1、长郡中学高三停课不停学阶段性检测理科数学试题一、选择题1.已知集合 ，则 （）A.B.C.D.【答案】B由已知解得 ，所以 ，故选 B.2.设 i 为虚数单位,“复数 是纯虚数”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B解：复数 是纯虚数,则 或 ,所以“复数 是纯虚数”不是“”的充分条件；当 时,复数为,是纯虚数,“复数 是纯虚数”是“”的必要条件,所以“复数 是纯虚数”是“”的必要不充分条件故选 B3.如图程序框图是为了求出满足 的最小偶数，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A.和 B.和 C.和 D.和 【答案】D【详解】因为程序框
2、图为当型循环，所以当 满足条件时，才会进行循环，显然不能填 ，故排除 A,B，由于要求输出 为偶数，且 的起始值为 0，所以 .4.已知 ln，ln，ln，则，的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】B【详解】对于 的大小：ln ln ln，ln ln ln，明显 ；对于 的大小：构造函数 ln，则 ln，当 时，在上单调递增，当 时，在 上单调递减，即ln ln ln ln ln ln 对于 的大小：ln ln，ln ln，故选 B5.圆周率是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于 1 的正数然
3、后请他们各自检查一下，所得的两数与 1 是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有 个人说“能”，而有 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率的近似值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】把每一个所写两数作为一个点的坐标，由题意可得与 1 不能构成一个锐角三角形是指两个数构成点的坐标在圆 内，进一步得到，则答案可求6.在等差数列 中，其前 项和为，若 ，则()A.2018B.2018C.4036D.4036【答案】C【解析】【分析】先证明 是等差数列，由此求得数列 的首项和公差，由此求得的值，进而求得的值.【详解】设等
4、差数列 的前 项和为 ，则 ，所以 是等差数列因为 ，所以 的公差为，又 ，所以 是以 为首项，为公差的等差数列，所以 ，所以 .故选 C.【点睛】本小题主要考查等差数列前 项和公式的理解和运用，考查等差数列基本量的计算，属于基础题.7.已知双曲线 与抛物线 在第一象限交于点，若抛物线 在点 处的切线过双曲线的左焦点 ，则双曲线的离心率为（）A.2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设，求函数导数，利用导数的几何意义及切线斜率公式建立方程关系求出 ，根据双曲线的定义求出 即可.【详解】设,左焦点 ,抛物线在第一象限对应的函数为 ，函数的导数 ，则在 P 处的切线斜率 ，又切线过焦点，所以，解
5、得 ，则，设右焦点坐标为，则 ，即 ，所以 ，故选 D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，双曲线的定义、离心率，属于中档题.8.已知函数 对 满足：，且 ，若 ，则 （）A.B.2C.D.4【答案】A【详解】因为 ，又 故 ，即 所以函数的周期为 6，由已知可得当 时，又 ，所以 ，并且 ，所以 ，故选 A.9.已知函数 sin ，若 在 上恰有两个零点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D由题 ，所以 ，根据 在 上恰有两个零点，得到 且 ，即可求解，得到答案10.在棱长为 1 的正方体 中，点 关于平面 的对称点为，则 与平面 所成角的正切值为A.B.C.D.2【答案】B【解析
6、】【分析】利用等体积法求得点 到平面 的距离为，连接，连接，可证 平面，由于点 关于平面 的对称点为，则点 在线段 上，根据线段的比例关系可得 ，从而找出点 的位置，过 作 的垂线交 于，从而可得 平面，所以 与平面 所成角为，求出其正切值即可得到答案【详解】由题可得，由于，即，则 ，解得：，所以点 到平面 的距离为，连接，连接，由于在正方体 中，则平面，所以，同理可证：平面，得到：，则可得：，故 平面 由于点 关于平面 的对称点为，则点 在线段 上，因为点 到平面 的距离为，则 ，在正方体 中，故 ，所以点 为 的三等分点，过 作 的垂线交 于，则，由于 平面，则 平面，连接，则 与平面 所
7、成角为，tan 所以 与平面 所成角的正切值为：故答案选 B11.已知 是奇函数 的导函数，当 时，则不等式 的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【详解】当 时，由 得 ，即 ，所以 ，即 ，所以令 ，则 在 上单调递增，且 ，又因为 上奇函数，所以 也是奇函数，且在 时 ，在 时 ，又因为 ，所以在 时 ，在 时 解不等式 中，当 时，所以其解集为 ；当 时，所以其解集为 .12.已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推，若该数列前 项和 满足：是 2 的整数次幂，则满足条件的最小的 为A.21B.91
