1、专题一高考中的导数应用问题1 函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0,3) C(1,4) D(2，)答案D解析函数f(x)(x3)ex的导数为f(x)(x3)ex1ex(x3)ex(x2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f(x)0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f(x)(x2)ex0，解得x2.2 已知函数f(x)asin 2xsin 3x (a为常数)在x处取得极值，则a的值为()A1 B0 C. D答案A解析f(x)2acos 2xcos 3x，f2acos cos 0，a1，经验证适合题意3 函数f(x)x33x1，若对于区间3,2上的任意x1，x2
2、，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是()A20 B18 C3 D0答案A解析因为f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x1，可知1,1为函数的极值点又f(3)19，f(1)1，f(1)3，f(2)1，所以在区间3,2上f(x)max1，f(x)min19.由题设知在区间3,2上f(x)maxf(x)mint，从而t20，所以t的最小值是20.4 已知函数f(x)在1，)上为减函数，则实数a的取值范围为_答案e，)解析f(x)，因为f(x)在1，)上为减函数，故f(x)0在1，)上恒成立，即ln a1ln x在1，)上恒成立设(x)1ln x，(x)max1，故ln
3、 a1，ae.5 已知函数f(x)mx3nx2的图像在点(1,2)处的切线恰好与直线3xy0平行，若f(x)在区间t，t1上单调递减，则实数t的取值范围是_答案2，1解析由题意知，点(1,2)在函数f(x)的图像上，故mn2.又f(x)3mx22nx，则f(1)3，故3m2n3.联立解得：m1，n3，即f(x)x33x2，令f(x)3x26x0，解得2x0，则t，t12,0，故t2且t10，所以t2，1题型一利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)x2eax，aR.(1)当a1时，求函数yf(x)的图像在点(1，f(1)处的切线方程(2)讨论f(x)的单调性思维启迪(1)先求切点和斜率，再
4、求切线方程；(2)先求f(x)，然后分a0，a0，a0三种情况求解解(1)因为当a1时，f(x)x2ex，f(x)2xexx2ex(2xx2)ex，所以f(1)e，f(1)3e.从而yf(x)的图像在点(1，f(1)处的切线方程为ye3e(x1)，即y3ex2e.(2)f(x)2xeaxax2eax(2xax2)eax.当a0时，若x0，则f(x)0，则f(x)0.所以当a0时，函数f(x)在区间(，0)上为减函数，在区间(0，)上为增函数当a0时，由2xax20，解得x，由2xax20，解得0x0时，函数f(x)在区间(，0)，(，)上为减函数，在区间(0，)上为增函数当a0时，由2xax2
5、0，解得x0，解得x0.所以，当a0时，f(x)在(，0)，(，)上单调递减，在(0，)上单调递增；当a0)上的最小值；(2)对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x(0，)，都有ln x成立思维启迪(1)求f(x)，讨论参数t求最小值；(2)分离a，利用求最值得a的范围；(3)寻求所证不等式和题中函数f(x)的联系，充分利用(1)中所求最值(1)解由f(x)xln x，x0，得f(x)ln x1，令f(x)0，得x.当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递增当0tt2，即0t时，f(x)minf()；当t0)，则h(x)，当x(0,1)时，h(x
6、)0，h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4，对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4.(3)证明问题等价于证明xln x(x(0，)由(1)可知f(x)xln x(x(0，)的最小值是，当且仅当x时取到，设m(x)(x(0，)，则m(x)，易知m(x)maxm(1)，当且仅当x1时取到从而对一切x(0，)，都有ln x成立思维升华(1)恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解，若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解(2)证明不等式，可以转化为求函数的最值问题已知函数f(x)sin x(x0)，g(x)ax(x0)(1)若f(x)g(x)恒成
