1、6.2.3向量的数乘运算学 习 目 标核 心 素 养1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义(重点)2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算(重点)3.理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题(难点)4.理解实数相乘与向量数乘的区别(易混点)1.通过向量的加法得到向量数乘运算的直观感知，再过渡到数乘运算及数乘运算律，养成数学抽象和数学运算的核心素养.2.通过判断向量共线的学习，培养逻辑推理和数据分析的核心素养.1向量的数乘运算(1)定义：规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：a，它的长度与方向规定如下：|a|a|
2、；当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反(2)运算律：设，为任意实数，则有：( a)()a；()aa a；(ab)ab；特别地，有()a(a)(a)；(ab)ab.(3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有(1a2b)1a2b.2共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使ba.思考：定理中把“a0”去掉可以吗？提示定理中a0不能漏掉若ab0，则实数可以是任意实数；若a0，b0，则不存在实数，使得ba.1若|a|1，|b|2，且a与b方向相同，则下列关系式正
3、确的是()Ab2aBb2aCa2b Da2bA因a，b方向相同，故b2a.2点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是()A.3 B.2C. D.2D由题意可知：3；22.故只有D正确3化简：2(3a4b)8a_.2a8b原式6a8b8a2a8b.4如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_.2由向量加法的平行四边形法则知.又O是AC的中点，AC2AO，2，2，2.向量的线性运算【例1】(1)若3(xa)2(x2a)4(xab)0，则x_.(2)化简下列各式：3(6ab)9；2；2(5a4bc)3(a3bc)7a.(1)4b3a由已知得3x3a2x4a4x4a4b0，所以
4、x3a4b0，所以x4b3a.(2)解原式18a3b9a3b9a.原式ababab0.原式10a8b2c3a9b3c7abc.向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数(2)向量也可以通过列方程来解把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算1(1)化简；(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x2ya，4x3yb，求向量x，y.解(1)原式ab.(
5、2)由32得，x3a2b，代入得3(3a2b)2ya，所以y4a3b.所以x3a2b，y4a3b.向量共线定理探究问题1如何证明向量a与b共线？提示要证明向量a与b共线，只需证明存在实数，使得ba(a0)即可，一般地，把a和b用相同的两个向量m，n表示出来，观察a与b具有倍数关系即可2如何证明A，B，C三点在同一直线上？提示要证三点A，B，C共线，只需证明与或与共线即可【例2】(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e18e2，e13e2，2e1e2，求证：A，B，D三点共线；(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若xy，求xy的值思路探究(1)(2)解(1)证明：e13e2，
6、2e1e2，e14e2.又2e18e22(e14e2)，2，.AB与BD有交点B，A，B，D三点共线(2)由于A，B，P三点共线，所以向量，在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数使，即()，所以(1)，故x1，y，即xy1.1本例(1)中把条件改为“e12e2，5e16e2，7e12e2”，则A，B，C，D中哪三点共线？解e12e2，5e16e27e12e22(e12e2)2.，共线，且有公共点B，A，B，D三点共线2本例(1)中条件“2e18e2”改为“2e1ke2”且A，B，D三点共线，如何求k的值？解因为A，B，D三点共线，则与共线设(R)，2e1e2(e13e2)e14e2，2
7、e1ke2e14e2.由e1与e2不共线可得2，k8.3试利用本例(2)中的结论判断下列三点是否共线.；23；.解中1，P，A，B三点共线；中231，P，A，B三点共线；中1，P，A，B三点不共线1证明或判断三点共线的方法(1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得(或等)即可(2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点存在实数x，y，使xy且xy1.2利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数，使得ab(b0)而已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定
8、系数法建立方程，解方程从而求得的值用已知向量表示未知向量【例3】(1)如图，ABCD中，E是BC的中点，若a，b，则()A.abB.abCab Dab(2)如图所示，D，E分别是ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知a，b，试用a，b分别表示，.思路探究先用向量加减法的几何意义设计好总体思路，然后利用平面图形的特征和数乘向量的几何意义表示(1)Dab.(2)由三角形中位线定理，知DE綊BC，故，即a.abaab.abaab.1本例(1)中，设AC与BD相交于点O，F是线段OD的中点，AF的延长线交DC于点G，试用a，b表示.解因为DGAB，所以DFGBFA，又因为DFO
9、DBDBD，所以，所以ab.2本例(1)中，若点F为边AB的中点，设a，b，用a，b表示.解由题意解得所以ab.用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程提醒：用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系2.如图所示，四边形ABCD中，M，N分别是DC，AB的中点，已知a，b，c，试用a，b，c表示，.解abc；cbaabc.1实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如a，a是没有意义的2a几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为
10、原来的|倍，向量表示与向量a同向的单位向量3判断两个向量是否共线，关键是能否找到一个实数，使ba.若存在，则共线；不存在，则不共线4共线向量定理的应用证明向量共线：对于向量a与b，若存在实数，使ab，则a与b共线(平行)证明三点共线：若存在实数，使，则A、B、C三点共线求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值特别注意：证明三点共线问题，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线若a与b不共线且ab，则0.5注意记住以下结论并能运用(1)若A，B，P三点共线，则xy且xy1.(2)在ABC中，若D为BC的中点，则()(3)在ABC中
11、，若G为ABC的重心，则0.1判断正误(1)若ba，则a与b共线()(2)若a0，则a0.()(3)(7)6a42a.()(4)若(0)，则A，B，C，D四点共线()答案(1)(2)(3)(4)2对于向量a，b有下列表示：a2e，b2e；ae1e2，b2e12e2；a4e1e2，be1e2；ae1e2，b2e12e2.其中，向量a，b一定共线的有()ABC DA对于，ba，有ab；对于，b2a，有ab；对于，a4b，有ab；对于，a与b不共线3设a，b是两个不共线的向量若向量ka2b与8akb的方向相反，则k_.4因为向量ka2b与8akb的方向相反，所以ka2b(8akb)k4(因为方向相反，所以0k0)4如图所示，已知，用，表示.解().