1、 立体几何中与球有关的切接问题1.“切”“接”问题的处理规律（1）“切”的处理：球的内切问题主要是球内切于多面体或旋转体.解答时要找准切点，通过作截面来解决.（2）“接”的处理：把一个多面体的顶点放在球面上即球外接于该多面体.解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.2.当球的内接多面体为共顶点的棱两两垂直的三棱锥、共顶点的三个侧面两两垂直的三棱锥或三组对棱互相垂直的三棱锥时，常构造长方体或正方体以确定球的直径.3.与球有关的组合体的常用结论（1）长方体的外接球：球心：体对角线的交点；半径：为长方体的长、宽、高).（2）正方体的外接球、内切球及与各条棱都相切的
2、球：外接球：球心是正方体的中心，半径为正方体的棱长)；内切球：球心是正方体的中心，半径为正方体的棱长)；与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心，半径(为正方体的棱长).（3）正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)：外接球：球心是正四面体的中心，半径为正四面体的棱长)；内切球：球心是正四面体的中心，半径为正四面体的棱长).【练习】1.在三棱锥中，的内切圆圆O的半径为2，平面，且三棱锥的三个侧面与底面所成角都为60，则该三棱锥的内切球的体积为( )A.B.C.D.2.已知在三棱锥中，是以A为直角的三角形，是正三角形，且与底面所成角的正弦值为，则三棱锥外接球的半径为( )A.B
3、.C.D.3.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家等，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球的表面上，底面，且，利用张衡的结论可得球的表面积为( )A.30B.C.33D.4.已知三棱锥中，是边长为的正三角形，D，E分别是PA，AB上靠近点A的三等分点，则三棱锥的内切球的表面积为( )A. B.C. D.5.已知在菱形ABCD中，将菱形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥，且使得棱，则三棱锥的外接球的表面积为( )A.B.C.D.6.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛.问高几何?”其意思为:“今
4、有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟10 000斛，问该粮仓的高是多少?”已知1斛粟的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，则该粮仓的外接球的体积是( )A.立方丈 B.立方丈C.立方丈 D.立方丈7.已知正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，沿DE，DF，EF折起得到如图所示的空间几何体，若，则此几何体的内切球的体积为( )A.B.C.D.8.在平面四边形中，现将沿折起，使二面角的大小为.若四点在同一个球的球面上，则球的表面积为( )A.B.C.D.9.已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，且该三棱锥的体积为，平面，则球O的体积的最小值为_.10.如图，已知长方体的底面为正方形，
5、P为棱的中点，且，则四棱锥的外接球的体积为_.11.设正四面体的内切球半径为r，外接球半径为R，则_.12.已知有两个半径为2的球记为，两个半径为3的球记为，这四个球彼此相外切，现有一个球O与这四个球都相内切，则球O的半径为_.13.如图，已知边长为1的正方形ABCD与正方形BCFE所在平面互相垂直，P为EF的中点，Q为线段FC上的动点，当三棱锥P-ABQ的体积最大时，三棱锥P-ABQ的外接球的表面积为_.答案以及解析1.答案：A解析：设三棱锥的内切球的半径为R，过O作于点于点于点F，则.连接，易证，因为三棱锥的三个侧面与底面所成角都为60，所以，则.由题意可知三棱锥的内切球的球心在线段上，在
6、中，即，解得.所以该三棱锥的内切球的体积为，故选A.2.答案：C解析：如图，不妨令二面角为钝二面角，取的中点D，连接，因为，所以，且D为外接圆的圆心.作平面于H，易知H在直线上，连接，则为与底面所成角，则，又，所以，又，则.设为的外心，O为三棱锥外接球的球心，连接，则平面，平面，则，设外接球的半径为R，则，故选C.3.答案：B解析：因为，所以.又底面BCD，所以，球O的球心为侧棱AD的中点，从而球O的直径为.利用张衡的结论，可得，所以球O的表面积为.故选B.4.答案：C解析：本题考查三棱锥的内切球的表面积.因为，是边长为的正三角形，所以三棱锥为正三棱锥，由正棱锥对棱垂直可知.又D，E分别是PA
7、，AB上靠近点A的三等分点，所以，所以.又，所以平面PAC，所以平面PAC，所以，所以，所以两两互相垂直.设三棱锥的内切球的半径为r，则由等体积法可得，即，解得，故三棱锥的内切球的表面积为.故选C.5.答案：C解析：本题考查三棱雉的外接球的表面积.由题意可知为等边三角形.如图所示，设外接球的球心为O，等边三角形BCD的中心为取BD的中点F，连接由，得又，所以平面AFC，且可求得而所以在平面AFC中过点A作CF的垂线，与CF的延长线交于点E，由平面AFC得又所以平面BCD.过点O作于点G，则四边形是矩形.又，所以.设外接球的半径为则由，得解得故三棱锥外接球的表面积故选C.6.答案：D解析：由题意
8、可得粮仓的高(丈)，设外接球的半径为，则，该粮仓的外接球的体积是(立方丈)，选D.7.答案：C解析：在等腰中，设点D到EF的距离为h，则.令该几何体的内切球的球心为O，且球心O到三个面的距离均为半径r.又因为，且，所以平面PEF.由等体积法知，即，解得，则，故选C.8.答案：C解析：本题考查三棱锥的外接球、球的表面积.如图所示，设M为的中点，连接，依题意，折起后是二面角的平面角，则.易知，四面体的外接球的球心O在平面上，于是点O在底面上的射影是正的中心，设为点Q，而点O在侧面上的射影是M，易得，又，因此，进而，所以球O的表面积为，故选C.9.答案：解析：本题考查空间几何体的体积.由题意得，三棱
9、锥的体积，则，当球O的体积最小时，外接圆的半径最小，即最小，在中，由余弦定理和基本不等式得，当且仅当取等号，则，此时外接圆的直径，球O的半径，故球O的体积的最小值为.10.答案：解析：解法一 由题意知为正三角形，取的中点M，的中心N，记，连接，过分别作平面与平面的垂线，两垂线交于点O，则点O为四棱锥的外接球球心.由题意知，所以四棱锥的外接球半径，所以四棱锥的外接球的体积.解法二 连接，记，连接，易知四棱锥的外接球的球心O在线段上.取的中点G，连接，设，球O的半径为R，易知，则，得，则，所以四棱锥的外接球的体积.11.答案：解析：本题考查正四面体的外接球、内切球性质.如图，在正四面体PABC中，
10、D，E分别为BC，AC的中点，连接AD，BE交于点F，则点F为正三角形ABC的外心，连接PF，则底面ABC，且正四面体PABC的外接球球心与内切球球心为同一点，应在线段PF上，记作点O，如图所示.不妨设正四面体PABC的棱长为a，则在中，.底面底面，.正四面体PABC的外接球、内切球球心均为O，.，且在中有，.12.答案：6解析：本题考查球的相切问题.由题意可得.如图，取的中点的中点N，连接则又平面同理可证平面平面平面球心O在线段MN上.设球O的半径为R，则.即解得.故球O的半径为6.13.答案：解析：如图，由题意知三棱锥P-ABQ的体积最大时，点Q与点C重合，即求三棱锥P-ABC外接球的表面积.因为正方形ABCD与正方形BCFE的边长均为1，点P为EF的中点，所以.过点P作，垂足为G，由正方形ABCD与正方形BCFE所在平面互相垂直，得平面ABC.设三棱锥P-ABC外接球的球心为O，AC的中点为，连接，则平面ABC.延长到点H，使.连接PH，OP，OA，设，则，解得，设三棱锥P-ABC外接球的半径为R，则.故所求表面积.
