1、课时2导数与函数的极值、最值题型一用导数解决函数极值问题命题点1根据函数图像判断极值例1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案D解析由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值.命题点2求函数的极值例2已知函数f(x)ax33x
2、21(aR且a0)，求函数f(x)的极大值与极小值.解由题设知a0，f(x)3ax26x3ax.令f(x)0得x0或.当a0时，随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，0)0(0，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)极大值f(0)1，f(x)极小值f1.当a0时，随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，)(，0)0(0，)f(x)00f(x)极小值极大值f(x)极大值f(0)1，f(x)极小值f1.综上，f(x)极大值f(0)1，f(x)极小值f1.命题点3已知极值求参数例3(1)已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，则ab_.(2)若函数f
3、(x)x2x1在区间(，3)上有极值点，则实数a的取值范围是()A.(2，) B.2，)C.(2，) D.2，)答案(1)7(2)C解析(1)由题意得f(x)3x26axb，则解得或经检验当a1，b3时，函数f(x)在x1处无法取得极值，而a2，b9满足题意，故ab7.(2)若函数f(x)在区间(，3)上无极值，则当x(，3)时，f(x)x2ax10恒成立或当x(，3)时，f(x)x2ax10恒成立.当x(，3)时，yx的值域是2，)；当x(，3)时，f(x)x2ax10，即ax恒成立，a2；当x(，3)时，f(x)x2ax10，即ax恒成立，a.因此要使函数f(x)在(，3)上有极值点，实数
4、a的取值范围应是(2，).思维升华(1)求函数f(x)极值的步骤：确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值.(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.(1)函数y2x的极大值是_.(2)设f(x)ln(1x)xax2，若f(x)在x1处取得极值，则a的值为_.答案(1)3(2)解析(1)y2，令y0，得x1.当x0；当x1时，y0.当x1时
5、，y取极大值3.(2)由题意知，f(x)的定义域为(1，)，且f(x)2ax1，由题意得：f(1)0，即2a2a10，解得a，又当a时，f(x)，当0x1时，f(x)1时，f(x)0，所以f(1)是函数f(x)的极小值，所以a.题型二用导数求函数的最值例4已知aR，函数f(x)lnx1.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求f(x)在区间(0，e上的最小值.解(1)当a1时，f(x)lnx1，x(0，)，所以f(x)，x(0，).因此f(2)，即曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为.又f(2)ln2，所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为
6、y(ln2)(x2)，即x4y4ln240.(2)因为f(x)lnx1，所以f(x).令f(x)0，得xa.若a0，则f(x)0，f(x)在区间(0，e上单调递增，此时函数f(x)无最小值.若0ae，当x(0，a)时，f(x)0，函数f(x)在区间(a，e上单调递增，所以当xa时，函数f(x)取得最小值lna.若ae，则当x(0，e时，f(x)0，函数f(x)在区间(0，e上单调递减，所以，当xe时，函数f(x)取得最小值.综上可知，当a0时，函数f(x)在区间(0，e上无最小值；当0a)，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于()A.B.C.D.1答案D解析由题意知，当x(0,
7、2)时，f(x)的最大值为1.令f(x)a0，得x，当0x0；当x时，f(x)0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值.解(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex0，所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点，且f(x)与g(x)符号相同.又因为a0，所以3x0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)5f(0)，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.思维升华求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和
8、极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值.已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m、n1,1，则f(m)f(n)的最小值是()A.13B.15C.10D.15答案A解析对函数f(x)求导得f(x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在1,0)上单调递减，在0,1上单调递增，当m1,1时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图像开口向下，且对称轴为x1，当n1,1时，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.3.利用导数求函数的最值
