1、第三章不等式3.1不等关系与不等式第1课时不等关系与比较大小目标 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系；2.理解不等号的意义和不等式的概念，会用不等式和不等式组表示各种不等关系；3.理解实数大小与实数运算的关系，会用作差比较法比较两个实数的大小重点 会用作差比较法比较两个实数的大小难点 用不等式或不等式组表示各种不等关系知识点一不等式与不等关系 填一填1不等式的定义所含的两个要点：(1)不等符号，或.(2)所表示的关系是不等关系2不等式中的文字语言与符号语言之间的转换答一答1不等关系通过什么样的形式表现出来？提示：通过不等式来表现不等关系2在日常生活中，我们经常看到下列标志：(1)你知道各图
2、中的标志有何作用？其含义是什么吗？(2)你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？提示：(1)最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里；限制质量：装载总质量G不得超过10 t；限制高度：装载高度h不得超过3.5米；限制宽度：装载宽度a不得超过3米；时间范围：t7.5,10(2)v50；G10；h3.5；a3；7.5t10.知识点二比较两实数a，b大小的依据 填一填答一答3用作差法比较两个实数的大小时，对差式应如何变形？提示：一般地，对差式分解因式或配方4比较x23与3x的大小(其中xR)提示：因为(x23)3xx23x3x23x23220，所以x233x.类型一用不等式(组)表示不等关系例1
3、已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：食物甲乙维生素A/(单位/kg)600700维生素B/(单位/kg)800400设用甲、乙两种食物各x kg，y kg配成混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.试用不等式组表示x，y所满足的不等关系分析根据维生素A和B分别至少为56 000单位和63 000单位列不等式解x kg甲种食物含有维生素A 600x单位，含有维生素B 800x单位，y kg乙种食物含有维生素A 700y单位，含有维生素B 400y单位，则x kg甲种食物与y kg乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x700y)(单位)
4、，含有维生素B(800x400y)(单位)，则有即变式训练1用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m试用不等式表示其中的不等关系解：由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0b0，比较aabb和abba的大小分析(1)将两个代数式作差，判断它们差的符号(2)将两个代数式作商，判断商与1的大小关系解(1)xR，mR，(x2x1)(2m22mx)x2(2m1)x(2m21)x2(2m1)x222m212m2m220.x2x12m22mx.(2)abab，ab0，1，ab0.从而ab01，显然aabb和a
5、bba都是正数，则aabbabba.变式训练2设xR，且x1，比较与1x的大小解：(1x)，而x20，(1)当x0时，0，1x.(2)当1x0，即x1时，0，0，且x0，即1x0时，0，1x.综上可知：当x0时，1x；当x1时，1x；当1x0时，1x.类型三不等式的实际应用例3某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”这两车队的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠分析依据题意表示出两车队的收费，然后比较大小解设该单位职工有n人(nN*)，全票价为x元，坐甲车需
6、花y1元，坐乙车需花y2元，则y1xx(n1)xxn，y2xn，y1y2xxnxnxxnx.当n5时，y1y2；当n5时，y1y2；当ny2.因此，当此单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠(1)“最优方案”问题，首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然后把这个未知量用其他的已知量表示出来，通过比较即可得出结论.(2)这是一道与不等式有关的实际应用问题，解答时要有设有答，步骤完整.变式训练3甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走如果mn，甲、
7、乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别是t1，t2.依题意，有mns，t2，所以t1，t2.则t1t2.由于s，m，n都是正数，且mn，所以t1t20，即t15 BM0，(y1)20，因此(x2)2(y1)20.故M5.3已知各项大于零的等比数列an，其公比q1，则a2a7a4a5(填“”或“0.4b克糖水中有a克糖(ba0)，若再添上m克糖(m0)，则糖水就变甜了，试根据这个事实提炼一个不等式(ba0，m0)解析：由题意的比值越大，糖水越甜，若再添上m克糖(m0)，则糖水就变甜了，说明.5已知a0且a1，求证：loga(a31)lo
8、ga(a21)证明：loga(a31)loga(a21)loga，当a1时，a31a21，则1，故loga0.即loga(a31)loga(a21)0.即loga(a31)loga(a21)当0a1时，a31a21，则00.即loga(a31)loga(a21)0.即loga(a31)loga(a21)综上，当a0，且a1时，loga(a31)loga(a21)本课须掌握的三大问题1不等关系强调的是关系，可用符号“”“b”“ab”“ab”“ab”“ab”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的2不等式中文字语言与符号语言之间的转换3.比较大小的方法分为作差法和作商法，其中作差法的一般步骤是：(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)作出结论这种比较大小的方法通常称为作差比较法其思维过程：作差变形判断符号结论，其中变形是判断符号的前提