1、第14课时：竞赛专题讲座几何变换【竞赛知识点拨】一、 平移变换1 定义 设是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X，使得=，则T叫做沿有向线段的平移变换。记为XX，图形FF 。2 主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。二、 轴对称变换1 定义 设l是一条给定的直线，S是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X，使得X与X关于直线l对称，则S叫做以l为对称轴的轴对称变换。记为XX，图形FF 。2 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行
2、，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。三、 旋转变换1 定义 设是一个定角，O是一个定点，R是平面上的一个变换，它把点O仍变到O（不动点），而把平面图形F上任一点X变到X，使得OX=OX，且XOX=，则R叫做绕中心O，旋转角为的旋转变换。记为XX，图形FF 。其中0时，为逆时针方向。2 主要性质 在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。四、 位似变换1 定义 设O是一个定点，H是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X，使得 =k，则H叫做以O为位似中心，k为位似比的位似变换。记为XX，图形FF 。其中k0时，X在射线OX上，此时的位似变换叫做外位似；k0时,
3、 X在射线OX的反向延长线上，此时的位似变换叫做内位似。2 主要性质 在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心。【竞赛例题剖析】【例1】P是平行四边形ABCD内一点，且PAB=PCB。求证：PBA=PDA。【分析】作变换ABPDCP，则ABPDCP，1=5，3=6。由PPADBC，ADPP、PPC
4、B都是平行四边形，知2=8，4=7。由已知1=2，得5=8。P、D、P、C四点共圆。故6=7，即3=4。【例2】“风平三角形”中，AA=BB=CC=2，AOB=BOC=60。求证：AOB+BOC+COA。【分析】作变换AOCAQR，BOCBPR，则R、R重合，记为R。P、R、Q共线，O、A、Q共线，O、B、P共线，OPQ为等边三角形。AOB+BOC+COA2AD。【分析】设PP，PP。则RP=RP，PQ=PQ，AP=AP=AP。PQ+QR+RP= PQ+QR+RP。又A90，PAP+PAP=2A180，A点在线段PP上或在凸四边形PRQP的内部。PQ+QR+RPAP+AP=2AP2AD。PQ+
5、QR+RP2AD。【评注】如果题设中有角平分线、垂线，或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形，可以将图形或其部分进行轴对称变换。此外，也可以适当选择对称轴将一些线段的位置变更，以便于比较它们之间的大小。【例7】以ABC的边AB、AC为斜边分别向外作等腰直角三角形APB、AQC，M是BC的中点。求证：MP=MQ，MPMQ。【分析】延长BP到E，使PE=BP，延长CQ到F， 使QF=CQ，则BAE、CAF都是等腰三角形。显然：EB，CF，EC=BF，ECBF。而PMEC，MQBF，MP=MQ，MPMQ。【例8】已知O是ABC内一点，AOB=BOC=COA=120；P是ABC内任一点，求证：PA+PB+
6、PCOA+OB+OC。（O为费马点）【分析】将CC，OO， PP，连结OO、PP。则B OO、B PP都是正三角形。OO=OB，PP =PB。显然BOCBOC，BPCBPC。由于BOC=BOC=120=180-BOO，A、O、O、C四点共线。AP+PP+PCAC=AO+OO+OC，即PA+PB+PCOA+OB+OC。【例9】O与ABC的三边BC、CA、AB分别交于点A1、A2、B1、B2、C1、C2，过上述六点分别作所在边的垂线a1、a2、b1、b2、，设a1、b2、c1三线相交于一点D。求证：a2、b1、c2三线也相交于一点。【分析】a1、a2关于圆心O成中心对称，a1a2。同理，b1b2，
7、c1c2。a1、b2、c1的公共点D在变换R（O，180）下的像D也是像a2、b1、c2的公共点，即a2、b1、c2三线也相交于一点。【例10】AD是ABC的外接圆O的直径，过D作O的切线交BC于P，连结并延长PO分别交AB、AC于M、N。求证：OM=ON。【分析】设OO，NN，而MB，M、O、N三点共线，B、O、N三点共线，且。取BC中点G，连结OG、OG、DG、DB。OGP=ODP=90，P、D、G、O四点共圆。ODG=OPG，而由MNBN有OPG=OBG，ODG=OBG，O、B、D、G四点共圆。OGB=ODB。而ODB=ACB，OGB=ACB，OGAC，而G是BC的中点，O是BN的中点，OB= O N，OM=ON。