1、河南省南阳市新野三中2015届高三上学期第三次段考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集为R，集合A=x|（）x1，B=x|x2，ARB=( )A0，2）B0，2C（1，2）D（1，2考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可解答：解：由A中的不等式变形得：（）x1=（）0，得到x0，A=0，+），B=2，+），全集U=R，RB=（，2），则A（RB）=0，2）故选：A点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自
2、的定义是解本题的关键2如果复数z=，则( )A|z|=2Bz的实部为1Cz的虚部为1Dz的共轭复数为1+i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 专题：计算题分析：直接利用复数的除法运算化简，求出复数的模，然后逐一核对选项即可得到答案解答：解：由z=，所以，z的实部为1，z的虚部为1，z的共轭复数为1+i，故选C点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3已知向量，=（3，m），mR，则“m=6”是“”的( )A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件考点：平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：平面向量及应用分析：由1（2+m）22=0，
3、即可得出解答：解：=（1，2）+（3，m）=（2，2+m）由1（2+m）22=0，m=6因此“m=6”是“”的充要条件故选：A点评：本题考查了向量的共线定理、充要条件，属于基础题4在等差数列an中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=( )A10B18C20D28考点：等差数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：根据等差数列性质可得：3a5+a7=2（a5+a6）=2（a3+a8）即可得到结论解答：解：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，故选C点评：本题考查等差数列的性质及其应用，属基础题，准确理解
4、有关性质是解决问题的关键5设角为第四象限角，并且角的终边与单位圆交于点P（x0，y0），若x0+y0=，则cos2=( )ABCD考点：二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用 专题：计算题；三角函数的求值分析：根据三角函数的定义得x0=cos，y0=sin，利用平方关系式及二倍角公式求出cos2，注意根据角所在的象限判断符号解答：解析：由三角函数定义，x0=cos，y0=sin，则，两边平方得，为第四象限角，sin0，cos0，cos+sin0，|sin|cos|，cos2=|cos|2|sin|20，故选D点评：本题主要是同角三角函数基本关系式及二倍角公式的应用，在应用平方关系式时要注意判
5、断符号6已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是( )A一个対称中心为B是其一个对称轴C减区间为D增区间为考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：常规题型；三角函数的图像与性质分析：先根据图象平移得到函数g（x）的图象，然后结合正弦函数的性质研究g（x）的对称性与单调性解答：解：函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数，即，令，得，A不正确；令，得，B不正确；由，得，即函数的增区间为，减区间为，故选C点评：本题的易错点是函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数，即的图象，而不是得到函数y=sin（2x+）
6、的图象7下列四个图中，函数y=的图象可能是( )ABCD考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：根据四个选择项判断函数值的符号即可选择正确选项解答：解：当x0时，y0，排除A、B两项；当2x1时，y0，排除D项故选：C点评：本题考查函数的性质与识图能力，属中档题，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项8设M是ABC边BC上任意一点，且，若，则+的值为( )ABCD1考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：利用平面向量基本定理可得，设，又，即可解得结论解答：解：因为M是ABC边BC上任意一点，设，又，所以故选B点评：本题主要考查平面向量基本定理的
7、应用，属于基础题9如图，点P是函数y=2sin（x+）（其中xR，的图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若，则函数y=2sin（x+）的最小正周期是( )A4B8C4D8考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法 专题：计算题分析：利用函数的图象，结合，推出函数的周期与指正的关系，求出函数的周期即可解答：解：由题意以及，PMN=45，可知函数的最大值就是函数的，因为最大值为：2，所以T=8；故选B点评：本题考查学生对函数的图象的认识情况，分析问题解决问题的能力，注意向量的数量积为0，是解题的关键10已知，若与的夹角为，则t的值为( )A1BC2D3考点：
8、平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：利用向量的夹角公式cos=，即可解得结论解答：解：，|=，+=，=（t21），cos=，=，解得t=2故选C点评：本题主要考查向量数量积的运算及夹角公式的应用，属于基础题11函数在2，2上的最大值为2，则a的范围是( )ABC（，0D考点：函数最值的应用 专题：常规题型分析：先画出分段函数f（x）的图象，如图当x2，0上的最大值为2； 欲使得函数在2，2上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，从而解得a的范围解答：解：先画出分段函数f（x）的图象，如图当x2，0上的最大值为2； 欲使得函数在2，2上的最大值为2，则当x=2时，e2
