设复数z满足条件|z| = 1，试求|z33z2|的最大值和最小值。4、 设z、为复数，|1，解关于z的方程z =。（全国数学联赛，1985）5、 复平面上，非零复数Z1，Z2在以i为圆心，1为半径的圆上，的实部为零，Z1的辐角主值是，则Z 2 = 。（全高中数学联赛，1996年）6、 已知复数z满足|2z | = 1，则z的辐角主值范围是 （全联赛，1997年）7、 地面上有A、B、C三点，一只青蛙位于地面上距C为27cm的P0点处，青蛙第一步从P0跳到关于A的对称点P1，第二步从P1跳到关于B点的对称点P2，第三步从P2跳到关于C点的对称点P3，第四步从P3跳到关于A的对称点P4，按这种方式跳下去，若青蛙在第1985步跳到了P1985，问C距P1985相距多少厘米？（全国 “五四”青年智力竞赛试题，1985年）
