1、第十二节导数的综合应用【最新考纲】会用导数解决实际问题，能利用导数解决函数的零点、不等式恒成立或证明问题1生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点2利用导数解决生活中的优化问题的基本思路3导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题、利用导数进行研究1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存
2、在最优解()(2)函数f(x)x3ax2bxc的图象与x轴最多有3个交点，最少有一个交点()(3)函数F(x)f(x)g(x)的最小值大于0，则f(x)g(x)()(4)“存在x(a，b)，使f(x)a”的含义是“任意x(a，b)，使f(x)a”()答案：(1)(2)(3)(4)2已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件B11万件C9万件 D7万件解析：yx281，令y0得x9或x9(舍去)当x(0，9)时，y0，当x(9，)时，y0，则当x9时，y有最大值即使该生产厂家获取最大年利润的
3、年产量为9万件答案：C3若函数f(x)x33xa有3个不同的零点，则实数a的取值范围是_解析：由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可，f(x)3x23，令3x230，得x1，只需f(1)f(1)0，即(a2)(a2)0，故a(2，2)答案：(2，2)4若f(x)，0ab0，即f(x)0，f(x)在(0，e)上为增函数，又0abe，f(a)f(b)答案：f(a)f(b)5表面积为12的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为_解析：因为122rh2r2，所以rhr26.所以Vr2hr(6r2) (0r)由V(63r2)0得r.当0r0；当r时，V0.所以当r时，V取极大值，也
4、是最大值，此时h2，所以rh12.答案：12一个“构造”把所求问题通过构造函数，转化为可用导数解决的问题，这是用导数解决问题时常用的方法两个转化一是利用导数研究含参数函数的单调性问题，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极 (最)值问题处理两点注意1注意实际问题中函数定义域的确定2如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点一、选择题1(2016潍坊模拟)方程x36x29x100的实根个数是()A3B2C1 D0解析：设f(x)x36x29x10，f(x)3x212x93(x1)(x3)，由此可
5、知函数的极大值为f(1)60，极小值为f(3)100，所以方程x36x29x100的实根个数为1个答案：C2某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是RR(x)则总利润最大时，年产量是()A100 B 150C200 D300解析：由题意，总成本函数为CC(x)20 000100 x，总利润P(x)又P(x)令P(x)0，得x300，易知x300时，总利润P(x)最大答案：D3若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)解析：2x(xa)x.令f(x)x，f(x)12x
6、ln 20.f(x)在(0，)上单调递增，f(x)f(0)011，a的取值范围为(1，)，答案：D4若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)1，f(0)4，则不等式f(x)1(e为自然对数的底数)的解集为()A(0，) B(，0)(3，)C(，0)(0，) D(3，)解析：由f(x)1得，exf(x)3ex，构造函数F(x)exf(x)ex3，得F(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1由f(x)f(x)1，ex0，可知F(x)0，即F(x)在R上单调递增，又因为F(0)e0f(0)e03f(0)40，所以F(x)0的解集为(0，)答案：A5(2014新课标全国卷)已知函
7、数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00.则a的取值范围是()A(2，) B(1，)C(，2) D(，1)解析：a0时，不符合题意a0时，f(x)3ax26x.令f(x)0，得x0或x.若a0，则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意则a0知，此时必有f0，即a310，化简得a24.又a0，所以a0，当p(30，)时，y0)现已知相距18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和设ACx(km)(1)试将y表示为x的函数；(2)若a1，且x6时，y取得最小值，试求b的值解：(1)设点C受A
8、污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中k为比例系数，且k0.从而点C处受污染程度y.(2)因为a1，所以，y，yk令y0，得x，又此时x6，解得b8，经验证符合题意，所以，污染源B的污染强度b的值为8.10(2014新课标全国卷)设函数f(x)aexln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye(x1)2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)1.(1)解：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexln xexex1ex1.由题意可得f(1)2，f(1)e.故a1，b2.(2)证明：由(1)知，f(x)exln xex1.，从而f(x)1等价于xln xxex，设函数
9、g(x)xln x，则g(x)1ln x.所以当x时，g(x)0.故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为g.设函数h(x)xex，则h(x)ex(1x)所以当x(0，1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0时，g(x)h(x)，即f(x)1.11已知函数f(x)x3x2axa，xR，其中a0，(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(2，0)内恰有两个零点，求a的取值范围解：(1)由题意得，f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x11，x2a0.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：故函数f(x)的单调递增区间是(，1)，(a，)；单调递减区间是(1，a)(2)由(1)知f(x)在区间(2，1)内单调递增，在区间(1，0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(2，0)内恰有两个零点，当且仅当解得0a.所以a的取值范围是.