8、C.95D.10【答案】C【详解】根据题意构造数列 ，使得：，.，.，故 ，.，所以数列 的前 项和 .令数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，为 ，根据题意可得：.，则数列 的前 项和 .，所以要使数列 前 项和 满足：，由于 是 2 的整数次幂，则 ，则 ，则 ，当 时，则 ，解得：，故满足条件的最小的 为 95，故答案选 C二、填空题13.展开式中的系数为_【答案】30【详解】由题可得：展开式中的系数等于二项式 展开式中 的指数为 2 和4 时的系数之和，由于二项式 的通项公式为 ，令 ，得 展开式的的系数为 ，令 ，得 展开式的的系数为 ，所以 展开式中的
9、系数 ，14.在三棱锥 中，平面 平面，是边长为 6 的等边三角形，是以 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_【答案】【详解】如图，在等边三角形 中，取 的中点，设其中心为，由 ，得 ，是以 为斜边的等腰角三角形，,又因为平面 平面，平面，则 为棱锥 的外接球球心，外接球半径 ，该三棱锥外接球的表面积为 ，故答案为.15.将函数 cos 与直线 的所有交点从左到右依次记为.，若 点坐标为 ，则 ._.【答案】10【解析】【分析】由函数 cos 与直线 的图象可知，它们都关于点中心对称，再由向量的加法运算得 .，最后求得向量的模.【详解】由函数 cos 与直线 的图象可知，它们都
10、关于点中心对称，所以 .【点睛】本题以三角函数和直线的中心对称为背景，与平面向量进行交会，考查运用数形结合思想解决问题的能力.16.如图所示，在平面四边形 中，是以 为顶点的等腰直角三角形，则 面积的最大值为_【答案】【详解】在 中，设 ，在 中，由余弦定理，可得 cos ，由 ，当且仅当 时取等号，即有 cos ，由于 则 ，利用余弦定理可得：cos，化简得：cos，又因为 是以 为顶点的等腰直角三角形，则 cos，在 中，由正弦定理可得：sin sin，即：sin sin，则 sin sin，由于 cos sin sin sin cos sin cos cos cos，即 cos cos所
11、以 的面积 sin sin sin cossin cos sin cos sin cos sin 当时，sin 取最大值 1，所以 的面积的最大值为 三、解答题17.设ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c，设 S 为ABC 的面积，满足 .（）求 B；（）若 ，设 ，（-），求函数 的解析式和最大值.【答案】（）；（）sin （），【解析】试题分析：（1）由已知及三角形面积公式和余弦定理得 sin cos，化简后可得；（2）由正弦定理得 sin sin sinsin sin，sin sin sin ，所以 sin ，最大值为 .试题解析：（1）由已知及三角形面积公式和余弦定理
12、得 sin costan，又 ，所以 （2）由（1）知 ，ABC 的内角和 ，又 ，得 由正弦定理，知 sin sin sinsin sin，sin sin sin 所以 （-）（-）sin sin sin cos sin 当 ，即 时，取得最大值 考点：解三角形18.如图，四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，在上.（1）若点是的中点，求证：平面；（2）在线段上确定点的位置，使得二面角的余弦值为.【答案】（1）证明见解析；（2）点是的中点.【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，先证平面，所以再证 ，进而平面；（2）以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，可求得平面的法向量，再
13、设，可得，进而利用空间向量加角余弦公式求解.试题解析：（1）证明：取的中点，连接，.则又从而取的中点，连接.由为中点，得四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：由平面平面得平面，故以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，设，由已知得，设平面的法向量为 ，由 ，得，则 .设 （），则 ，从而，设平面 的法向量为 ，则由 ，则 ，所以cos ，解得.故当点是的中点时，二面角 的余弦值为.考点：1、线面垂直的判定定理；2、空间向量加角余弦公式.19.已知点 到直线 的距离比点 到点 的距离多.（1）求点 的轨迹方程；（2）经过点 的动直线 与点 的轨迹交于，两点，是
14、否存在定点 使得？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在满足条件的定点 ,详见解析【解析】【分析】(1)根据抛物线的定义可得解；(2)将角的相等关系转化到直线的斜率的关系，进而转化到交点的坐标的关系求解.【详解】（1）由题知，点 到直线 的距离，故 点的轨迹是以 为焦点、为准线的抛物线，所以其方程为 ；（2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点，则点 必在 轴上，可设其坐标为.此时 ，设 ，则 ，由题知直线 的斜率存在，设其方程为 ，与 联立得 ，则 ，故 ，即存在满足条件的定点 .【点睛】本题考查抛物线的定义和直线与抛物线的关系，对于第二小问是常规题，转化
15、成坐标的关系是关键，并且能最终转化成与韦达定理的关系，属于中档题.20.武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记 1 分，若继续游玩东湖记 2 分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为，游客之间选择意愿相互独立.（1）从游客中随机抽取 3 人，记总得分为随机变量，求 的分布列与数学期望；（2）（i）若从游客中随机抽取 人，记总分恰为 分的概率为，求数列 的前 10 项
