1、32一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法目标 1.知道一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；2.会解一元二次不等式重点 解一元二次不等式难点 对一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系的理解知识点一填一填1一元二次不等式一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，叫做一元二次不等式2一元二次不等式的解集一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集答一答1不等式ax22x30一定表示一个一元二次不等式吗？提示：不一定当a0时表示一个一元二次不等式当a0时表示一个一
2、元一次不等式2一元二次不等式有哪些常见的形式？提示：任意一个一元二次不等式，总可以化为以下四种形式中的一种：(1)ax2bxc0(a0)；(2)ax2bxc0)；(3)ax2bxc0(a0)；(4)ax2bxc0(a0)知识点二 填一填答一答3当一个一元二次不等式的解集不是R或时，相应不等式的解集与一元二次方程的根有什么关系？提示：设一元二次不等式ax2bxc0和ax2bxc0)的解集分别为x|xx2，x|x1xx2(x10，该图象与x轴有两个交点，其交点横坐标为2,3，不等式x2x60的解集是(，2)(3，)，不等式x2x60，故函数图象与x轴有两个交点由x2x60，得x12，x23，故交点
3、横坐标分别为2,3.故不等式x2x60的解集为(，2)(3，)不等式x2x60；(2)6x2x20；(3)4x214x；(4)2x24x70.解(1)(3)2459200的解集为R.(2)原不等式可化为6x2x20，1246(2)490，方程6x2x20有两个不同实根，即x1，x2，原不等式的解集为.(3)原不等式可化为4x24x10，即(2x1)20.原不等式的解集是.(4)(4)2427400，不等式2x24x70的解集是(D)A(，1)(1，)B(，1)(2，)C(1,2)D(2,1)解析：(1)不等式2xx20可化为x2x20.因式分解可得(x1)(x2)0的解集是(2,1)(2)不等
4、式4x24x10的解集为.解析：注意到4x24x1(2x1)20，所以不等式的解集为.类型二含参数的一元二次不等式的解法例2解下列关于x的不等式(1)(ax1)(x1)0；(2)m2x22mx30时，解集为(，1)；当1a0，即1时，解集为；当a1时，解集为；当a1时，解集为.(2)当m0时，30，16m20，不等式化为(mx3)(mx1)0时，解集为；当m0时，解集为.解二次项系数含参数的一元二次不等式一定要注意对参数分大于0，等于0和小于0三种情况进行讨论.变式训练2解关于x的不等式x2ax2a20(aR)解：原不等式转化为(x2a)(xa)0时，x1x2，不等式的解集为x|ax2a；(2
5、)当a0时，原不等式化为x20，无解；(3)当a0时，x1x2，不等式的解集为x|2ax0时，解集为x|ax2a；a0时，解集为；a0时，解集为x|2axa类型三三个“二次”间对应关系的应用例3已知关于x的不等式x2axb0的解集为x|1x0的解集分析由一元二次不等式x2axb0的解集为(1,2)，可知1,2是方程x2axb0的两根，由韦达定理或把方程的根代入方程求出a，b的值，从而得解解x2axb0的解集为x|1x0，得2x23x10.由2x23x10(2x1)(x1)0x1.bx2ax10的解集为(1，)三个“二次”关系的实质是数形结合思想：ax2bxc0(a0)的解yax2bxc(a0)
6、图象上的点(x，0)；ax2bxc0(a0)的解集yax2bxc(a0)图象上的点(x，y)在x轴上方的x的取值范围.三者之间相互依存相互转化.变式训练3(1)已知二次不等式ax2bx10的解集为x|2x1，则a，b的值为(C)Aa1，b2Ba2，b1Cab Da1，b2解析：由题知a0的解集为x|1xm，则a3，m3.解析：由题可知1，m是方程ax26xa20的两个根，且a0的解集为(D)Ax|x0 Bx|x2或x0 Dx|0x2解析：原不等式化为x(x2)0，故0x0，则关于x的不等式(mx)(nx)0的解是(B)Axm BnxmCxn Dmx0，所以mn，结合函数y(mx)(nx)的图象
7、，得原不等式的解是nxm.故选B.3二次函数yx24x3在y0时x的取值范围是(1,3)解析：由y0得x24x30，1x0的解集为，则实数a2，实数b3.解析：由题意可知，2是方程ax2bx20的两个根且a0的解集为，求cx22xa0的解集解：由ax22xc0的解集为，知a0即2x22x120，整理得x2x60的二次函数为例)一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集，即二次函数yax2bxc(a0)的值满足y0时的自变量x组成的集合，亦即二次函数yax2bxc(a0)的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，要加深理解“一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式”这三个“二次”之间的内在联系(2)从方程的角度看设一元二次不等式ax2bxc0(a0)和ax2bxc0)的解集分别为x|xx2，x|x1xx2(x1x2)，则有即不等式的解集的端点值是相应方程的根2解含有参数的一元二次型的不等式的注意事项(1)要以二次项系数与零的大小作为分类标准进行分类讨论；(2)转化为标准形式的一元二次不等式(即二次项系数大于零)后，再以判别式与零的大小作为分类标准进行分类讨论；(3)如果判别式大于零，但两实根的大小还不能确定，此时再以两实根的大小作为分类标准进行分类讨论