1、高二数学试题答案第 1 页（共 8 页）20202021 学年度（下）期末教学质量监测高二数学试题参考答案 一、选择题1A2C3A4D5C6D7B8A二、选择题三、填空题6解：PA244234或者 P1C1442347解：c2acb2c2acb2c22ab，当且仅当 2ab 时，等号成立c22ab4a2b24abab b4a2ab b4a1，当且仅当 2ab 时，等号成立因此 c2acb2，当且仅当 2ab 时，等号成立于是 c2acb的最小值为 28解法 1：不等式 x3k(1k)x 可化为(x1)(x2x)k(x1)当 0 x1 时，kx2x，可得 k2；当 x1 时，00，kR；当 x1
2、 时，kx2x，可得 k2综上，k 的取值范围为2解法 2：设 f(x)x3k(1k)x，则 f(x)0，f(1)0，所以 f(1)0因为 f(x)3x2(1k)，所以 3(1k)0，k2若 k2，则 f(x)x33x2，f(x)3(x21)当 0 x1 时，f(x)0，f(x)单调递减，当 x1 时，f(x)0，f(x)单调递增，故 f(x)f(1)0综上，k 的取值范围为29AD10BCD11AC12BD1315001461512；18165高二数学试题答案第 2 页（共 8 页）12解：P(A1)310，P(A2)210，P(A3)510因为 P(BA1)411 310，所以 P(B|A
3、1)P(BA1)P(A1)411 310310 411同理 P(B|A2)311，P(B|A3)311因为 A1，A2，A3 是两两互斥的事件，由全概率公式得P(B)P(BA1)P(BA2)P(BA3)P(B|A1)P(A1)P(B|A2)P(A2)P(B|A3)P(A3)411 310 311 210 311 510 310因为 P(B|A1)P(B)，所以选项 C 错误综上，选项 A 错误，选 B 项正确，选 D 项正确15解：由题设 a12b1，可得 ab12从而 E(X)0a2a121bab12由 a14，可得 b14，于是 D(X)(012)214(1212)212(112)2141
4、816解：设an的公差为 d，则1a1a2 1a2a3 1a9a101d(1a1 1a2)1d(1a2 1a3)1d(1a9 1a10)1d(1a1 1a2 1a9)(1a2 1a3 1a10)1d(1a11a10)1d(1a11a19d)97(79d)由已知得97(79d)977，解得 d2所以 Snn(7)n(n1)22n28n，nSnn38n2高二数学试题答案第 3 页（共 8 页）设 f(n)n38n2，f(n)3n216n，则 f(n)在(0，163)递减，在(163，)递增因为 nN*，比较 f(5)与 f(6)大小可知，当 n5 时，nSn取得最小值75四、解答题17解：（1）f
5、(x)alnxaab，由题设可得 f(1)1，f(1)2，所以aab1，ab2解得 a1，b2（5 分）（2）f(x)定义域为(0，)，f(x)lnx1当 0 xe 时，f(x)0，f(x)单调递减，当 xe 时，f(x)0，g(x)单调递增，所以当 xe 时，f(x)取极小值 f(e)e，没有极大值（10 分）18解：（1）设an的公差为 d，由题设 a15d1，10a145d0解得 a19，d2，所以an的通项公式 an2n11（6 分）（2）由 an2n11 知当 n5 时，an0，当 n6 时，an0，故当 n6 时，Tn0因为 a19，a27，a35，a43，a51，所以当 n4 时
6、，T4945 是Tn的最大项（12 分）19解：（1）由题表中的数据可得-x2.5，-y7.5，i=14(xi-x)25 因为i=14(xi-x)(yi-y)12，所以bi=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2125 2.4，ay bx 7.52.42.51.5高二数学试题答案第 4 页（共 8 页）因此 y 关于 x 的线性回归方程为y1.52.4x当 x5 时，可得y1.52.4513.5所以预测下一个调研周期内该地区新增的退休人数约为 13.5 万人（6 分）（2）由 22 列联表可得，K2100(4213837)2505079211.507因为 1.5072.706，所以
7、没有 90%的把握认为支持延迟退休与性别有关（12 分）20证明：充分性 由 Sna1anq1q，可知 Sn1a1an+1q1q 由 Sn1Snan1，可得 an1anq，而 a10，q0，故an是以 q 为公比的等比数列（6 分）必要性 因为 Sna1a2a3an根据等比数列定义 anqan1，于是qSna2a3a4an1 可得(1q)Sna1an1因为 q1，所以 Sna1anq1q（12 分）【或者】必要性 根据等比数列通项公式，可得 Sna1a1qa1q2a1qn-1 两式同时乘以 q 可得 qSna1qa1q2a1q3a1qn 可得(1q)Sna1a1qna1anq 因为 q1，所以
8、 Sna1anq1q（12 分）【注】必要性，使用 Sna1(1qn)1q和 ana1qn-1 进行证明，给 0 分高二数学试题答案第 5 页（共 8 页）21解：（1）设 A1“第 1 天选择米饭套餐”，A2“第 2 天选择米饭套餐”，则-A1“第1 天不选择米饭套餐”根据题意 P(A1)23，P(-A1)13，P(A2|A1)14，P(A2|-A1)11212由全概率公式，得P(A2)P(A1)P(A2|A1)P(-A1)P(A2|-A1)2314131213（4 分）（2）（i）设 An“第 n 天选择米饭套餐”，则 PnP(An)，P(-An)1Pn，根据题意P(An+1|An)14，
