1、能力升级练(二十五)转化与化归思想一、选择题1.若a2,则关于x的方程13x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有()A.0个根B.1个根C.2个根D.3个根解析设f(x)=13x3-ax2+1,则f(x)=x2-2ax=x(x-2a),当x(0,2)时,f(x)0,f(x)在(0,2)上为减函数.又f(0)f(2)=183-4a+1=113-4a0,所以f(x)=0在(0,2)上恰好有1个根.答案B2.如图所示,已知三棱锥P-ABC,PA=BC=234,PB=AC=10,PC=AB=241,则三棱锥P-ABC的体积为()A.40B.80C.160D.240解析因为三棱锥P-ABC的三组对边两
2、两相等,则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示).把三棱锥P-ABC补成一个长方体AEBG-FPDC,易知三棱锥P-ABC的各边分别是此长方体的面对角线,不妨令PE=x,EB=y,EA=z,则由已知,可得x2+y2=100,x2+z2=136,y2+z2=164x=6,y=8,z=10.从而知VP-ABC=VAEBG-FPDC-VP-AEB-VC-ABG-VB-PDC-VA-FPC=VAEBG-FPDC-4VP-AEB=6810-4166810=160.答案C3.定义运算:(ab)x=ax2+bx+2.若关于x的不等式(ab)x0的解集为x|1x2,则关于x的不等式(ba)x0的解集为
3、()A.(1,2)B.(-,1)(2,+)C.-23,1D.-,-23(1,+)解析1,2是方程ax2+bx+2=0的两实根,1+2=-ba,12=2a,解得a=1,b=-3.所以(-31)x=-3x2+x+20,解得x1.答案D4.已知OA=(cos 1,2sin 1),OB=(cos 2,2sin 2),若OA=(cos 1,sin 1),OB=(cos 2,sin 2),且满足OAOB=0,则OAB的面积等于()A.12B.1C.2D.4解析由条件OAOB=0,可得cos(1-2)=0.利用特殊值,如设1=2,2=0,代入,则A(0,2),B(1,0),故OAB的面积为1.答案B5.已知
4、函数f(x)=4sin24+x-23cos 2x+1且给定条件p:“4x2”,又给定条件q:“|f(x)-m|2”,且p是q的充分条件,则实数m的取值范围是()A.(3,5)B.(-2,2)C.(1,3)D.(5,7)解析f(x)=4sin24+x-23cos 2x+1=21-cos2+2x-23cos 2x+1=2sin 2x-23cos 2x+3=4sin2x-3+3.令t=2x-3,当4x2时,f(x)=g(t)=4sin t+3,6t23,当4x2时,f(x)max=7,f(x)min=5.p是q的充分条件,对x4,2,|f(x)-m|2恒成立,即m-2f(x)m+2恒成立m-2f(x
5、)max,即m-27,解得5m0,即(2m+1)(6m2-2m+1)0,m-12.即当m0,b0,当AB有且只有一个元素时,a,b满足的关系式是.解析AB有且只有一个元素可转化为直线xa-yb=1与圆x2+y2=1相切,故圆心到直线的距离为|ab|b2+a2=1.a0,b0,ab=a2+b2.答案ab=a2+b28.已知数列an满足a1=1,an+1=an2+an,用x表示不超过x的最大整数,则1a1+1+1a2+1+1a2 013+1=.解析因为1an+1=1an(an+1)=1an-1an+1,所以1an+1=1an-1an+1,所以1a1+1+1a2+1+1a2 013+1=1a1-1a
6、2+1a2-1a3+1a2 013-1a2 014=1a1-1a2 014,又a1=1,所以1a2 014(0,1),所以1a1-1a2 014(0,1),故1a1-1a2 014=0.答案09.在各棱长都等于1的正四面体OABC中,若点P满足OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1),则|OP|的最小值等于.解析因为点P满足OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1),所以点P与A、B、C共面,即点P在平面ABC内,所以|OP|的最小值等于点O到平面ABC的距离,也就是正四面体的高,为63.答案63三、解答题10.在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ABC是正三角形,AC与BD的
7、交点M恰好是AC的中点,又CAD=30,PA=AB=4,点N在线段PB上,且PNNB=13.(1)求证:BDPC;(2)求证:MN平面PDC;(3)设平面PAB平面PCD=l,试问直线l是否与直线CD平行,请说明理由.(1)证明因为ABC是正三角形,M是AC的中点,所以BMAC,即BDAC.又因为PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.又PAAC=A,所以BD平面PAC,又PC平面PAC,所以BDPC.(2)证明在正三角形ABC中,BM=23.在ACD中,因为M为AC的中点,DMAC,所以AD=CD,CDA=120,所以DM=233,所以BMMD=31.所以BNNP=BMMD,所以M
8、NPD.又MN平面PDC,PD平面PDC,所以MN平面PDC.(3)解假设直线lCD.因为l平面PAB,CD平面PAB,所以CD平面PAB.又CD平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB,所以CDAB.又知CD与AB不平行,所以假设不成立,直线l与直线CD不平行.11.已知函数f(x)=x-1x,g(x)=aln x,其中x0,aR,令函数h(x)=f(x)-g(x).(1)若函数h(x)在(0,+)上单调递增,求a的取值范围;(2)当a取(1)中的最大值时,判断方程h(x)+h(2-x)=0在(0,1)上是否有解,并说明理由.解(1)h(x)=f(x)-g(x),h(x)=f(x)-g(x)=1+1x2-ax=x2-ax+1x2.依题意,知不等式x2-ax+10在区间(0,+)上恒成立,即ax+1x在区间(0,+)上恒成立,解得a2,即a的取值范围为(-,2.(2)当a=2时,h(x)=x-1x-2ln x.h(x)+h(2-x)=2-2x(2-x)-2ln x(2-x).令t=x(2-x),x(0,1),则t(0,1).构造函数(t)=2-2t-2ln t.(t)=2t2-2t=2-2tt20恒成立,函数(t)在(0,1)上单调递增,且(1)=0.(t)=2-2t-2ln t=0在(0,1)上无解.即方程h(x)+h(2-x)=0在(0,1)上无解.