1、1 雅礼中学 2018 年上学期期末考试试卷 高二文科数学 时量：120 分钟 分值：150 分 命题人：审题人：一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1下列集合中，是集合 Ax|x25x的真子集的是 (A)2，5 (B)(6，)(C)(0，5)(D)(1，5)D【解析】因为 Ax|x25xx|0 x5，所以是集合 Ax|x25x的真子集的是(1，5)故选 D.2复数 z1i1i(i 为虚数单位)的虚部是 (A)1 (B)1 (C)i (D)i A【解析】由题意有：1i1ii()i11ii，据此可得复数1i1i(i
2、为虚数单位)的虚部是 1，本题选择 A 选项 3在正项等比数列an中，若 a4，a8 是方程 x23x20 的两根，则 a6 的值是 (A)2 (B)2 (C)2 (D)2 C【解析】a4，a8 是方程 x23x20 的两根，a4a82，a4a830.由正项等比数列an知，a4a8a26，a6 2.4若 sin 35，且 为第三象限角，则 tan(45)等于 (A)7 (B)17 (C)1 (D)0 A【解析】因为 sin 35，且 为第三象限角，即 cos 1sin245，tan sin cos 34，tan()45 tan 45tan 1tan 45tan 7.5已知13313711log
3、,(),log245abc，则,a b c 的大小关系为 （A）abc （B）bac （C）cba （D）cab D 6已知圆 x2y22xmy0 上任意一点 M 关于直线 xy0 的对称点 N 也在圆上，则 m 的值为 2 (A)1 (B)2 (C)2 (D)1 B【解析】圆 x2y22xmy0 上任意一点 M 关于直线 xy0 的对称点 N 也在圆上，直线 xy0 经过圆心 C1，m2，故有 1m20，解得 m2，本题选 B 选项 7设,是两个不同的平面，m 是直线且 m，则“m”是“”的 (A)必要不充分条件.(B)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 A 8已
4、知 f(x)2sin2x6，若将它的图象向右平移6个单位长度，得到函数 g(x)的图象，则函 数 g(x)的图象的一条对称轴的方程为 (A)x 12 (B)x3 (C)x4 (D)x2 B【解析】由题意知 g(x)2sin2x6 6 2sin2x6，令 2x62k，kZ，解得 x3k2，kZ，当 k0 时，x3，即函数 g(x)的图象的一条对称轴的方程为 x3，故选 B 9某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角 三角形的个数为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 C 10函数 ycos2x2sin x 的最大值与最小值分别为 （A）3，1 （B）3，2 （C）2，1 （D）2，
5、2 D 解析 ycos2x2sin x1sin2x2sin xsin2x2sin x1，令 tsin x，则 t1，1，yt22t1(t1)22，所以 ymax2，ymin2.答案 D 11某市国庆节 7 天假期的楼房认购量(单位：套)与成交量(单位：套)的折线图如图所示，小 明同学根据折线图对这 7 天的认购量与成交量作出如下判断：日成交量的中位数是 16；日成交量超过日平均成交量的有 2 天；认购量与日期正相关；10 月 7 日认购量的 增量大于 10 月 7 日成交量的增量上述判断中错误的个数为 3 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 C【解析】7 天假期的楼房认购量为：91、100
6、、105、107、112、223、276；成交量为：8、13、16、26、32、38、166.对于，日成交量的中位数是 26，故错；对于，日平均成交量为：81316263238166742.7，有 1 天日成交量超过日平均成 交量，故错；对于，根据图形可得认购量与日期不是正相关，故错；对于，10 月 7 日认购量的增量大于 10 月 7 日成交量的增量，正确故选 C.12已知 F1，F2 为双曲线 C：x2a2y2b21()a0，b0 的左，右焦点，点 P 为双曲线 C 右支上一点，直线 PF1 与圆 x2y2a2 相切，且|PF2|F1F2，则双曲线 C 的离心率为 (A)103 (B)43