16、和；（）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为 分的概率为，探讨与之间的关系，并求数列 的通项公式.【答案】（1）见解析（2）（i）（），【解析】【分析】（1）判断出 可能取值为 3，4，5，6，分别求出概率，进而求出其数学期望（2）（i）由题可得首项为，公比为的等比数列，并求其前 10 项和（）根据与之间的关系 ，用待定系数法得 ，进一步就可求出 的通项公式【详解】解：（1）可能取值为 3，4，5，6.，.的分布列为3456 .（2）（i）总分恰为 分的概率为，数列 是首项为，公比为的等比数列，前 10 项和 .（）已调查过的累计得分恰为 分的概率为，得不到 分的情况只
17、有先得 分，再得 2分，概率为，.所以 ，即 .，.【点睛】本题是一道数列与概率的综合问题，对于递推式 ，可通过待定系数法求 的通项公式，是一道中等难度的题目21.已知 ，函数 ln .（1）讨论 的单调性；（2）设函数 ln ，若 恰有两个零点 ，且当 时，求实数 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】【分析】(1)对函数求导函数后，讨论参数的范围使之能判断导函数的符号，从而得原函数的单调性；(2)由(1)得两个零点的范围，从而得参数的范围，建立不等式求解.【详解】解析：（1），故当 时，在 上单减，在 上单增；当 时，在 和 上单增，在 上单减；当 时，在 上单增；
18、当 时，在 和 上单增，在 上单减；（2）结合（1）知 ；当 时，故 ，不存在零点；又当 时，当 时，当 时，只有一个零点；故 ，此时 存在两个零点且当 时 即 ，此时 ，在 上单增，上单减，而 ln ，又 ln ，代入式得 ，又 ln ，故 ，即 ，即可，.【点睛】本题考查根据导函数的正负研究原函数的图像趋势，进而解决相关的零点、不等式恒成立或满足不等式求解参数的范围等问题，属于难度题.请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题目计分22.曲线的参数方程为 cos （为参数），以原点 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为cos sin.(1
19、)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；(2)若直线 与曲线，的交点分别为、（、异于原点），当斜率 时，求 的最小值.【答案】（1）的极坐标方程为 sin；曲线的直角坐标方程 .（2）【解析】【分析】(1)消去参数，可得曲线的直角坐标方程 ，再利用极坐标与直角坐标的互化，即可求解.(2)解法 1：设直线 的倾斜角为，把直线 的参数方程代入曲线的普通坐标方程，求得 ，再把直线 的参数方程代入曲线的普通坐标方程，得 ，得出 sin cossin，利用基本不等式，即可求解；解法 2：设直线 的极坐标方程为 ，分别代入曲线，的极坐标方程，得 sin，sincos，得出 sin cossin，即可基本
20、不等式，即可求解.【详解】(1)由题曲线的参数方程为 cos （为参数），消去参数，可得曲线的直角坐标方程为 ，即 ，则曲线的极坐标方程为 sin ，即 sin，又因为曲线的极坐标方程为cos sin，即cos sin，根据 cos sin，代入即可求解曲线的直角坐标方程 .(2)解法 1：设直线 的倾斜角为，则直线 的参数方程为 cos （为参数，），把直线 的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：sin ，解得 ，sin，sin，把直线 的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：cos sin，解得 ，sincos，sincos，sin cossin sin sin，即 tan ，sin ，sin
21、sin sin sin ，当且仅当sin sin，即 sin 时取等号，故 的最小值为 .解法 2：设直线 的极坐标方程为 ），代入曲线的极坐标方程，得 sin，sin，把直线 的参数方程代入曲线的极坐标方程得：cos sin，sincos，即 sincos，sin cossin sin sin，曲线的参 ，即 tan ，sin ，sin sin sin sin ，当且仅当sin sin，即 sin 时取等号，故 的最小值为 .【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程点互化，以及直线参数方程的应用和极坐标方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23.已知函数 .（1）求不等式 的解集；（2）设 ，若 对任意 成立，求 的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据对含两个绝对值符号的三段式讨论化简函数表达式求解不等式；(2)构造柯西不等式求最值.【详解】解析：（1），当 时，即 ，；当 时，即 ，；当 时，即 ，无解；综上，；（2）由（1）知，当 时，取到最小值，故 对任意 成立，即 ，由柯西不等式知 ，当且仅当 时等号成立，即 ，当 ，时，右边等号成立，的最大值为 .【点睛】本题考查含两个绝对值符号的讨论方法和构造柯西不等式，属于中档题.