7、立，求实数a的取值范围；(2)当a取(1)中的最小值时，求证：g(x)f(x)x3.(1)解令h(x)sin xax(x0)，则h(x)cos xa.若a1，h(x)cos xa0，h(x)sin xax(x0)单调递减，h(x)h(0)0，则sin xax(x0)成立若0a0，h(x)sin xax(x(0，x0)单调递增，h(x)h(0)0，不合题意，结合f(x)与g(x)的图像可知a0显然不合题意，综上可知，a1.(2)证明当a取(1)中的最小值1时，g(x)f(x)xsin x.设H(x)xsin xx3(x0)，则H(x)1cos xx2.令G(x)1cos xx2，则G(x)sin
8、 xx0(x0)，所以G(x)1cos xx2在0，)上单调递减，此时G(x)1cos xx2G(0)0，即H(x)1cos xx20，所以H(x)xsin xx3(x0)单调递减所以H(x)xsin xx3H(0)0，即xsin xx30(x0)，即xsin xx3(x0)所以，当a取(1)中的最小值时，g(x)f(x)x3.题型三利用导数研究方程解或图像交点问题例3已知f(x)ax2 (aR)，g(x)2ln x.(1)讨论函数F(x)f(x)g(x)的单调性；(2)若方程f(x)g(x)在区间，e上有两个不等解，求a的取值范围思维启迪(1)通过讨论a确定F(x)的符号；(2)将方程f(x
9、)g(x)变形为a，研究(x)图像的大致形状解(1)F(x)ax22ln x，其定义域为(0，)，F(x)2ax (x0)当a0时，由ax210，得x.由ax210，得0x0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减当a0时，F(x)0)恒成立故当a0时，F(x)在(0，)上单调递减(2)原式等价于方程a(x)在区间，e上有两个不等解(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，则(x)max()，而(e)(2)()(x)min(e)，如图当f(x)g(x)在，e上有两个不等解时有(x)min，故a的取值范围为a0)(1)若a1，f(x)在(0，)上是单调增函数，求b的取值范围；(2)若
10、a2，b1，求方程f(x)在(0,1上解的个数解(1)f(x)|x2|bln x当0x2时，f(x)x2bln x，f(x)1.由条件，得10恒成立，即bx恒成立b2.当x2时，f(x)x2bln x，f(x)1，由条件，得10恒成立，即bx恒成立b2.综合，得b的取值范围是b|b2(2)令g(x)|ax2|ln x，即g(x)当0x时，g(x)ax2ln x，g(x)a.0x.则g(x)a0.即g(x)0，g(x)在(0，)上是递增函数当x时，g(x)ax2ln x，g(x)a0.g(x)在(，)上是递增函数又因为函数g(x)在x有意义，g(x)在(0，)上是递增函数g()ln ，而a2，l
11、n 0，则g()0.a2，g(1)a3.当a3时，g(1)a30，g(x)0在(0,1上解的个数为1.当2a3时，g(1)a30，g(x)0在(0,1上无解，即解的个数为0.(时间：80分钟)1 已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值解(1)由题意得f(x)3ax22xb，因此g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因为函数g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)，即对任意实数x，有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a
12、1)x2(b2)xb，从而3a10，b0，解得a，b0，因此f(x)的表达式为f(x)x3x2.(2)由(1)知g(x)x32x，所以g(x)x22.令g(x)0，解得x1，x2，则当x时，g(x)0，从而g(x)在区间(， )，(，)上是减函数；当x0，从而g(x)在区间(，)上是增函数由上述讨论知，g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在x1，2时取得，而g(1)，g()，g(2)，因此g(x)在区间1,2上的最大值为g()，最小值g(2).2 已知函数f(x)axxln x的图像在点xe(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a的值；(2)若kZ，且k1恒成立，求k的最大
13、值解(1)因为f(x)axxln x，所以f(x)aln x1.因为函数f(x)axxln x的图像在点xe处的切线斜率为3，所以f(e)3，即aln e13，所以a1.(2)由(1)知，f(x)xxln x，又k1恒成立，即k1恒成立令g(x)，则g(x)，令h(x)xln x2(x1)，则h(x)10，所以函数h(x)在(1，)上单调递增因为h(3)1ln 30，所以方程h(x)0在(1，)上存在唯一实根x0，且满足x0(3,4)当1xx0时，h(x)0，即g(x)x0时，h(x)0，即g(x)0，所以函数g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以g(x)ming(x0
