1、2.3等差数列的前n项和材拓展1等差数列的判定(1)anan1d (n2，d为常数)an是公差为d的等差数列；(2)2anan1an1 (n2)an是等差数列；(3)anknb(k，b为常数)an是公差为k的等差数列(n1)；(4)SnAn2Bn(A，B为常数)an是公差为2A的等差数列(n1)例如：已知等差数列an的前n项和Sn(n1)2，则的值是_解析Sn(n1)2n22n(1)，an是等差数列，10，1.答案12等差数列的通项公式将ana1(n1)d可整理为andn(a1d)，它是关于n的一次函数(d0)或常函数(d0)，它的图象是一条射线上的一群横坐标为正整数的孤立的点，公差d是该射线
2、所在直线的斜率例如：等差数列an中，若anm，amn (mn)，则amn_.解析由点(n，an)，(m，am)，(mn，amn)三点共线，.即1，易得amn0.答案03等差数列的前n项和公式(1)将公式Snna1d变形可得Snn2n.故当d0时，等差数列前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线yx2x上横坐标为正整数的一群孤立点(2)n是关于n的一次函数(d0)或常函数(d0)当涉及等差数列前n项和Sn的计算问题时，有时设SnAn2Bn的形式更简便快捷例如：等差数列an中，若Spq，Sqp (pq)，则Spq_.解析设SnAn2Bn，则由(1)(2)得Ap2BpAq2Bqqp，A(p2
3、q2)B(pq)qp，pq，A(pq)B1.SpqA(pq)2B(pq)A(pq)B(pq)(pq)答案(pq)4等差数列的性质(1)若数列an和bn均是等差数列，则mankbn仍为等差数列，其中m、k均为常数(2)若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq.(3)等差数列中依次k项的和成等差数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差数列，公差为k2d (d是原数列公差)(4)若an与bn均为等差数列，且前n项和分别为Sn与Sn，则.(5)等差数列an中，奇数项的和记作S奇，偶数项的和记作S偶，则SnS奇S偶当n为偶数时：S偶S奇d；当n为奇数时：S奇S偶a中，S奇a中，S偶a中
4、，.(其中a中是等差数列的中间一项)例如：已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是_解析S偶S奇d5d，5d301515，d3.答案35等差数列前n项和的最值求等差数列前n项和的最值的常用方法：(1)通项法当a10，d0时，数列an只有前面有限项为非负数，从某项开始所有项均为负数，因此，Sn有最大值，当n满足不等式组时，Sn取到这个最大值；当a10时，数列an只有前面有限项为非正数，从某项开始所有项均为正数，因此，Sn有最小值，当n满足不等式组时，Sn取到这一最小值(2)二次函数法由于Snn2n，nN*是关于n的二次函数式，故可转化为求二次函数的最值问题，但要
5、注意数列的特殊性nN*.例如：an是等差数列，a10，a2 009a2 0100，a2 009a2 0100成立时，n的最大值是_答案2 0094 018法突破一、等差数列的判断方法方法链接：判定等差数列的常用方法：(1)定义法：an1and (常数)(nN*)；(2)通项公式法：anknb (k，b为常数) (nN*)；(3)中项公式法：2an1anan2 (nN*)；(4)前n项和法：SnAn2Bn (A、B为常数)，nN*.例1数列an的前n项和Sn满足：Sn，判断an是否为等差数列？并证明你的结论解an是等差数列，证明如下：因为anSnSn1 (n2)，所以an1，所以an1an(n1
6、)(a1an1)2n(a1an)(n1)(a1an1)(n1)an12nan(n1)an1 (n2)，即(n1)(an12anan1)0，所以an1an12an (n2)，所以数列an为等差数列二、等差数列中基本量的运算方法链接：在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a1和d是两个基本量，利用通项公式与前n项和公式，求出a1和d，等差数列就确定了例2在等差数列an中，(1)已知a610，S55，求a8和S8；(2)已知前3项和为12，前3项积为48，且d0，求a1；(3)已知前3项依次为a,4,3a，前k项和Sk2 550，求a及k.解(1)a610，S55，.解
7、方程组得a15，d3，a8a62d102316，S8844.(2)设数列的前三项分别为ad，a，ad，依题意有：，.d0，d2，ad2.a12.(3)设公差为d，则由题意得因此，a2，k50.三、等差数列的性质及运用方法链接：等差数列有一些重要的性质，例如：(1)若mnpq，则amanapaq；(2)若mn2p，则aman2ap；(3)若an是等差数列，则Sk，S2kSk，S3kS2k也成等差数列(其Sk为前k项和)(4)若等差数列an的前n项和为Sn，等差数列bn的前n项和为Tn，则.熟练运用这些性质，可以提高解题速度，获得事半功倍的功效例3(1)设等差数列an的前n项和为Sn，若S972，
8、求a2a4a9的值；(2)已知等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，求证：；.(1)解由S972，a1a916，a1a92a516，a58，a2a4a9a1a5a93a524.(2)证明.四、等差数列前n项和的最值方法链接：等差数列前n项和最值问题除了用二次函数求解外，还可用下面的方法讨论：若d0，a10，d0，Sn有最大值，需n取正整数例4(1)首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3S11，问n为何值时，Sn最大？(2)等差数列an中，a160，a1712，求|an|的前30项和及前n项和解(1)设首项为a1，公差为d，则由题意知，d0，因此an3n63.点Q(n，an)在增函