7、 (C)53 (D)2 C【解析】设 PF1 与圆相切于点 M，则因为|PF2|F1F2，所以PF1F2 为等腰三角形，所以|F1M 14|PF1，又因为在直角F1MO 中，|F1M2|F1O2a2c2a2，所以|F1M b14|PF1 又|PF1|PF2 2a2c2a，c2a2b2，故由得，eca53，故选 C.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上 13向量 a(m，2)，b(1，2)，若 ab，则 m_-4【解析】向量 a(m，2)，b(1，2)，若 ab，可得 m4 14 在集合 A2，3中随机取一个元素 m，在集合 B1，2，3中随机取一个
8、元素 n，得 到点 P(m，n)，则事件“点 P 在直线 y=x 上”的概率为 .P.15若椭圆2221(2)4xyaa 的离心率与等轴双曲线的离心率之积为 1，则 a=_.【解析】易得等轴双曲线离心率为，椭圆的离心率为.16已知 aR，函数 22220220 xxaxf xxxax，若对任意 x3，+），f(x)x 恒成立，则 a 的取值范围是_ 4 18，2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 17(本小题满分 10 分)已知等差数列an满足 a32，前 3 项和 S392.()求an的通项公式；()设等比数列bn满足 b1a1，b4a15
9、，求bn的前 n 项和 Tn.【解析】()设an的公差为 d，则由已知条件得 a12d2，3a1322 d92，化简得 a12d2，a1d32，解得 a11，d12，故an的通项公式 an1n12，即 ann12.-5 分 ()由(1)得 b11，b4a1515128.设bn的公比为 q，则 q3b4b18，从而 q2，故bn的前 n 项和 Tnb1（1qn）1q1（12n）122n1.-10 分 18(本小题满分 12 分)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 3a2csin A 且 cb.()求角 C 的大小；()若 b4，延长 AB 至 D，使 BCBD，且 A
10、D5，求ABC 的面积【解析】()由正弦定理得，3sin A2sin Csin A，sin A0 sin C 32，又 cb，C3.-6 分()设 BCx，则 AB5x，在ABC 中，由余弦定理得 (5x)2x2422x4cos3，8 分 求得 x32，即 BC32，-10 分 在ABC 中，ABC 的面积 S12ACBCsin C12432 32 3 32.-12 分 19(本小题满分 12 分)A 市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士12369”的绿色环保活动小组对 2017 年 1 月2017 年 12 月(一月)内空气质量指数 API 进行监测，如表是在这一年随机抽取的
11、 100 天的统计结果：指数 API 0，50(50，100(100，150(150，200(200，250(250，300 300 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中重度污染 重度污染 天数 4 13 18 30 9 11 15 5 ()若 A 市某企业每天由空气污染造成的经济损失 P(单位：元)与空气质量指数 API(记为 t)的关系为：P0，0t1004t400，100300，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失 P(200，600元的概率；()若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季节，其中有 8 天为重度污染，完成 22 列联表，并判断是否有 95%的把握认为
12、A 市本年度空气重度污染与供暖有关？非重度污染 重度污染 合计 供暖季 _ _ _ 非供暖季 _ _ _ 合计 _ _ 100 下面临界值表供参考.P(K2k)0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：K2n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd）.【解析】()设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失 P(200，600元”为事件 A.(1 分)由 2004t400600，得 150t250，频数为 39，(3 分)P(A)39100.(4 分)()根据以上数据得到如表：非重度污
