1、第三节圆的方程时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1方程x2y24kx2yk0表示圆的充要条件是()A.k1 Bk或k1CkR Dk或k1解析此方程表示圆的充要条件是(4k)2(2)24k0，即4k2k10.(*)124410，(*)式恒成立，kR.答案C2圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是()Ax2(y2)21 Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21解析由题意知圆心为(0,2)，则圆的方程为x2(y2)21.答案A3过点A(1，1)，B(1,1)，且圆心在直线xy20上的圆的方程是()A(x3)2(y1)24B
2、(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)24解析由题意得线段AB的中点C的坐标为(0,0)，直线AB的斜率为kAB1，则过点C且垂直于AB的直线方程yx，圆心坐标(x，y)满足得yx1，从而圆的半径为2，因此，所求圆的方程为(x1)2(y1)24.答案C4当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为()Ax2y22x4y0Bx2y22x4y0Cx2y22x4y0Dx2y22x4y0解析由(a1)xya10得a(x1)(xy1)0，直线恒过定点(1,2)圆的方程为(x1)2(y2)25，即x2y22x4y0.答案C5(2014云南
3、昆明一模)方程|x|1所表示的曲线是()A一个圆 B两个圆C半个圆 D两个半圆解析由题意得即或故原方程表示两个半圆答案D6(2014杭州模拟)若圆x2y22x6y5a0，关于直线yx2b成轴对称图形，则ab的取值范围是()A(，4) B(，0)C(4，) D(4，)解析将圆的方程变形为(x1)2(y3)2105a，可知，圆心为(1，3)，且105a0，即a2.圆关于直线yx2b对称，圆心在直线yx2b上，即312b，解得b2，ab4.答案A二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7如果三角形三个顶点分别是O(0,0)，A(0,15)，B(8,0)，那么它的内切圆方程为_解析因为AOB
4、是直角三角形，所以内切圆半径为r3，圆心坐标为(3,3)，故内切圆方程为(x3)2(y3)29.答案(x3)2(y3)298(2014河南三市调研)已知圆C的圆心与抛物线y24x的焦点关于直线yx对称，直线4x3y20与圆C相交于A，B两点，且|AB|6，则圆C的方程为_解析设所求圆的半径是R，依题意得，抛物线y24x的焦点坐标是(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x3y20的距离d1，则R2d2210，因此圆C的方程是x2(y1)210.答案x2(y1)2109(2014南通调研)已知A(x1，y1)、B(x2，y2)是圆x2y22上两点，O为坐标原点，且AOB120，则x
5、1x2y1y2_.解析O(x1，y1)，O(x2，y2)，O，O120，则x1x2y1y2OO|O|O|cos12021.答案1三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10(2014衡阳质检)根据下列条件求圆的方程(1)经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x3y10上；(2)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)；(3)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(9,2)解(1)设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由题意列出方程组解之得圆的标准方程是(x4)2(y3)225.(2)方法1：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有解得圆的方程
6、为(x1)2(y4)28.方法2：过切点且与xy10垂直的直线为y2x3，与y4x联立可求得圆心为(1，4)半径r2.所求圆的方程为(x1)2(y4)28.(3)方法1：设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，则解得所求圆的方程为x2y22x4y950.方法2：由A(1,12)，B(7,10)，得A、B的中点坐标为(4,11)，kAB，则AB的中垂线方程为3xy10.同理得AC的中垂线方程为xy30.联立得即圆心坐标为(1,2)，半径r10.所求的圆的方程为(x1)2(y2)2100.11过点C(3,4)且与x轴，y轴都相切的两个圆的半径分别为r1，r2，求r1r2.解由题意知，这两个圆的圆心都
7、在第一象限，且在直线yx上，故可设两圆方程为(xa)2(ya)2a2，(xb)2(yb)2b2，且r1a，r2b.由于两圆都过点C，则(3a)2(4a)2a2，(3b)2(4b)2b2即a214a250，b214b250.则a，b是方程x214x250的两个根故r1r2ab25.12(2014烟台调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线yx相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)试探求圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解(1)设圆心为C(a，b)，由OC与直线yx垂直，知O，C两点的斜率kOC1，故ba，又|OC|2，即2，可解得或结合点C(a，b)位于第二象限知故圆C的方程为(x2)2(y2)28.(2)假设存在Q(m，n)符合题意，则解得故圆C上存在异于原点的点Q符合题意