9、a的值必须小于等于2，即e2a2，解得：a故选D点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数最值的应用的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题12已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0，当x（0，1时，f（x）=log2x，则在（8，10）内满足方程f（x）+1=f（1）的实数x为( )AB9CD考点：根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：由f（x+1）为奇函数，可得f（x）=f（2x）由f（x）为偶函数可得f（x）=f（x+4），故 f（x）是以4为周期的函数当8x9时，求得
10、f（x）=f（x8）=log2（x8）由log2（x8）+1=0，得x的值当9x10时，求得x无解，从而得出结论解答：解：f（x+1）为奇函数，即f（x+1）=f（x+1），即f（x）=f（2x）当x（1，2）时，2x（0，1），f（x）=f（2x）=log2（2x）又f（x）为偶函数，即f（x）=f（x），于是f（x）=f（x+2），即f（x）=f（x+2）=f（x+4），故 f（x）是以4为周期的函数f（1）=0，当8x9时，0x81，f（x）=f（x8）=log2（x8）由log2（x8）+1=0，得x=当9x10时，1x82，f（x）=f（x8）=log22（x8）=log2（10x）
11、，log2（10x）+1=0，得10x=2，x=89（舍）综上x=，故选C点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，函数的奇偶性与周期性的应用，抽象函数的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13由函数y=sinx（0x）的图象与y轴及y=1所围成的一个封闭图形的面积是考点：定积分 专题：导数的概念及应用分析：按照定积分的几何意义，只要计算S=即可解答：解：画图可知封闭图形的面积为S=；故答案：点评：本题考查了定积分的几何意义，利用定积分求曲边梯形的面积，属于基础题14若向量=（sin（+），1），=（4，4co
12、s），且，则sin（+）等于考点：两角和与差的正弦函数；数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：计算题；三角函数的求值分析：利用向量垂直的坐标运算可求得sin（+）=，再利用诱导公式即可求得sin（+）解答：解：向量=（sin（+），1），=（4，4cos），且，4sin（+）+4cos=0，4（sin+cos）+）+4cos=，2sin+6cos=，4（sin+cos）=，sin（+）=，sin（+）=sin（+）+=sin（+）=，故答案为：点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，考查两角和与差的正弦函数及诱导公式，属于中档题15已知ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a，b，c
13、且角A，B、C成等差数列，ABC的面积S=，则实数k的值为考点：余弦定理；等差数列的通项公式 专题：解三角形分析：由题意求得B=，根据ABC的面积S=acsinB=ac ，而由余弦定理可得 b2=a2+c2ac，代入可得 =ac，由此解方程求得 k的值解答：解：ABC中，角A，B、C成等差数列，2B=A+C，再由三角形内角和公式可得 B=，A+C=由于ABC的面积S=acsinB=ac ，而由余弦定理可得 b2=a2+c22accosB=a2+c2ac，代入可得 =ac，解得 k=，故答案为 点评：本题主要考查余弦定理、三角形的面积公式，属于中档题16若函数在上有两个不同的零点，则实数a的取值
14、范围为（2，1考点：两角和与差的正弦函数；函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质分析：由题意可得函数g（x）=sin2x+cos2x 与直线y=a在0，上两个交点，数形结合可得a的取值范围解答：解：由题意可得函数g（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+） 与直线y=a在0，上两个交点由于x0，故2x+，故g（x）1，2令2x+=t，则t，函数y=h（t）=2sint 与直线y=m在，上有两个交点，如图：要使的两个函数图形有两个交点必须使得1a2，a（2，1故答案为：（2，1点评：本题主要考查方程根的存在性及个数判断，两角和差的正弦公式，体现了转化与数形结合的
15、数学思想，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17设数列an的前n项和为Sn，满足Sn=an+12n+1+1，（nN*），且a1=1证明：数列为等差数列，并求数列an的通项公式考点：等差关系的确定；等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：充分利用Sn=an+12n+1+1，（nN*），且a1=1结合数列的Sn与an的关系得到数列an的递推公式，通过构造新数列得到数列是以1为首项，1为公差的等差数列，求出此数列的通项公式，从而求得数列an的通项公式解答：证明，=1，解得a2=4由两式相减整理得检验知a1=1，a2=4满足变形可得数列是以
16、1为首项，1为公差的等差数列，所以，解得点评：本题考查了等差数列的证明；关键利用已知得到数列an的递推公式，变形后得到新的数列是以1为首项，1为公差的等差数列，属于中档题18设函数f（x）=2cos2x+sin2x+a（aR）（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，f（x）的最大值为2，求a的值，并求出y=f（x）（xR）的对称轴方程考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）函数f（x）解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出的值代入周
