1、1.1.1正弦定理(二)自主学习 知识梳理1正弦定理：2R的常见变形：(1)sin Asin Bsin C_；(2)_；(3)a_，b_，c_；(4)sin A_，sin B_，sin C_.2三角形面积公式：S_.3在RtABC中，C90，则ABC的外接圆半径R_，内切圆半径r_. 自主探究在ABC中，(1)若AB，求证：sin Asin B；(2)若sin Asin B，求证：AB.对点讲练知识点一三角形面积公式的运用例1已知ABC的面积为1，tan B，tan C2，求ABC的各边长以及ABC外接圆的面积总结注意正弦定理的灵活运用，例如本题中推出SABC2R2sin Asin Bsin
2、C借助该公式顺利解出外接圆半径R.变式训练1已知三角形面积为，外接圆面积为，则这个三角形的三边之积为()A1 B2 C. D4知识点二利用正弦定理证明恒等式例2在ABC中，求证：.总结正弦定理的变形公式使三角形的边与边的关系和角与角的关系之间的相互转化的功能更加强大，更加灵活变式训练2在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，求证：a2sin 2Bb2sin 2A2absin C.知识点三利用正弦定理判断三角形形状例3已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若ac2b，且2cos 2B8cos B50，求角B的大小并判断ABC的形状变式训练3已知方程x2(bcos A)xa
3、cos B0的两根之积等于两根之和，且a、b为ABC的两边，A、B为两内角，试判定这个三角形的形状1借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明2在ABC中，有以下结论：(1)ABC；(2)sin(AB)sin C，cos(AB)cos C；(3)；(4)sin cos ，cos sin ，tan .课时作业一、选择题1在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若ABC123，则abc等于()A123 B234C345 D122在ABC中，若，则ABC是()A直角三角形 B等边三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形3在ABC中，(bc)(ac)(a
4、b)456，则sin Asin Bsin C等于()A456 B654 C753 D7564在ABC中，a2bcos C，则这个三角形一定是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形5在ABC中，B60，最大边与最小边之比为(1)2，则最大角为()A45 B60 C75 D90题号12345答案二、填空题6在ABC中，已知a3，cos C，SABC4，则b_.7在ABC中，若tan A，C150，BC1，则AB_.8在ABC中，A60，a6，b12，SABC18，则_，c_.三、解答题9在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c10，又知，求a、b及ABC的
5、内切圆半径10在ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，若a2，C，cos ，求ABC的面积S.11.1正弦定理(二)知识梳理1(1)abc(2)2R(3)2Rsin A2Rsin B2Rsin C(4)2.absin Cbcsin Acasin B3.自主探究证明(1)在ABC中，由大角对大边定理ABab2Rsin A2Rsin Bsin Asin B.(2)在ABC中，由正弦定理sin Asin BabAB.对点讲练例1解tan B0，B为锐角sin B，cos B.tan C2，C为钝角sin C，cos C.sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.
6、SABCabsin C2R2sin Asin Bsin C2R21.R2，R.R2，即外接圆面积为.a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.变式训练1A设三角形外接圆半径为R，则由R2，R1，由Sabsin C，abc1.例2证明因为2R，所以左边右边所以等式成立变式训练2证明左边4R2sin2 Asin 2B4R2sin2 Bsin 2A8R2sin2 Asin Bcos B8R2sin2 Bsin Acos A8R2sin Asin B(sin Acos Bcos Asin B)8R2sin Asin Bsin(AB)8R2sin Asin Bsin C2(2Rsin A)(
7、2Rsin B)sin C2absin C右边等式成立例3解2cos 2B8cos B50，2(2cos2B1)8cos B50.4cos2B8cos B30，即(2cos B1)(2cos B3)0.解得cos B或cos B(舍去)0B，B.ac2b.由正弦定理得sin Asin C2sin B2sin .sin Asin，sin Asin cos Acos sin A.化简得sin Acos A，sin1.0A，A.A，C.ABC是等边三角形变式训练3解设方程的两根为x1、x2，由韦达定理得x1x2x1x2，bcos Aacos B.由正弦定理得2Rsin Bcos A2Rsin Aco
8、s B，sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0.A、B为ABC的内角，0A，0B，AB0)，三式联立可求得ak，bk，ck，abc753，即sin Asin Bsin C753.4A由正弦定理：sin A2sin Bcos C，sin(BC)2sin Bcos C，sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，sin(BC)0，BC.5C设C为最大角，则A为最小角，则AC120，1.tan A1，A45，C75.62解析cos C，sin C，absin C4，b2.7.解析tan A，A(0,180)，sin A.由正弦定理知，AB.8126解析12.SABCabsin C612sin C18.sin C，12，c6.9解由正弦定理知，.即sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.又ab，2A2B，即AB.ABC是直角三角形，且C90，由，得a6，b8.故内切圆的半径为r2.10解因为cos B2cos2 1，所以sin B.所以sin Asin(BC)sin.由正弦定理得c，所以Sacsin B2.