1、高中同步测试卷(十四)高考微专题 高考对统计与概率的综合考查(时间：120 分钟，满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2014高考湖南卷)对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()Ap1p2p3 Bp2p3p1 Cp1p3p2 Dp1p2p32某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩
2、分别为 86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为 88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是()A这种抽样方法是一种分层抽样B这种抽样方法是一种系统抽样C这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数3(2015高考山东卷)在区间0，2上随机地取一个数 x，则事件“1log12(x12)1”发生的概率为()A.34B.23C.13D.144(2014高考重庆卷)某中学有高中生 3 500 人，初中生 1 500 人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从高中生中抽取 70 人，则 n 为
3、()A100B150C200D2505.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成 6 组：4050，5060，6070，7080，8090，90100 加以统计，得到如图所示的频率分布直方图已知高一年级共有学生 600 名，据此估计，该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为()A588B480C450D1206.如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A14B.21C22D.47已知变
4、量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数 x3，y3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.y0.4x2.3B.y2x2.4C.y2x9.5D.y0.3x4.48(2014高考课标全国卷)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.18B.38C.58D.789(2014高考陕西卷)设样本数据 x1，x2，x10 的均值和方差分别为 1 和 4，若 yixia(a 为非零常数，i1，2，10)，则 y1，y2，y10 的均值和方差分别为()A1a，4B1a，4aC1，4D1，4a10(2014高考湖北卷)由不等式组
5、x0，y0，yx20确定的平面区域记为 1，不等式组xy1，xy2确定的平面区域记为 2，在 1中随机取一点，则该点恰好在 2 内的概率为()A.18B.14C.34D.7811下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，其中不公平的游戏是()游戏 1游戏 2游戏 3 3 个黑球和 1 个白球1 个黑球和 1 个白球2 个黑球和 2 个白球任取 1 个球，再任取 1 个球任取 1 个球任取 1 个球，再任取 1 个球取出的两个球同色甲胜取出的球是黑球甲胜取出的两个球同色甲胜取出的两个球不同色乙胜取出的球是白球乙胜取出的两个球不同色乙胜A.游戏 1 和游戏 3B游戏 1C游戏 2D
6、游戏 312从1，2，3，4，5中随机选取一个数 a，从1，2，3中随机选取一个数 b，则关于 x 的方程 x22axb20 有两个不相等的实根的概率是()A.15B.25C.35D.45题号123456789101112 答案二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13(2014高考江苏卷)从 1，2，3，6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是_.14(2014高考天津卷)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查已
7、知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4556，则应从一年级本科生中抽取_名学生15从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50 至 350 度之间，频率分布直方图如图所示(1)直方图中 x 的值为_；(2)在这些用户中，用电量落在区间100，250)内的户数为_16在区间 0，1上任取两个实数 a，b，则函数 f(x)12x3axb 在区间1，1上有且只有一个零点的概率为_三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛，由 500 名大众
8、评委现场投票决定歌手名次根据年龄将大众评委分为 5 组，各组的人数如下：组别ABCDE 人数5010015015050(1)为了调查评委对 7 位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从 B 组抽取了 6 人，请将其余各组抽取的人数填入下表.组别ABCDE 人数5010015015050 抽取人数6(2)在(1)中，若 A,B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选 1 人，求这 2 人都支持 1号歌手的概率.18(本小题满分 12 分)(2015高考山东卷)某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表
9、：(单位：人)参加书法社团未参加书法社团 参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 A1，A2，A3，A4，A5，3 名女同学 B1，B2，B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 A1 被选中且 B1 未被选中的概率19.(本小题满分 12 分)(2014高考北京卷)从某校随机抽取 100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：组号分组频数 10，2)622，4)834，6