17、期公式即可求出函数的最小正周期；由正弦函数的单调递增区间为2k，2k+（kZ）求出x的范围即为函数的递增区间；（2）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的单调性求出正弦函数的最大值，表示出函数的最大值，由已知最大值求出a的值即可，令这个角等于k+（kZ），求出x的值，即可确定出对称轴方程解答：解：（1）f（x）=1+cos2x+sin2x+a=sin（2x+）+1+a，=2，T=，f（x）的最小正周期；当2k2x+2k+（kZ）时f（x）单调递增，解得：kxk+（kZ），则xk，k+（kZ）为f（x）的单调递增区间；（2）当x0，时，2x+，当2x+=，即x=时，sin（2x+）=1，则f
18、（x）max=+1+a=2，解得：a=1，令2x+=k+（kZ），得到x=+（kZ）为f（x）的对称轴点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键19在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC1）=1（）求B的大小；（）若，求ABC的面积考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理 专题：三角函数的求值分析：（）已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦，去括号后利用两角和与差的余弦函数公式化简，再由诱导公式变形求出cosB的值，即可确定出B的大小
19、；（）由cosB，b的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b以及b的值代入求出ac的值，再由cosB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积解答：解：（）由2cosAcosC（tanAtanC1）=1得：2cosAcosC（1）=1，2（sinAsinCcosAcosC）=1，即cos（A+C）=，cosB=cos（A+C）=，又0B，B=；（）由余弦定理得：cosB=，=，又a+c=，b=，2ac3=ac，即ac=，SABC=acsinB=点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键20已知=（cos，sin
20、），=（cos，sin），0（1）若|=，求证：；（2）设=（0，1），若+=，求，的值考点：平面向量数量积的运算；向量的模；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数 专题：平面向量及应用分析：（1）由给出的向量的坐标，求出的坐标，由模等于列式得到coscos+sinsin=0，由此得到结论；（2）由向量坐标的加法运算求出+，由+=（0，1）列式整理得到，结合给出的角的范围即可求得，的值解答：解：（1）由=（cos，sin），=（cos，sin），则=（coscos，sinsin），由=22（coscos+sinsin）=2，得coscos+sinsin=0所以即；
21、（2）由得，2+2得：因为0，所以0所以，代入得：因为所以所以，点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量的模，考查了同角三角函数的基本关系式和两角和与差的三角函数，解答的关键是注意角的范围，是基础的运算题21已知函数f（x）=kx，g（x）=（）求函数g（x）=的单调区间；（）若不等式f（x）g（x）在区间（0，+）上恒成立，求实数k的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 专题：综合题分析：（）由g（x）=，知，由此能求出函数的单调区间（）由，知k，令，知，由此能求出实数k的取值范围解答：（本题满分12分）解：（）g（x）=，x0，故其定义域为（0，+）
22、，令g（x）0，得0xe，令g（x）0，得xe，故函数的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+）（），k，令，又，令h（x）=0，解得，当x在（0，+）内变化时，h（x），h（x）变化如下表xh（x）+0h（x）由表知，当时函数h（x）有最大值，且最大值为，所以点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查化归与转化思想综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是2015届高考的重点解题时要认真审题，仔细解答22已知函数f（x）=xex（I）求f（x）的单调区间与极值；（II）是否存在实数a使得对于任意的x1，x2（a，+），且x1x2，恒有成立？若存在，求a
23、的范围，若不存在，说明理由考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性 专题：计算题分析：（I）利用函数的求导公式求出函数的导数，根据导数求函数的单调性和极值（II）构造函数g（x）=f（x）f（a）/（xa）=（xexaea）/（xa），xa，求出函数导数，判断函数导函数的值与0的关系，根据导函数的单调性，求a的取值范围解答：解：（I）由f（x）=ex（x+1）=0，得x=1；当变化时的变化情况如下表：可知f（x）的单调递减区间为（，1），递增区间为（1，+），f（x）有极小值为f（1）=，但没有极大值（II）令g（x）=f（x）f（a）/（xa）=（xexaea）
24、/（xa），xa，则f（x2）f（a）/（x2a）f（x1）f（a）/（x1a）恒成立，即g（x）在（a，+）内单调递增这只需g（x）0而g（x）=ex（x2axa）+aea/（xa）2记h（x）=ex（x2axa）+aea，则h（x）=exx2+（2a）x2a=ex（x+2）（xa）故当a2，且xa时，h（x）0，h（x）在a，+）上单调递增故h（x）h（a）=0，从而g（x）0，不等式（*）恒成立另一方面，当a2，且ax2时，h（x）0，h（x）在a，2上单调递减又h（a）=0，所以h（x）0，即g（x）0，g（x）在（a，2）上单调递减从而存在x1x2，ax1x22，使得g（x2）g（x1）a存在，其取值范围为2，+）点评：该题考查函数的求导，以及在解答过程中构造函数，注意第二问中自变量x的取值范围