9、P(An+1|-An)11212由全概率公式，得Pn+1P(An+1)P(An)P(An+1|An)P(-An)P(An+1|-An)14Pn12(1Pn)14Pn12因此Pn+12514(Pn25)因为 P125 4150，所以Pn25是以 415为首项，14为公比的等比数列（8 分）（ii）由（i）可得 Pn25 415(14)n-1当 n 为大于 1 的奇数时，Pn25 415(14)n-125 415(14)2 512当 n 为正偶数时，Pn25 415(14)n-125 512因此 n2 当时，Pn 512高二数学试题答案第 6 页（共 8 页）（12 分）22解：方案一：证明不等式
10、设 f(x)x21ex 1，当 x1 时，f(x)(x1)2ex0，f(x)单调递减所以 f(x)f(1)2e10，故不等式成立（4 分）（2）设 g(x)k(x1)lnx，则函数 yk(x1)与 ylnx 的图像有且只有一个公共点等价于 g(x)有且只有一个零点当 k0 时，g(x)在(0，)单调递减，g(1)0，故 g(x)只有一个零点 x1（6 分）g(x)定义域为(0，)，g(x)kx1x当 k0 时，若 0 x1k，则 g(x)0，g(x)单调递减，若 x1k，则 g(x)0，g(x)单调递增，所以 g(x)g(1k)若 k1，g(x)x1ln x0，g(x)有且只有一个零点 x1（
11、8 分）若 k1，则 g(1k)(k1lnk)0当 k1 时，01k1，因为 g(1)0，所以 g(x)在(1k，)存在一个零点 x1由不等式可得 ekk21k1因此 0e-k1k，g(e-k)kek0，g(x)在(0，1k)存在一个零点，故 g(x)有 2 个零点（10 分）当 0k1 时，1k1，因为 g(1)0，所以 g(x)在(0，1k)存在一个零点 x1由不等式可得 e1k 1k211k所以 g(e1k)ke1k k1kk(1k21)k1k0，g(x)在(1k，)存在一个零点，故 g(x)有 2 个零点综上，k 的取值范围为(，01（12 分）高二数学试题答案第 7 页（共 8 页）
12、方案二：证明不等式设 f(x)lnx2 x2，当 x1 时，f(x)1 xx0，f(x)单调递减所以 f(x)f(1)0，故不等式成立（4 分）（2）设 g(x)k(x1)lnx，则函数 yk(x1)与 ylnx 的图像有且只有一个公共点等价于 g(x)有且只有一个零点当 k0 时，g(x)在(0，)单调递减，g(1)0，故 g(x)只有一个零点 x1（6 分）g(x)定义域为(0，)，g(x)kx1x当 k0 时，若 0 x1k，则 g(x)0，g(x)单调递减，若 x1k，则 g(x)0，g(x)单调递增，所以 g(x)g(1k)若 k1，g(x)x1lnx0，g(x)有且只有一个零点 x
13、1（8 分）若 k1，则 g(1k)(k1lnk)0当 k1 时，01k1，因为 g(1)0，所以 g(x)在(1k，)存在一个零点 x1由 k1lnk0 可得 e1k k，ekk1k1因此 0e-k1k，g(e-k)kek0，g(x)在(0，1k)存在一个零点，故 g(x)有 2 个零点（10 分）当 0k1 时，1k1，因为 g(1)0，所以 g(x)在(0，1k)存在一个零点 x1此时(2kk)21，当 x1 时，由不等式可得g(x)k(x1)lnxk(x1)2(x1)(x1)(k x2k)于是 g(2kk)2)0，g(x)在(1k，)存在一个零点，故 g(x)有 2 个零点综上，k 的
14、取值范围为(，01（12 分）方案三：证明不等式设 f(x)2lnx1xx，当 0 x1 时，f(x)(x1)2x20，f(x)单调递减所以 f(x)f(1)0，故不等式成立高二数学试题答案第 8 页（共 8 页）（4 分）（2）设 g(x)k(x1)lnx，则函数 yk(x1)与 ylnx 的图像有且只有一个公共点等价于 g(x)有且只有一个零点当 k0 时，g(x)在(0，)单调递减，g(1)0，故 g(x)只有一个零点 x1（6 分）g(x)定义域为(0，)，g(x)kx1x当 k0 时，若 0 x1k，则 g(x)0，g(x)单调递减，若 x1k，则 g(x)0，g(x)单调递增，所以
15、 g(x)g(1k)若 k1，g(x)x1lnx0，g(x)有且只有一个零点 x1（8 分）若 k1，则 g(1k)(k1lnk)0当 k1 时，01k1，因为 g(1)0，所以 g(x)在(1k，)存在一个零点 x1由 k1lnk0 可得 e1k k，ekk1k1因此 0e-k1k，g(e-k)kek0，g(x)在(0，1k)存在一个零点，故 g(x)有 2 个零点（10 分）当 0k1 时，1k21k1，因为 g(1)0，所以 g(x)在(0，1k)存在一个零点 x1由不等式可得 g(1k2)2lnk1kk0，g(x)在(1k，)存在一个零点，故 g(x)有 2个零点综上，k 的取值范围为(，01（12 分）【注】关于第二个问的解答：（1）后半部分，不等式的任何一个都可以直接使用使用其他二级结论的，需要对结论进行证明，否则不能给满分（2）当 k1 时以及当 0k1 时，运用“x0 时，g(x)”和“x时，g(x)”去说明，不讲明白为什么 g(x)的解答，不能给满分（3）求出 ylnx 在(1，0)处的切线 yx1 后，再用图像说明当 0k1 与 k1 时，函数 yk(x1)与 ylnx 有两个个公共点的解答，给 0 分