9、数y3x63的图象上令y0则得x21，故当n22时，an0；当1n21且nN*时，an0，于是|a1|a2|a30|a1a2a21a22a23a30a1a2a302(a1a2a21)765.记Tn|a1|a2|an|，则由上面的求解过程知：当1n21，nN*时，Tn|a1|a2|an|a1a2ann2n.当n21，nN*时，Tn|a1|a2|a20|a21|an|(a1a2a21)a22a23an(a1a2an)2(a1a2a21)n2n1 260.数列|an|的前n项和Tn五、关于等差数列的探索性问题方法链接：对于与等差数列有关的探索性问题，先由前三项成等差数列确定参数后，再利用定义验证或证
10、明所得结论例5已知数列an中，a15且an2an12n1 (n2且nN*)(1)求a2，a3的值；(2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解(1)a15，a22a122113，a32a223133.(2)假设存在实数，使得数列为等差数列则，成等差数列，2，.解得1.当1时，(an11)2(an1)(an12an1)(2an2n11)2an12n11.综上可知，存在实数1，使得数列为等差数列，且首项是2，公差是1.六、关于等差数列的创新型问题方法链接：关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现解决此类问题时通过对图表的观察、分析、提炼，挖掘出
11、题目蕴含的有用信息，利用所学等差数列的有关知识加以解决例6下表给出一个“等差数阵”：47()()()a1j712()()()a2j()()()()()a3j()()()()()a4jai1ai2ai3ai4ai5aij其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数(1)写出a45的值；(2)写出aij的计算公式解(1)通过观察“等差数阵”发现：第一行的首项为4，公差为3；第二行首项为7，公差为5.归纳总结出：第一列(每行的首项)是以4为首项，3为公差的等差数列，即3i1，各行的公差是以3为首项，2为公差的等差数列，即2i1.所以a45在第4行，首项应为13，公差为9，进而得出a45
12、49.(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j43(j1)；第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j75(j1)；第i行是首项为43(i1)，公差为2i1的等差数列，因此，aij43(i1)(2i1)(j1)2ijiji(2j1)j.区突破1审题不细心，忽略细节而致错例1首项为24的等差数列，从第10项起开始为正数，求公差d的取值范围错解a10a19d249d0，d.点拨忽略了“开始”一词的含义，题目强调了第10项是该等差数列中的第一个正项，应有a90. 正解设an24(n1)d，由，解不等式得：0时，20(n1)0，n0是不正确的，事实上应解an0，an10.正
13、解由a120，S10S15，解得公差d.S10S15，S15S10a11a12a13a14a150，a11a15a12a142a130，a130.公差d0，a1，a2，a11，a12均为正数，而a14及以后各项均为负数当n12或13时，Sn有最大值为S12S13130.4忽略题目中的隐含条件而致错例4一个凸n边形的各内角度数成等差数列，其最小角为120，公差为5，求凸n边形的边数错解一方面凸n边形的内角和为Sn，Sn120n5.另一方面，凸n边形内角和为(n2)180.所以120n5(n2)180.化简整理得：n225n1440.所以n9或n16.即凸n边形的边数为9或16.点拨凸n边形的每个
14、内角都小于180.当n16时，最大内角为120155195180应该舍掉正解凸n边形内角和为(n2)180，所以120n5(n2)180，解得：n9或n16.当n9时，最大内角为12085160180舍去所以凸n边形的边数为9.题多解例一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和分析本题可从基本方法入手，先求a1，d，再求前110项之和，为了简化计算，也可利用等差数列前n项和的性质解方法一设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则Snna1d.由已知得10整理得d，代入，得a1，S110110a1d110110110.故此数列的前110项之和为110.方法二设S
15、nan2bn.S10100，S10010，解得Snn2n.S1101102110110.方法三设等差数列的首项为a1，公差为d，则得(pq)a1d(pq)又pq，a1d1，Spq(pq)a1d(pq)(1)，S110110.方法四数列S10，S20S10，S30S20，S100S90，S110S100 成等差数列，设其公差为D.前10项的和10S10DS10010，解得D22，S110S100S10(111)D10010(22)120.S110120S100110.方法五S100S10a11a12a100.又S100S101010090，a1a1102.S110110.题赏析1(2009全国)
16、已知等差数列an中，a3a716，a4a60，求an的前n项和Sn.解设an的公差为d，则即解得或因此Sn8nn(n1)n(n9)，或Sn8nn(n1)n(n9)2(2009江苏)设an是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足aaaa，S77.(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn；(2)试求所有的正整数m，使得为数列an中的项解(1)由题意，设等差数列an的通项公式为ana1(n1)d，d0.由aaaa得aaaa，由性质得3d(a4a3)d(a4a3)，因为d0所以a4a30，即2a15d0.又因为S77，所以a13d1.由可得a15，d2.所以数列an的通项公式an2n7，Snna1dn26n.(2)因为am26为数列an中的项，故为整数又由(1)知am2为奇数，所以am22m31，即m1,2.经检验，符合题意的正整数只有m2.赏析试题考查了等差数列的有关知识，起点较低，落点较高，难度控制得恰到好处第(2)问要求考生有一定的分析问题解决问题的能力