10、)1746，8)2258，10)25610，12)12712，14)6814，16)2916，18)2 合计100(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率；(2)求频率分布直方图中的 a，b 的值；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 100 名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)20(本小题满分 12 分)(2014高考课标全国卷)某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位：千元)的数据如下表：年份2007200820092010201120122013 年份代号 t12345
11、67人均纯收入 y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求 y 关于 t 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b，a yb t.21.(本小题满分 12 分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 x 在 1，2，3，24 这 24 个整数中等可能随机产生(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 Pi(i1，2，3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复
12、运行 n 次后，统计记录了输出 y 的值为 i(i1，2，3)的频数以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据甲的频数统计表(部分)运行次数 n输出 y 的值为 1 的频数输出 y 的值为 2 的频数输出 y 的值为 3 的频数 30146102 1001 027376697乙的频数统计表(部分)运行次数 n输出 y 的值为 1 的频数输出 y 的值为 2 的频数输出 y 的值为 3 的频数 30121172 1001 051696353当 n2 100 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i1，2，3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求
13、的可能性较大22(本小题满分 12 分)(2014高考福建卷)根据世行 2013 年新标准，人均 GDP 低于 1 035美元为低收入国家；人均 GDP 为 1 0354 085 美元为中等偏下收入国家；人均 GDP 为 408512 616 美元为中等偏上收入国家；人均 GDP 不低于 12 616 美元为高收入国家某城市有 5 个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均 GDP 如下表：行政区区人口占城市人口比例区人均 GDP(单位：美元)A25%8 000B30%4 000C15%6 000D10%3 000E20%10 000(1)判断该城市人均 GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；(
14、2)现从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个，求抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率参考答案与解析 1导学号 10390089 解析：选 D.由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此 p1p2p3.2解析：选 C.A，不是分层抽样，因为抽样比不同B，不是系统抽样，因为随机询问，抽样间隔未知C，五名男生成绩的平均数是 x8694889290590，五名女生成绩的平均数是 y8893938893591，五名男生成绩的方差为 s2115(1616440)8，五名女生成绩的方差为 s2215(94494)6，显然，五名男生成绩的方差大于五名女生成绩的方差
15、D，由于五名男生和五名女生的成绩无代表性，不能确定该班男生和女生的平均成绩3解析：选 A.不等式1log12(x12)1 可化为 log122log12(x12)log1212，即12x122，解得 0 x32，故由几何概型的概率公式得 P3202034.4解析：选 A.法一：由题意可得 70n703 5001 500，解得 n100，故选 A.法二：由题意，抽样比为 703 500 150，总体容量为 3 5001 5005 000，故 n5 000 150100.5导学号 10390090 解析：选 B.不少于 60 分的学生的频率为(0.0300.0250.0150.010)100.8，
16、所以该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数应为 6000.8480.6解析：选 A.取面积为测度，则所求概率为 PS图形DEBFS矩形ABCD211214221222 14.7解析：选 A.因为变量 x 和 y 正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项 C 和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3，3.5)的坐标分别代入选项 A 和 B 中的直线方程进行检验，可以排除 B，故选 A.8解析：选 D.4 名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有 16(种)，其中仅在周六或周日参加的各有 1 种，所以所求概率为 11116 78.9导学号 10390091 解析：选 A.
17、x1x2x10101，yixia，所以 y1，y2，y10 的均值为 1a，方差不变仍为 4.故选 A.10解析：选 D.如图，平面区域 1 就是三角形区域 OAB，平面区域 2 与平面区域 1的重叠部分就是区域 OACD，易知 C12，32，故由几何概型的概率公式，得所求概率 PS四边形OACDSOAB 2142 78.11解析：选 D.对于游戏 1，基本事件数为 12，取出两球同色即全是黑球有 6 种取法，其概率是12，取出颜色不同的概率也是12，故游戏 1 公平；对于游戏 2，基本事件数为 2，两个事件的概率都是12，故游戏 2 公平；对于游戏 3，基本事件数为 12，两球同色的情况有
