1、专题突破练28坐标系与参数方程(选修44)1.(2019吉林长春外国语学校高二下学期第二次月考)已知曲线C的极坐标方程为2=364cos2+9sin2.(1)若以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,求曲线C的直角坐标方程;(2)若P(x,y)是曲线C上的一个动点,求x+2y的最大值.2.已知直线l的参数方程为x=tcos,y=tsin(其中t为参数),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2-2mcos -4=0(其中m0).(1)若点M的直角坐标为(3,3),且点M在曲线C内,求实数m的取值范围;(2)若m=3,当变化时,求
2、直线l被曲线C截得的弦长的取值范围.3.(2019河北唐山第一中学高三下学期冲刺二)已知直线l:x=1+12t,y=32t(t为参数),曲线C1:x=cos,y=sin(为参数).(1)设l与C1相交于AB两点,求|AB|;(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的12倍,纵坐标压缩为原来的32倍,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.4.(2019晋冀鲁豫中原名校高三第三次联考)在极坐标系中,O为极点,点A2,4,点B2,74.(1)以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,求经过O,A,B三点的圆M的直角坐标方程;(2)在(1)的条件下,圆
3、N的极坐标方程为2-2sin +1-a2=0(a0),若圆M与圆N相切,求实数a的值.5.(2019内蒙古呼伦贝尔高三模拟统一考试)在直角坐标系中,圆C的参数方程为x=1+2cos,y=3+2sin(为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且长度单位相同.(1)求圆C的极坐标方程;(2)若直线l:x=tcos,y=tsin(t为参数)被圆C截得的弦长为23,求直线l的倾斜角.6.在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为x=2+t,y=kt(t为参数),直线l2的参数方程为x=-2+m,y=mk(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出
4、C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos +sin )-2=0,M为l3与C的交点,求M的极径.7.(2019河北石家庄高中毕业班模拟)在极坐标系中,曲线C的方程为cos2=asin (a0),以极点为原点,极轴所在直线为x轴建立直角坐标,直线l的参数方程为x=2-22t,y=-1+22t(t为参数),l与C交于M,N两点.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)设点P(2,-1),若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.8.(2019湖南桃江第一中学高三5月模拟考试)在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x+y-a=0,曲
5、线C的参数方程为x=2cos,y=sin(为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l和曲线C的极坐标方程;(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,且直线OA与OB的斜率之积为54,求a.参考答案专题突破练28坐标系与参数方程(选修44)1.解 (1)由题得42cos2+92sin2=36,所以4x2+9y2=36,故x29+y24=1.所以曲线C的直角坐标方程为x29+y24=1.(2)设P(3cos ,2sin ),所以x+2y=3cos +4sin =5sin(+)5.其中在第一象限,且tan =34.所以x+2y的最大值为5.2.解 (1)由x=cos,y=s
6、in得曲线C对应的直角坐标方程为(x-m)2+y2=m2+4.由点M在曲线C的内部,(3-m)2+9m2+4,求得实数m的取值范围为73,+.(2)直线l的极坐标方程为=,代入曲线C的极坐标方程整理得2-6cos -4=0,设直线l与曲线C的两个交点对应的极径分别为1,2,1+2=6cos ,12=-4,则直线l截得曲线C的弦长为|1-2|=(1+2)2-412=36cos2+164,213.即直线l被曲线C截得的弦长的取值范围是4,213.3.解 (1)l的普通方程为y=3(x-1),C1的普通方程为x2+y2=1.联立方程组y=3(x-1),x2+y2=1,解得l与C1的交点为A(1,0)
7、,B12,-32,则|AB|=1.(2)C2的参数方程为x=12cos,y=32sin(为参数),故点P的坐标是12cos ,32sin ,从而点P到直线l的距离是32cos-32sin-32=342sin-4+2,由此当sin-4=-1时,d取得最小值,且最小值为64(2-1).4.解 (1)在平面直角坐标系中,点O的坐标为(0,0),点A的坐标为(1,1),点B的坐标为(1,-1),可得圆M的圆心坐标为(1,0),半径为1,所以圆M的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.(2)将x=cos ,y=sin 代入圆N的极坐标方程,可得圆N的直角坐标方程为x2+y2-2y+1-a2=0,整理为x
8、2+(y-1)2=a2,可得圆N的圆心为(0,1),半径为a,圆M与圆N的圆心距为2,若圆M与圆N相外切,有a+1=2,所以a=2-1.若圆M与圆N内切,则有a-1=2,所以a=2+1.综上:实数a=2-1或a=2+1.5.解 (1)圆C:x=1+2cos,y=3+2sin,消去参数,得(x-1)2+(y-3)2=4,即x2+y2-2x-23y=0.2=x2+y2,x=cos ,y=sin .2-2cos -23sin =0,所以=4cos-3.故圆C的极坐标方程是=4cos-3.(2)直线l:x=tcos,y=tsin的极坐标方程为=,当=时,=4cos-3=23.即cos-3=32,-3=
9、6或-3=-6.=2或=6.直线l的倾斜角为6或2.6.解 (1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=1k(x+2).设P(x,y),由题设得y=k(x-2),y=1k(x+2).消去k得x2-y2=4(y0).所以C的普通方程为x2-y2=4(y0).(2)C的极坐标方程为2(cos2-sin2)=4(00),又由x=cos,y=sin(为参数),可得曲线C的直角坐标方程为x2=ay(a0),由直线l的参数方程为x=2-22t,y=-1+22t(t为参数),消去参数t,得x+y-1=0,即直线l的普通方程为x+y-1=0.(2)把l的参数方程
10、x=2-22t,y=-1+22t(t为参数)代入抛物线的直角坐标方程中,得t2-(42+2a)t+(8+2a)=0,由=2a2+8a0,设方程的两根分别为t1,t2,则t1+t2=42+2a0,t1t2=8+2a0,可得t10,t20.所以|MN|=|t1-t2|,|PM|=t1,|PN|=t2.因为|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,所以(t1-t2)2=t1t2,即(t1+t2)2=5t1t2.则(42+2a)2=5(8+2a),解得a=1或a=-4(舍去负值).所以实数a=1.8.解 (1)将x=cos ,y=sin 代入x+y-a=0的方程中,所以直线l的极坐标方程为cos +si
11、n -a=0.在曲线C的参数方程中,消去,可得x24+y2=1,将x=cos ,y=sin 代入x24+y2=1的方程中,所以曲线C的极坐标方程为2(4sin2+cos2)=4.(2)直线l与曲线C的公共点的极坐标满足方程组cos+sin-a=0,2(4sin2+cos2)=4,由方程组得a2(4sin2+cos2)=4(cos +sin )2,得4a2sin2+a2cos2=4(sin2+cos2+2cos sin ),两边同除cos2,可化为4a2tan2+a2=4+8tan +4tan2,即(4a2-4)tan2-8tan +a2-4=0.设A(1,1),B(2,2),则kOAkOB=tan 1tan 2=a2-44a2-4=54,解得a=12.