13、染 重度污染 合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计 85 15 100 -(8 分)K2 的观测值 K2100（638227）2851530704.5753.841(10 分)所以有 95%的把握认为 A 市本年度空气重度污染与供暖有关(12 分)20(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD为直角梯形，90ABCBAD，PDC和 BDC均为等边三角形，且平面 PDC 平面 BDC，点 E 为 PB 中点.()求证：AE平面 PDC；()若 PBC的面积为152，求三棱锥 AEBD的体积.【解析】（1）取 PC 的中点 F，连接 EF，DF；取
14、 BC 的中点G，连接 DG，6 因为 BCD是正三角形，所以90DGB.因为90ABCBAD，所以四边形 ABGD 为矩形，从而12ADBGBC，/ADBC.因为 EF 为 BCP的中位线,所以12EFBC，/EFBC，即 ADEF，/ADEF，所以四边形 ADFE 是平行四边形，从而/AEDF，又 DF 面 PDC，所以 AE面 PDC.-6 分 （2）取CD的中点 M，连接 PM，则 PMDC.过点 P 作 PNBC交 BC 于 N.因为 PMDC，面 PDC 面 BDC，面 PDC面 BDCDC 所以 PM 面 BCD.又因为 BC 面 BCD，所以 PMBC.又因为 PNBC，PNP
15、MP，PN、PM 面 PMN，所以 BC 面 PMN，又因为 MN 面 PMN，所以MNBC.由于 M 为 DC 中点，易知14NCBC.设 BCx，则 PBC的面积为22115242xxx，解得2BC，从而1AD，3ABPG.111324VSPMABD.-12 分 21(本小题满分 12 分)如图所示，在直角坐标系 xOy 中，点 P1，12 到抛物线 C：y22px(p0)的准线的距离为54.点 M(t，1)是 C 上的定点，A，B 是 C 上的两动点，且线段 AB 的中点 Q(m，n)在直线 OM 上.()求曲线 C 的方程及 t 的值；()记 d|AB|14m2，求 d 的最大值.【解
16、析】(1)y22px(p0)的准线为 xp2，1p2 54，p12，抛物线 C 的方程为 y2x.又点 M(t，1)在曲线 C 上，t1.(4 分)(2)由(1)知，点 M(1，1)，从而 nm，即点 Q(m，m)，依题意，直线 AB 的斜率存在，且不为 0，设直线 AB 的斜率为 k(k0).且 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y21x1，y22x2，得(y1y2)(y1y2)x1x2，故 k2m1，所以直线 AB 的方程为 ym 12m(xm)，即 x2my2m2m0.(7 分)由x2my2m2m0，y2x，消去 x，整理得 y22my2m2m0，所以 4m4m20，y1y22m，y
17、1y22m2m.7 从而|AB|11k2|y1y2|14m24m4m22（14m2）（mm2）.(10 分)d|AB|14m22 m（1m）m(1m)1，当且仅当 m1m，即 m12时，上式等号成立，又 m12满足 4m4m20.d 的最大值为 1.(12 分)22(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)(2a)(x1)2ln x(aR)()若曲线 g(x)f(x)x 上点(1，g(1)处的切线过点(0，2)，求函数 g(x)的单调减区间；()若函数 yf(x)在0，12 上无零点，求 a 的最小值 【解析】()g(x)(3a)x(2a)2ln x，g(x)3a2x，g(1)1a，又 g(1
18、)1，1a12101，解得：a2，(2 分)由 g(x)322xx2x 0，解得：0 x2，函数 g(x)在(0，2)递减；(6 分)()f(x)0 在0，12 恒成立不可能，故要使 f(x)在0，12 无零点，只需任意 x0，12，f(x)0 恒成立，即对 x0，12，a22ln xx1恒成立，(8 分)令 l(x)22ln xx1，x0，12，则 l(x)2ln x2x2（x1）2，再令 m(x)2ln x2x2，x0，12，则 m(x)2（1x）x20，(10 分)故 m(x)在0，12 递减，于是 m(x)m 12 22ln 20，从而 l(x)0，于是 l(x)在0，12 递增，l(x)l 12 24ln 2，故要使 a22ln xx1恒成立，只要 a24ln 2，)，综上，若函数 yf(x)在0，12 上无零点，则 a 的最小值是 24ln 2.(12 分)
