1、课时跟踪检测（九） 空间中的距离A级基础巩固1已知平面的一个法向量为n(2，2，1)，点A(1，3，0)在平面内，则点P(2，1，4)到平面的距离为()A.10 B3C D解析：选D点P到平面的距离d.2.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA1，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为()A1 BC D解析：选C以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点E(1，1，)，F，所以| ，故选C.3正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则点A到平面B1D1DB的距离为()A B2C D解析：选C以D为原点，的方向分别为x轴，
2、y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，(1，1，0)，(0，1，0).容易证明是平面B1D1DB的一个法向量，于是A到平面B1D1DB的距离为d.4.如图所示，在平行六面体ABCDABCD中，AB1，AD2，AA3，BAD90，BAADAA60，则AC的长为()A BC D解析：选B，2()22222()1222322(013cos 6023cos 60)14223，|，即的长为.5已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是()A BC D解析：选B建立空间直角坐标系如图所示，则(
3、0，2，0)，(0，1，2)，设ABE，则cos ，sin .故A到直线BE的距离d|sin2.6已知平行六面体ABCD A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60，则A，C1两点间的距离是_解析：设a，b，c，易得abc，则|2(abc)(abc)a22ab2ac2bcb2c244444424，所以|2.答案：27已知棱长为1的正方体ABCDEFGH，若点P在正方体内部且满足，则点P到AB的距离为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则(1，0，0)(0，1，0)(0，0，1).(1，0，0)，所以P点到AB的距离为d .答案：8如图，在三棱柱ABCA1B1
4、C1中，所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，则，(0，1，0)，(0，1，1).设平面ABC1的一个法向量为n(x，y，1)，则有解得n，则所求距离为.答案：9已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到EF的距离解：以D点为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，设DA2，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，则(1，2，1)， (1，0，2).|，110(2)(
5、2)11，在上的投影长为 .所以点A到EF的距离d.10.在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA1AD1，E，F分别是A1D1，BC的中点，P是BD上一点，PF平面EC1D.(1)求BP的长；(2)求点P到平面EC1D的距离解：(1)以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示B(1，0，1)，D(0，2，1)，F(1，1，1)，E(0，1，0)，C1(1，2，0)，设P(a，b，1)，0，1，(0，1，1)，(1，1，0)，(1，2，0)，则(a1，b，0)(，2，0)，P(1，2，1)，(，12，0)，设平面DEC1的法向量n(x，
6、y，z)，则取x1，得n(1，1，1)，PF平面EC1D，n120，解得，P，BP的长|.(2)由(1)得平面DEC1的法向量n(1，1，1)，点P到平面EC1D的距离：d.B级综合运用11.如图所示，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA12，ABBC1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是()A BC D解析：选C建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，2).根据题意，可设点P的坐标为(0，2)，0，1，点Q的坐标为(1，0)，0，1，则PQ ，当且仅当，时，线段PQ的长度取得最小值.12(多选)如图
7、所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，若CF平面B1DF，则AF的长为()Aa BaC2a D2a解析：选ACCF平面B1DF，CFDF.在矩形ACC1A1中，设AFm.CD2DF2CF2CCDC10a2，CF24a2m2，DF2(3am)2a2，联立得ma或m2a，则AF的长度为a或2a.13.如图所示，在已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为直角梯形，ABCD，且ADC90，AD1，CD，BC2，AA12，E是CC1的中点，则A1B1到平面ABE的距离为_，二面角ABEC的余弦值为_解析：如图，以D为原点，、的方向分别为
8、x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，1)，过C作AB的垂线交AB于F，易得BF，B(1，2，0)，(0，2，0)，(1，1).设平面ABE的一个法向量为n(x，y，z)，则由得y0，xz，不妨取n(1，0，1).(0，0，2)，A1B1到平面ABE的距离d.又B1(1，2，2)，(0，0，2)，(1，0).设平面BCE的一个法向量为n(x，y，z)易得xy，z0，取n(，1，0)，n与n所成的角为，则cos .答案：14.如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABCD，ADCD1，BAD120，ACB90.(1)求证：BC平面PAC；
9、(2)若二面角DPCA的余弦值为，求点A到平面PBC的距离解：(1)证明：PA底面ABCD，BC平面ABCD，PABC，ACB90，BCAC，又PAACA，BC平面PAC.(2)设APh，取CD的中点E，连接AE，则AECD，AEAB.又PA底面ABCD，PAAE，PAAB，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，h)，C，D，B(0，2，0)，(0，1，0)，设平面PDC的法向量n1(x1，y1，z1)，则即取x1h，n1.由(1)知平面PAC的一个法向量为，|cos n1，|，解得h，同理可求得平面PBC的一个法向量n2(3，2)，点A到平面PBC的距离为d.C级拓
10、展探究15.如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD2AB2BC2，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：取AD的中点O，连接PO，OC.在PAD中，PAPD，POAD.又侧面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，则(1，0，1)，(1，1，0).假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为，设Q(0，y，0)(1y1)，则(1，y，0).设平面PCD的法向量为n(x0，y0，z0)，则即x0y0z0，取x01，则平面PCD的一个法向量为n(1，1，1).点Q到平面PCD的距离d，y或y(舍去).此时，则|，|.存在点Q满足题意，此时.