18、4种，故其概率是13，颜色不同的概率是23，故此游戏不公平，乙胜的概率大综上知，游戏 3不公平故选 D.12解析：选 C.根据题意，a 是从集合1，2，3，4，5中随机抽取的一个数，a 有 5种情况，b 是从集合1，2，3中随机抽取的一个数，b 有 3 种情况，则方程 x22axb20有 15 种情况，若方程 x22axb20 有两个不相等的实根，则(2a)24b20，即 ab，其中总数有 15 种，ab 的情况有 9 种，所以概率为35.13导学号 10390092 解析：取两个数的所有情况有：(1，2)，(1，3)，(1，6)，(2，3)，(2，6)，(3，6)，共 6 种情况乘积为 6
19、的情况有：(1，6)，(2，3)，共 2 种情况所求事件的概率为2613.答案：1314解析：根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为4455630060.答案：6015解析：(1)由于(0.002 40.003 60.006 0 x0.002 40.001 2)501，解得 x0.004 4.(2)数据落在100，250)内的频率是(0.003 60.006 00.004 4)500.7，所以月用电量在100，250)内的户数为 1000.770.答案：(1)0.004 4(2)7016解析：f(x)12x3axb，因为 a0，1，所以函数为增函数，则有 f(1)12ab0，即ab12，ab
20、12.如图所示，图中阴影部分为满足条件的可行域，其面积为 112121278，又事件的总面积是 111，所以函数 f(x)12x3axb 在区间1，1上有且只有一个零点的概率为78.答案：7817导学号 10390093 解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为 6%，所以各组抽取的人数如下表：组别ABCDE 人数5010015015050抽取人数36993(2)记从 A 组抽到的 3 位评委分别为 a1，a2，a3，其中 a1，a2 支持 1 号歌手；从 B 组抽到的 6 位评委分别为 b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中 b1，b2 支持 1 号歌手，从a1，a2，a3和b1，b2，b
21、3，b4，b5，b6中各抽取 1 人的所有结果如图：由树状图知所有结果共 18 种，其中 2 人都支持 1 号歌手的有 a1b1，a1b2，a2b1，a2b2 共4 种，故所求概率 P 41829.18解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 30 人，故至少参加上述一个社团的共有 453015(人)，所以从该班随机选 1 名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为 P154513.(2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A
22、3，B3，A4，B1，A4，B2，A4，B3，A5，B1，A5，B2，A5，B3，共 15 个根据题意，这些基本事件的出现是等可能的事件“A1 被选中且 B1 未被选中”所包含的基本事件有：A1，B2，A1，B3，共 2 个因此 A1 被选中且 B1 未被选中的概率为 P 215.19解：(1)根据频数分布表，100 名学生中课外阅读时间不少于 12 小时的学生共有 62210(名)，所以样本中的学生课外阅读时间少于 12 小时的频率是 1 101000.9.从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于 12 小时的概率为 0.9.(2)课外阅读时间落在组4，6)的有 17 人，频率为 0.
23、17，所以 a频率组距0.172 0.085.课外阅读时间落在组8，10)的有 25 人，频率为 0.25，所以 b频率组距0.252 0.125.(3)样本中的 100 名学生课外阅读时间的平均数在第 4 组20解：(1)由所给数据计算得 t17(1234567)4，y17(2.93.33.64.44.85.25.9)4.3，(ti t)(yi y)(3)(1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.931.614，a yb t4.30.542.3，所求回归方程为y0.5t2.3.(2)由(1)知，b0.50，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加
24、，平均每年增加 0.5 千元将 2015 年的年份代号 t9 代入(1)中的回归方程，得y0.592.36.8，故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元21解：(1)变量 x 是在 1，2，3，24 这 24 个整数中等可能随机产生的一个数，共有 24 种可能当 x 从 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23 这 12 个数中产生时，输出 y 的值为 1，故 P112；当 x 从 2，4，8，10，14，16，20，22 这 8 个数中产生时，输出 y 的值为 2，故 P213；当 x 从 6，12，18，24 这 4 个数中产生时，输出 y 的值
25、为 3，故 P316.所以输出 y 的值为 1 的概率为12，输出 y 的值为 2 的概率为13，输出 y 的值为 3 的概率为16.(2)当 n2 100 时，甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i1，2，3)的频率如下：输出 y 的值为 1 的频率输出 y 的值为 2 的频率输出 y 的值为 3 的频率甲1 0272 1003762 1006972 100乙1 0512 1006962 1003532 100比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大22导学号 10390094 解：(1)设该城市人口总数为 a，则该城市人均 GDP 为1a(8 0000.25a4 0000.30a6 0000.15a3 0000.10a10 0000.20a)6 400.因为 6 4004 085，12 616)，所以该城市人均 GDP 达到了中等偏上收入国家标准(2)“从 5 个行政区中随机抽取 2 个”的所有的基本事件是：A，B，A，C，A，D，A，E，B，C，B，D，B，E，C，D，C，E，D，E，共 10 个设事件“抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为 M，则事件 M 包含的基本事件是：A，C，A，E，C，E，共 3 个，所以所求概率为P(M)310.