1、学科网（北京）股份有限公司高一考试数学试卷注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 4本试卷主要考试内容：人教 B 版必修第三册至必修第四册一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1一个几何体的棱数是奇数，则这个几何体可能是（）A三棱锥 B三棱柱 C四棱锥 D四棱柱 231 i2i
2、=+（）A 31 i55 B31 i55+C 13i55 D13i55+3若正五边形 ABCDE 的中心为O，以 AO 所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（）A该几何体为圆台 B该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体 C该几何体为圆柱 D该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体 4已知向量(),1am=，()1,1bm=，若()aab+，则m=（）A0 或 2 B2 C0 或 2 D 2 5棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗发现的，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cosisincosisinnnrrnn+=+根据复数乘方公式，复数20232 cosisin5
3、5+在复平面内对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 6如图，在圆柱OO 中，AB，CD 分别为圆O，O 的直径，ABCD，2ABBC=，DE 为 BC 的中点，则一只蚂蚁在圆柱表而从 A 爬到 E 的最短路径的长度为（）学科网（北京）股份有限公司A21+B241+C 3 D 5 7已知函数()2cos33f xx=+（0）在 0,12上恰有 3 个零点，则 的取值范围为（）A(40,48 B)40,48 C(42,46 D)42,46 8在直三棱柱111ABCA B C中，23BAC=，122AAACAB=，O 为四边形11AAC C 的中心，则异面直线1OB 与1A
4、 B 夹角的余弦值为（）A510 B515 C520 D525二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9下列结论正确的是（）A球心与球面上两个不同的点确定一个平面 B若直线l 上任意一点都不在平面 内，则l C若平面 平面 ，直线l 平面 ，则l D若直线l平面，直线l 平面 ，则 10已知()2,1A，()3,2B，()1,3C，则（）A()1,3AB=B9AB AC=C9 10cos,50AB AC=D AB在 AC上的投影的数量为 95 11若200450 xx+=
5、（0 x 为复数），则（）A02ix=B0054xx+=C2020258xx+=D4002455xx=12在正三棱锥 PABC中，PA 与底面 ABC 所成角的余弦值为 2 77，2 3AB=，则（）A PCAB B三棱锥 PABC的体积为3 3 C二面角 PABC的大小为 3 D三棱锥 PABC的外接球的表面积为 493三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上学科网（北京）股份有限公司13用斜二测画法画出的水平放置的ABC的直观图如图所示，已知1A B =，12A C =，则 BC=_ 14已知复数 z 满足21 3izz=+，则2zz+=_ 1
6、5在正四棱台1111ABCDA B C D中，4AB=，112A B=，16AA=，则该棱台的体积为_ 16汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东 2 公里的建昌村，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首如图，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度 AB，选取了与塔底 B 在同一水平面内的三个测量基点C，D，E，现测得30BCD=，70BDC=，120BED=，17.2mBE=，10.32mDE=，在点C 测得塔顶 A 的仰角为 62，则塔高 AB=_（结果精确到1m）参考数据：取 tan621.88=，sin700.94=，144.961612.04=四、解答题：本大题
7、共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）已知复数()216 izaa=+，2223izaa=+，aR （1）若12zz+是纯虚数，求a；（2）若120zz+，求1z 18（12 分）如图，正方体1111ABCDA B C D被平面 EFGH 截成两个几何体，其中 E，F，G，H 分别在棱11C D，1CC，1BB，11A B 上 学科网（北京）股份有限公司（1）证明：EF 平面 DGH；（2）若11122336ABA HBGECFC=，且直线 HE 与GF 交于点O，求三棱锥1OC EF的体积 19（12 分）已知函数()()sinf xx=+（0，2
8、）在5,18 18上单调递增，且直线18x=和518x=为()f x 图象的两条对称轴（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()6g xf xfx=+，求()g x 的单调递增区间 20（12 分）如图，在圆锥 PO 中，AB 是圆O 的直径，C 为 AB 上更靠近 A 的三等分点，D 为线段 PO 的中点，且3PA=，圆锥 PO 的侧面展开图是圆心角为 43 的扇形 （1）求圆锥 PO 的表面积；（2）求 D 到平面 PAC 的距离 21（12 分）已知锐角ABC的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且()sin1 cossin cosABBA+=（1）求 A 的取值范围；（2
