1、课时提升作业(三十一)数 列 求 和(45分钟100分)一、选择题(每小题6分,共36分)1.设数列(-1)n的前n项和为Sn,则对任意正整数n,Sn=()A.B.C.D.2.(2014天门模拟)已知an是首项为1的等比数列,Sn是an的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为()A.或5B.或5C.D.3.已知定义在(0,1)上的函数f(x),对任意m,n(1,+)且mn时,都有f-f=f.记an=f,nN*,则在数列an中,a1+a2+a8=()A.fB.fC.fD.f4.(2014西安模拟)若数列an为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn=+的结果可化为()A.1-B.1-C.D.5
2、.数列an的通项公式an=2n-(-1)n,设此数列的前n项和为Sn,则S10-S21+S100的值是()A.9746B.4873C.9736D.97486.(能力挑战题)若数列an满足-=d(nN*,d为常数),则称数列an为“调和数列”.已知正项数列为“调和数列”,且b1+b2+b9=90,则b4b6的最大值是()A.10B.100C.200D.400二、填空题(每小题6分,共18分)7.对正整数n,若曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列的前n项和为.8.对于数列an,定义数列an+1-an为数列an的“差数列”,若a1=2,an的“差数列”的通项公式为2
3、n,则数列an的前n项和Sn=.9.(2014武汉模拟)已知数列an的各项均为正整数,Sn为其前n项和,对于n=1,2,3,有an+1=其中k是使an+1为奇数的正整数,an为偶数.(1)当a3=5时,a1的最小值为_.(2)当a1=1时,S1+S2+S10=_.三、解答题(1011题各15分,12题16分)10.(2014恩施模拟)已知数列bn中,b1+2b2+2n-1bn=2n2+n.(1)求数列bn的通项公式;(2)求数列bn的前n项和Sn.11.(2013湖南高考)设Sn为数列an的前n项和,已知a10,2an-a1=S1Sn,nN*.(1)求a1,a2,并求数列an的通项公式.(2)
4、求数列nan的前n项和.12.(能力挑战题)已知数列an的前n项和为Sn,a1=,Sn=n2an-n(n-1),n=1,2,(1)证明:数列是等差数列,并求Sn.(2)设bn=,求证:b1+b2+bn0,所以b4b6=100,当且仅当b4=b6时等号成立.因此b4b6的最大值是100.7.【解析】由题意,得y=nxn-1-(n+1)xn,故曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n,切点为(2,-2n),所以切线方程为y+2n=k(x-2).令x=0得an=(n+1)2n,即=2n,则数列的前n项和为2+22+23+2n=2n+1-2.答案:2n+1-28.【
5、解析】因为an+1-an=2n,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+22+2+2=+2=2n-2+2=2n.所以Sn=2n+1-2.答案:2n+1-29.【解析】(1)a2=3a1+5,a3=a1=,因为k是使an+1为奇数的正整数而a3为奇数,所以当k=2时a1取最小值为5.(2)由a1=1a2=3a1+5=8a3=,显然要使a3为奇数则k=3,所以a3=1.于是该数列就是1,8,1,8,为一摆动数列,所以S1+S2+S10=10a1+9a2+8a3+a10=(10+8+6+4+2)1+(9+7+5+3+1)8=230.答案：(1)
6、5(2)23010.【解析】(1)当n2时,b1+2b2+2n-1bn=2n2+nb1+2b2+2n-2bn-1=2(n-1)2+n-1-得：2n-1bn=4n-1,所以bn=(n2),当n=1时,b1=3,满足上式,故bn=.(2)Sn=3+7+(4n-1)Sn=3+7+(4n-5)+(4n-1)两式相减,得Sn=3+4+-(4n-1).所以Sn=14-.11.【思路点拨】(1)本题是利用递推关系an=求数列的通项公式.(2)根据第(1)问可知应利用错位相减法求数列前n项和.【解析】(1)令n=1,得2a1-a1=,因为a10,所以a1=1,令n=2,得2a2-1=S2=1+a2,解得a2=
7、2.当n2时,由2an-1=Sn,2an-1-1=Sn-1,两式相减,整理得an=2an-1,于是数列an是首项为1,公比为2的等比数列,所以,an=2n-1.(2)由(1)知nan=n2n-1,记其前n项和为Tn,于是Tn=1+22+322+n2n-1,2Tn=12+222+323+n2n,-得-Tn=1+2+22+2n-1-n2n=2n-1-n2n,从而Tn=1+(n-1)2n.【加固训练】设数列an的前n项和为Sn=n2,bn为等比数列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1.(1)求数列an,bn的通项公式.(2)设cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn.【解析】(1)a1=S1=1
8、,当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,a1适合上式,所以an=2n-1,nN*.因为b1=a1=1,b2=,又bn为等比数列,所以其公比q=,所以bn=,nN*.(2)cn=anbn=.所以Tn=1+,所以Tn=+.-,得Tn=1+1+-=3-,所以Tn=6-.12.【解析】(1)由Sn=n2an-n(n-1)知,当n2时,Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1),即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1),所以Sn-Sn-1=1,对n2成立.又S1=1,所以是首项为1,公差为1的等差数列.所以Sn=1+(n-1)1,所以Sn=.(2)bn=,所以b1+b2+b
9、n=-+-+-+-=.【加固训练】已知数列an满足a1=3,an+1-3an=3n(nN*),数列bn满足bn=3-nan.(1)求证:数列bn是等差数列.(2)设Sn=+,求满足不等式的所有正整数n的值.【解析】(1)由bn=3-nan得an=3nbn,则an+1=3n+1bn+1.代入an+1-3an=3n中,得3n+1bn+1-3n+1bn=3n,即得bn+1-bn=.所以数列bn是等差数列.(2)因为数列bn是首项为b1=3-1a1=1,公差为的等差数列,则bn=1+(n-1)=,则an=3nbn=(n+2)3n-1,从而有=3n-1,故Sn=+=1+3+32+3n-1=.则=,由,得.即33n127,得1n4.故满足不等式的所有正整数n的值为2,3,4.关闭Word文档返回原板块
