1、竞赛培训专题7-高阶等差数列一、基本知识1.定义：对于一个给定的数列an，把它的连结两项an+1与an的差an+1-an记为bn，得到一个新数列 bn，把数列bn你为原数列an的一阶差数列，如果cn=bn+1-bn，则数列cn是an的二阶差数列依此类推，可得出数列an的p阶差数列，其中pN2.如果某数列的p阶差数列是一非零常数列，则称此数列为p阶等差数列3.高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称4.高阶等差数列的性质：(1)如果数列an是p阶等差数列，则它的一阶差数列是p-1阶等差数列(2)数列an是p阶等差数列的充要条件是：数列an的通项是关于n的p次多项式(3) 如果数列an是p阶等差
2、数列，则其前n项和Sn是关于n的p+1次多项式5.高阶等差数列中最重要也最常见的问题是求通项和前n项和，更深层次的问题是差分方程的求解，解决问题的基本方法有：(1)逐差法：其出发点是an=a1+(2)待定系数法：在已知阶数的等差数列中，其通项an与前n项和Sn是确定次数的多项式(关于n的)，先设出多项式的系数，再代入已知条件解方程组即得(3)裂项相消法：其出发点是an能写成an=f(n+1)-f(n)(4)化归法：把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差数列的问题，达到简化的目的二、例题精讲例1.数列an的二阶差数列的各项均为16，且a63=a89=10，求a51解：法一：显然a
3、n的二阶差数列bn是公差为16的等差数列，设其首项为a,则bn=a+(n-1)16,于是an= a1+=a1+(n-1)a+8(n-1)(n-2)这是一个关于n的二次多项式，其中n2的系数为8，由于a63=a89=10,所以an=8(n-63)(n-89)+10，从而a51=8(51-63)(51-89)+10=3658解：法二：由题意，数列an是二阶等差数列，故其通项是n的二次多项式，又a63=a89=10，故可设an=A(n-63)(n-89)+10由于an是二阶差数列的各项均为16，所以(a3-a2)-(a2-a1)=16即a3-2a2+a1=16，所以A(3-63)(3-89)+10-
4、2A(2-63)(2-89)+10+A(1-63)(1-89)+10=16解得：A=8an=8(n-63)(n-89)+10，从而a51=8(51-63)(51-89)+10=3658例2.一个三阶等差数列an的前4项依次为30,72,140,240，求其通项公式解：由性质(2)，an是n的三次多项式，可设an=An3+Bn2+Cn+D由a1=30、a2=72、a3=140、a4=240得解得：所以an=n3+7n2+14n+8例3.求和：Sn=1322+2432+n(n+2)(n+1)2解：Sn是是数列n(n+2)(n+1)2的前n项和，因为an=n(n+2)(n+1)2是关于n的四次多项式
5、，所以an是四阶等差数列，于是Sn是关于n的五次多项式k(k+2)(k+1)2=k(k+1)(k+2)(k+3)-2k(k+1)(k+2)，故求Sn可转化为求Kn=和Tn=k(k+1)(k+2)(k+3)= k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)-(k-1) k(k+1)(k+2)(k+3)，所以Kn=Tn=从而Sn=Kn-2Tn=例4.已知整数列an适合条件：(1)an+2=3an+1-3an+an-1,n=2,3,4,(2)2a2=a1+a3-2(3)a5-a4=9,a1=1求数列an的前n项和Sn解：设bn=an+1-an,Cn=bn+1-bnCn=bn+1-bn= (an+2-an
6、+1)-( an+1-an)=an+2-2an+1+an=(3an+1-3an+an-1) -2an+1+an=an+1-2an+an-1=Cn-1 (n=2,3,4,)所以 Cn是常数列由条件(2)得C1=2,则an是二阶等差数列因此an=a1+由条件(3)知b4=9，从而b1=3，于是an=n2例5.求证：二阶等差数列的通项公式为证明：设an的一阶差数列为bn，二阶差数列为cn，由于an是二阶等差数列，故cn为常数列又c1=b2-b1=a3-2a2+a1所以例6.求数列1,3+5+7,9+11+13+15+17,的通项解：问题等价于：将正奇数1,3,5,按照“第n个组含有2n-1个数”的规
7、则分组：(1)、(3,5,7)、(9,11,13,15,17), 然后求第n组中各数之和an依分组规则，第n组中的数恰好构成以2为公差的项数为2n-1的等差数列，因而确定了第n组中正中央这一项，然后乘以(2n-1)即得an将每一组的正中央一项依次写出得数列：1,5,13,25,这个数列恰为一个二阶等差数列，不难求其通项为2n2-2n+1，故第n组正中央的那一项为2n2-2n+1，从而an=(2n-2n+1)(2n-1)例7.数列an的二阶差数列是等比数列，且a1=5,a2=6,a3=9,a4=16,求an的通项公式解：易算出an的二阶差数列cn是以2为首项，2为公比的等比数列,则cn=2n,a
8、n的一阶差数列设为bn，则b1=1且从而例8.设有边长为1米的正方形纸一张，若将这张纸剪成一边长为别为1厘米、3厘米、(2n-1)厘米的正方形，愉好是n个而不剩余纸，这可能吗？解：原问题即是是否存在正整数n，使得12+32+(2n-1)2=1002由于12+32+(2n-1)2=12+22+(2n)2-22+42+(2n)2=随着n的增大而增大，当n=19时=912910000故不存在例9.对于任一实数序列A=a1,a2,a3,，定义DA为序列a2-a1,a3-a2,，它的第n项为an+1-an，假设序列D(DA)的所有项均为1，且a19=a92=0,求a1解：设序列DA的首项为d,则序列DA为d,d+1,d+2,它的第n项是d+(n-1)，因此序列A的第n项显然an是关于n的二次多项式，首项等比数列为由于a19=a92=0，必有所以a1=819摘自数学教育之窗