9、）求 2aac+的取值范围 学科网（北京）股份有限公司22（12 分）如图 1，在等腰直角ABC中，2C=，D，E 分别是 AC，AB 的中点，F 为线段CD 上一点（不含端点），将ADE沿 DE 翻折到1A DE的位置，连接1AC，1A B，得到四棱锥1ABCDE，如图 2 所示，且1A FCD （1）证明：1A F 平面 BCDE；（2）若直线1A E 与平面 BCDE 所成角的正切值为 155，求二面角1ABDC的平面角的正切值 高一考试数学试卷参考答案 1B 三棱锥有 6 条棱，三棱柱有 9 条棱，四棱锥有 8 条棱，四棱柱有 12 条棱 2A ()()()()31 i2i1 i1 i
10、31 i2i2i2i2i55+=+3B 由题意可知该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体 4C 由题意得()1,abmm+=+，所以()10m mm+=，得0m=或 2 5D 由题意得20232 cosisin55+()()2023202320232023332cosisin2cosisin5555=+=+，因为()202320，3cos05，所以复数20232 cosisin55+在复平面内对应的点位于第四象限 6A 如图，在半圆柱侧面的展开图上，AB=，1BE=，则最短路径的长度为2221AEABBE=+=+学科网（北京）股份有限公司 7D 因为0,12x，所以,33 123x+令 2
11、cos303x+=，则3cos32x+=因为()2cos33f xx=+在 0,12上有 3 个零点，所以232561236+，解得4246，所以22230,60,aaaa+=，得2a=故144i4 2z=18（1）证明：由正方体性质可得平面11ABB A 平面11DCC D，平面11ABB A 平面 EFGHGH=，平面11DCC D 平面 EFGHEF=，EFGH GH 平面 DGH，EF 平面 DGH，EF 平面 DGH （2）解：OHE，HE 平面1111A B C D，O平面1111A B C D 学科网（北京）股份有限公司OGF，GF 平面11BCC B，O平面11BCC B 平面
12、1111A B C D 平面1111BCC BB C=，11OB C 11OECOHB，111123OCECOBHB=，即()11263OCOC=+，则112OC=，1111111118332O C EFC EFVSOCECFC OC=19解：（1）设()f x 的最小正周期为T，则5218183T=，得3=由题意得53182k+=+（k Z），得3k=+（k Z），因为2，所以3=故()sin 33f xx=（2）由题意得()sin 3sin 3sin 3cos 333233g xxxxx=+=+2sin 32sin 33412xx=+=，由2322122kxk+（k Z），得5272363
13、363kkx+（k Z），所以()g x 的单调递增区间为5272,363363kk+（k Z）20解：（1）由题意得4233AO=，得2AO=，所以圆锥 PO 的表面积为210AOAO PA+=（2）由题意得 D 到平面 PAC 的距离等于O 到平面 PAC 的距离的 12 因为C 为 AB 上更靠近 A 的三等分点，所以AOC为等边三角形，学科网（北京）股份有限公司所以1sin32AOCSAO COAOC=易得2212 222PACACSACPA=，225POPAAO=，设O 到平面 PAC 的距离为h，由1133O PACPACP AOCADCVShVSPO=，得304AOCPACSPO
14、hS=故 D 到平面 PAC 的距离为308 21解：（1）由题意得()sinsin coscos sinsinABABABA=，所以 ABA=或 ABAB+=（舍去），即2BA=因为ABC是锐角三角形，所以0,202,203,2ABACA =得,6 4A （2）由正弦定理得()22sin2sin2sinsinsinsinsinsinsin coscos sinaAAAacACAABAABAB=+()2222sin2sin1sinsin cos2cos sin22cossinsin2cos12sin cosAAAAAAAAAAAAA=+，由,6 4A，得23cos,22A，232cos1,2A
15、，所以2212,12cos3aacA=+，即 2aac+的取值范围为 2,13 22（1）证明：2C=，DEBC，DEAD（1DEA D），DECD 1A DCDD=，DE 平面1A DC 1A F 平面1A DC，1DEA F 学科网（北京）股份有限公司又CDDED=，1A F 平面 BCDE （2）解：在图 2 中，连接 EF 由题意得1A DCDDE=，1A F 平面 BCDE，直线1A E 与平面 BCDE 所成的角为1A EF，则115tan5A EF=设 DFx=，则2222111A FA DDFA Dx=，22221EFDEDFA Dx=+=+，2211122115tan5A DxA FA EFEFA Dx=+，得12A Dx=，即 F 为CD 的中点 过 F 作 FOBD，垂足为O 1A F 平面 BCDE，1A FBD，1A FOFF=，BD 平面1AOF，1AOBD，二面角1ABDC的平面角为1AOF 由题意得4,2BCx CDx=，则222 5BDBCCDx=+=，12 525CD BCOFxBD=，22113A FA Dxx=，1115tan2A FAOFOF=