9、问题典例(12分)已知函数f(x)lnxax (aR).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值.思维点拨(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)0，f(x)0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，).2分当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x0；当x时，f(x)0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.5分(2)当1，即a1时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln22a.6分当2，即0a时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a.7分当12，
10、即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数.又f(2)f(1)ln2a，所以当aln2时，最小值是f(1)a；当ln2a1时，最小值为f(2)ln22a.11分综上可知，当0a0，函数单调递增；当x(1，e时，y0，函数单调递减.当x1时，函数取得最大值1.3.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图像可能是()答案C解析由函数f(x)在x2处取得极小值，可得f(2)0，且当x(a，2)(a2)时，f(x)单调递减，即f(x)2)时，f(x)单调递增，即f(x)0.所以函数yxf(x)在区间(a，2)(a2)内的函数值为正，在
11、区间(2，b)(2b0，即a23a180.a6或a0时，ex1，aex1.8.已知f(x)x36x29xabc，ab0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是_.答案解析f(x)3x212x93(x1)(x3)，由f(x)0，得1x0，得x3，f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(，1)，(3，)上是增函数.又ab0，y极小值f(3)abc0，0abc4.a，b，c均大于零，或者a0，b0.又x1，x3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图.f(0)0，f(0)f(1)0，正确结论的序号是.9.设f(x)a(x5)26lnx，其中aR，曲线yf(x)在点
12、(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解(1)因为f(x)a(x5)26lnx，所以f(x)2a(x5).令x1，得f(1)16a，f(1)68a，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y16a(68a)(x1)，由点(0,6)在切线上，可得616a8a6，故a.(2)由(1)知，f(x)(x5)26lnx(x0)，f(x)x5.令f(x)0，解得x2或3.当0x3时，f(x)0，故f(x)在(0,2)，(3，)上为增函数；当2x3时，f(x)0，故f(x)在(2,3)上为减函数.由此可知f(x)在x2处取得极大值f
13、(2)6ln2，在x3处取得极小值f(3)26ln3.综上，f(x)的单调增区间为(0,2)，(3，)，单调减区间为(2,3)，f(x)的极大值为6ln2，极小值为26ln3.10.已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.解(1)由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.f(x)与f(x)随x的变化情况如下表：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，).(2)当k10，即k1时，f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)
14、k；当0k11，即1k2时，f(x)在0，k1上单调递减，在k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k11，即k2时，f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上，当k1时，f(x)在0,1上的最小值为f(0)k；当1k1，则不等式exf(x)ex1的解集是()A.x|x0B.x|x0C.x|x1D.x|x1或0x1，可得到g(x)0，所以g(x)为R上的增函数；又g(0)e0f(0)e010，所以exf(x)ex1，即g(x)0的解集为x|x0.12.设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)，若x1为函数f(x
15、)ex的一个极值点，则下列图像不可能为yf(x)图像的是()答案D解析设h(x)f(x)ex，则h(x)(2axb)ex(ax2bxc)ex(ax22axbxbc)ex.x1为函数f(x)ex的一个极值点，ca0，ca.f(x)ax2bxa.若方程ax2bxa0有两根x1，x2，则x1x21，D中图像一定不满足条件.13.已知函数f(x)x33axb(a0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是_.答案(1,1)解析令f(x)3x23a0，得x，则f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值从而解得所以f(x)的单调递减区间是(1,
16、1).14.若函数f(x)x33x在(a,6a2)上有最小值，则实数a的取值范围是_.答案2,1)解析f(x)3x230，得x1，且x1为函数的极小值点，x1为函数的极大值点.函数f(x)在区间(a,6a2)上有最小值，则函数f(x)极小值点必在区间(a,6a2)内，即实数a满足a16a2且f(a)a33af(1)2.解a16a2，得a0，当且仅当2e2x2e2x，即x0时，“”成立.故f(x)在R上为增函数.(3)由(1)知f(x)2e2x2e2xc，而2e2x2e2x24，当x0时等号成立.下面分三种情况进行讨论：当c0，此时f(x)无极值；当c4时，对任意x0，f(x)2e2x2e2x40，此时f(x)无极值；当c4时，令e2xt，注意到方程2tc0有两根t10，t20，即f(x)0有两个根x1lnt1，x2lnt2.当x1xx2时，f(x)x2时，f(x)0，当x0，从而f(x)在xx1处取得极大值，在xx2处取得极小值.综上，若f(x)有极值，则c的取值范围为(4，).