1、再练一课(范围:1.4.1)1若平面与的法向量分别是a(1,0,2),b(1,0,2),则平面与的位置关系是()A平行 B垂直C相交不垂直 D无法判断答案A解析a(1,0,2),b(1,0,2),ab0,由此可得ab,平面与的法向量平行,可得平面与互相平行2已知直线l的方向向量a(1,2,4),平面的法向量b(2,4,8),则直线l与平面的位置关系是()AlBlClDl答案B解析b2a,则b与a共线,可得,l.3若,则直线AB与平面CDE的位置关系是()A相交 B平行C在平面内 D平行或在平面内答案D解析,共面,则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内4(多选)已知点A(1,0,0),B(
2、0,1,0),C(0,0,1),点D满足条件:DBAC,DCAB,ADBC,则点D的坐标为()A(1,1,1) B.C.D.答案AD解析设D(x,y,z),则(x,y1,z),(x,y,z1),(x1,y,z),(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)又DBACxz0,DCABxy0,ADBC(x1)2y2z22,联立得xyz1或xyz,所以点D的坐标为(1,1,1)或.故选AD.5在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,则AC1与CE的位置关系是()A重合 B垂直C平行 D无法确定答案B解析,()设正方体的棱长为1,于是()00001000,故,即AC1与
3、CE垂直6.如图,在正三棱锥SABC中,点O是ABC的外心,点D是棱BC的中点,则平面ABC的一个法向量可以是_,平面SAD的一个法向量可以是_答案解析由题意知SO平面ABC,BC平面SAD.因此平面ABC的一个法向量可以是,平面SAD的一个法向量可以是.7若a(2x,1,3),b(1,2y,9),且a与b为共线向量,则x_,y_.答案解析由题意得,x,y.8已知空间三点A(1,1,1),B(0,0,1),C(1,2,3),若直线AB上存在一点M,满足CMAB,则点M的坐标为_答案解析设M(x,y,z),(1,1,0),(x,y,z1), (x1,y2,z3),由题意,得x,y,z1,点M的坐
4、标为.9如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点求证:AB1平面A1BD.证明如图所示,取BC的中点O,连接AO.因为ABC为正三角形,所以AOBC.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1,且平面ABC平面BCC1B1BC,AO平面ABC,所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1,以O为坐标原点,OB,OO1,OA所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则B(1,0,0),D(1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0)所以(1,2,),(1,2,),(2,1,0)因为1(1)22()0.1(
5、2)21()00.所以,即AB1BA1,AB1BD.又因为BA1BDB,BA1,BD平面A1BD,所以AB1平面A1BD.10.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N,P分别是AD1,BD和B1C的中点,利用向量法证明:(1)MN平面CC1D1D;(2)平面MNP平面CC1D1D.证明(1)以D为坐标原点,分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系(图略),并设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),D(0,0,0),M(1,0,1),N(1,1,0),P(1,2,1)由正方体的性质知AD平面CC1D1D,所以(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量由于(0,1,1),则021
6、0(1)00,所以.又MN平面CC1D1D,所以MN平面CC1D1D.(2)方法一由于(0,2,0),(0,2,0),所以,即MPDC.由于MP平面CC1D1D,DC平面CC1D1D,所以MP平面CC1D1D.又由(1),知MN平面CC1D1D,MNMPM,MN,MP平面CC1D1D,所以由两个平面平行的判定定理,知平面MNP平面CC1D1D.方法二(0,1,1),(0,2,0),设平面MNP的法向量为n(x,y,z),则所以取n(1,0,0),因为2n,所以DAn,所以平面MNPCC1D1D.11已知(3,1,2),平面的一个法向量为n(2,2,4),点A不在平面内,则直线AB与平面的位置关
7、系为()AABBABCAB与相交但不垂直 DAB答案D解析因为n2(3)(2)1420,所以n.又点A不在平面内,n为平面的一个法向量,所以AB.12.如图,四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC60,PAABBC2,E是PC的中点,则CD与AE的位置关系_答案垂直解析以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,0),D,P(0,0,2),E,所以,所以1010,所以CDAE.13如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AA1AD1,E为CD的中点,点P在棱AA1上,且DP
8、平面B1AE,则AP的长为_答案解析以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系(图略),设|a,|b,点P坐标为(0,0,b),则B1(a,0,1),D(0,1,0),E,(a,0,1),(0,1,b),DP平面B1AE,存在实数,设,即(0,1,b)(a,0,1),b,即AP.14.如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是以ABC为直角的等腰直角三角形,AC2a,BB13a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE平面B1DE,则AE_.答案a或2a解析建立空间直角坐标系,如图所示,依题意得B1(0,0,3a),D,C(0,a,0),设E(a
9、,0,z)(0z3a),则(a,a,z),(a,0,z3a)0,要使CE平面B1DE,即B1ECE,得2a20z23az0,解得za或2a.15.如图,已知矩形ABCD,AB1,BCa,PA平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQQD,则a_.答案2解析如图,建立空间直角坐标系Axyz,则D(0,a,0),设Q(1,x,0)(0xa),P(0,0,z),则(1,x,z),(1,ax,0),由PQQD,得1x(ax)0,即x2ax10,由题意知方程x2ax10只有一解a240,a2,这时x10,a,满足题意16.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,且ADBC,ABCPAD90
10、,侧面PAD底面ABCD.若PAABBCAD.(1)求证:CD平面PAC;(2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE平面PCD?若存在,指出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由(1)证明因为PAD90,所以PAAD.又因为侧面PAD底面ABCD,且侧面PAD底面ABCDAD,PA平面PAD,所以PA底面ABCD.又因为BAD90,所以AB,AD,AP两两垂直以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系设AD2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1)(1)(0,0,1),(1,1,0),(1,1,0),可得0,0,所以APCD,ACCD.又因为APACA,AP,AC平面PAC,所以CD平面PAC.(2)解设侧棱PA的中点是E,则E,.设平面PCD的法向量是n(x,y,z),则因为(1,1,0),(0,2,1),所以取x1,则y1,z2,所以平面PCD的一个法向量为n(1,1,2)所以n(1,1,2)0,所以n.因为BE平面PCD,所以BE平面PCD.综上所述,当E为PA的中点时,BE平面PCD.