14、)x0(3,4)，所以kg(x)minx0(3,4)，故整数k的最大值为3.3 设函数f(x)ex1xax2.(1)若a0，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围解(1)若a0，f(x)ex1x，f(x)ex1.当x(，0)时，f(x)0.故f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)f(x)ex12ax.由(1)知ex1x，当且仅当x0时等号成立，故f(x)x2ax(12a)x，从而当12a0，即a时，f(x)0(x0)f(x)在0，)上单调递增而f(0)0，于是当x0时，f(x)0.由ex1x(x0)可得ex1x(x0)从而当a时，f(x)ex12a(
15、ex1)ex(ex1)(ex2a)，令ex(ex1)(ex2a)0得1ex2a，0xln 2a.故当x(0，ln 2a)时，f(x)0，f(x)在(0，ln 2a)上单调递减而f(0)0，于是当x(0，ln 2a)时，f(x)0.不符合要求综上可得a的取值范围为(，4 已知f(x)x23x1，g(x)x.(1)a2时，求yf(x)和yg(x)的公共点个数；(2)a为何值时，yf(x)和yg(x)的公共点个数恰为两个解(1)由得x23x1x，整理得x3x2x20(x1)令yx3x2x2，求导得y3x22x1，令y0，得x11，x2，故得极值点分别在1和处取得，且极大值、极小值都是负值故公共点只有
16、一个(2)由得x23x1x，整理得ax3x2x(x1)，令h(x)x3x2x，联立如图，对h(x)求导可以得到极值点分别在1和处，画出草图，h(1)1，h()，当ah(1)1时，ya与yh(x)仅有一个公共点(因为(1,1)点不在yh(x)曲线上)，故a时恰有两个公共点5 定义在R上的函数f(x)ax3bx2cx3同时满足以下条件：f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数；f(x)是偶函数；f(x)的图像在x0处的切线与直线yx2垂直(1)求函数yf(x)的解析式；(2)设g(x)4ln xm，若存在x1，e，使g(x)f(x)，求实数m的取值范围解(1)f(x)3ax22bxc.
17、f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数，f(1)3a2bc0，(*)由f(x)是偶函数得b0，又f(x)的图像在x0处的切线与直线yx2垂直，f(0)c1，将代入(*)得a，f(x)x3x3.(2)由已知得，若存在x1，e，使4ln xm(4ln xx21)min.设M(x)4ln xx21，x1，e，则M(x)2x，令M(x)0，x1，e，x.当xe时，M(x)0，M(x)在1，上为增函数，M(x)在1，e上有最大值且在x处取到又M(1)0，M(e)5e25e2.6 (2013湖南)已知a0，函数f(x).(1)记f(x)在区间0,4上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式；(
18、2)是否存在a，使函数yf(x)在区间(0,4)内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由解(1)当0xa时，f(x)；当xa时，f(x).因此，当x(0，a)时，f(x)0，f(x)在(a，)上单调递增若a4，则f(x)在(0,4)上单调递减，g(a)f(0).若0a4，则f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,4)上单调递增所以g(a)maxf(0)，f(4)而f(0)f(4)，故当0a1时，g(a)f(4)；当1a4时，g(a)f(0).综上所述，g(a)(2)由(1)知，当a4时，f(x)在(0,4)上单调递减，故不满足要求当0a4时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,4)上单调递增若存在x1，x2(0,4)(x1x2)，使曲线yf(x)在(x1，f(x1)，(x2，f(x2)两点处的切线互相垂直则x1(0，a)，x2(a,4)，且f(x1)f(x2)1.即1.亦即x12a.(*)由x1(0，a)，x2(a,4)得x12a(2a,3a)，.故(*)成立等价于集合Ax|2ax3a与集合B的交集非空因为3a，所以当且仅当02a1，即0a时，AB.综上所述，存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图像上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是.
