1、课时规范练7函数的奇偶性与周期性基础巩固组1.函数f(x)=1x-x的图象关于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.原点中心对称D.直线y=x对称2.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x0,2时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)0在-1,3上的解集为()A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)(1,3)D.(-1,0)(0,1)3.已知定义域为R的函数f(x)在(8,+)上单调递减,且函数y=f(x+8)为偶函数,则()A.f(6)f(7)B.f(6)f(9)C.f(7)f(9)D.f(7)f(10)4.设偶函数f(x)满足当x0时,f(x)=x3-8,则x|f(x-2)0=()A
2、.x|x4B.x|x4C.x|x6D.x|x25.(多选)对于定义在R上的函数f(x),下列判断错误的有()A.若f(-2)f(2),则函数f(x)在R上是增函数B.若f(-2)f(2),则函数f(x)不是偶函数C.若f(0)=0,则函数f(x)是奇函数D.函数f(x)在区间(-,0上单调递增,在区间(0,+)上也单调递增,则f(x)是R上的增函数6.(多选)(2020山东淄博一模,12)已知函数y=f(x)是R上的奇函数,对于任意xR,都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立,当x0,2)时,f(x)=2x-1.给出下列结论,其中正确的是()A.f(2)=0B.点(4,0)是函数y=f(x)
3、的图象的一个对称中心C.函数y=f(x)在-6,-2上单调递增D.函数y=f(x)在-6,6上有3个零点7.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)f(a),则实数a的取值范围是()A.(-,-1)(2,+)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-,-2)(1,+)8.(2020山东潍坊临朐模拟一,14)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且当x(0,2)时,f(x)=x2+1,则f(7)的值为.9.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当x-3,-1)时,f(x)=-(x+2)2,当x-1,3)时,f(x)=x,则
4、f(1)+f(2)+f(3)+f(2 021)=.10.已知f(x)是R上的奇函数,f(1)=2,且对任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,则f(2 017)=.综合提升组11.函数f(x)=2-sinx3+|x|的最大值是M,最小值是m,则f(M+m)的值等于()A.0B.2C.D.212.(2020全国2,理9)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)()A.是偶函数,且在12,+上单调递增B.是奇函数,且在-12,12上单调递减C.是偶函数,且在-,-12上单调递增D.是奇函数,且在-,-12上单调递减13.奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶
5、函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)的值为()A.2B.1C.-1D.-214.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x),当x0,1时,f(x)=3x,若12a0得x(-1,0);当x0,1)时,由xf(x)0得x;当x1,3时,由xf(x)0得x(1,3).故x(-1,0)(1,3).故选C.3.D由y=f(x+8)为偶函数,知函数f(x)的图像关于直线x=8对称.又因为f(x)在(8,+)上单调递减,所以f(x)在(-,8)上单调递增.可画出f(x)的草图(图略),知f(7)f(10),故选D.4.Bf(x-2)0等价于f(|x-2|)0=f(2).又f(x)=
6、x3-8在0,+)上单调递增,|x-2|2,解得x4,故选B.5.ACD对于A,若f(-2)f(2),则f(x)在R上必定不是增函数,故A错误;对于B,若函数f(x)是偶函数,则f(-2)=f(2),所以若f(-2)f(2),则函数f(x)不是偶函数,故B正确;对于C,f(x)=x2,满足f(0)=0,但不是奇函数,故C错误;对于D,该函数为分段函数,在x=0处,有可能会出现右侧比左侧低的情况,故D错误.故选ACD.6.AB在f(x+4)=f(x)+f(2)中,令x=-2,得f(-2)=0,又因为函数y=f(x)是R上的奇函数,所以f(2)=-f(-2)=0,f(x+4)=f(x),故y=f(
7、x)是一个周期为4的奇函数,因为(0,0)是f(x)的图像的一个对称中心,所以点(4,0)也是函数y=f(x)的图像的一个对称中心,故A,B正确;作出函数f(x)的部分图像如图所示,易知函数y=f(x)在-6,-2上不具单调性,故C不正确;函数y=f(x)在-6,6上有7个零点,故D不正确.故选AB.7.Cf(x)是奇函数,当xf(a),得2-a2a,解得-2a0,f(x)在区间-12,12上单调递增.同理,f(x)在区间-,-12,12,+上单调递减.故选D.13.Af(x+1)为偶函数,f(x)为奇函数,f(-x+1)=f(x+1),f(x)=-f(-x),f(0)=0,f(x+1)=f(
8、-x+1)=-f(x-1),f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),则f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2,f(4)+f(5)=0+2=2,故选A.14.5f(x+2)=f(x),函数f(x)是周期为2的函数,若x-1,0,则-x0,1,f(-x)=-3x,由题意f(-x)=f(x)=-3x.由ax+3a-f(x)=0,得a(x+3)=f(x),设g(x)=a(x+3),分别作出函数f(x),g(x)在区间-3,2上的图像如图.12a34,当a=12和34时,对应的直线为两条虚线,则由图像知两个函数有5个不同的交点,故方程有5个不相等的实数
9、根.15.B由题意,f(-x)=2-x-1-12-x+1=12x+1-2x-1=-f(x),所以f(x)为R上的奇函数.因为2x-1和-12x+1都为R上的增函数,所以f(x)=2x-1-12x+1为R上的增函数.对于A,y=ex不是奇函数,排除A;对于B,由f(-x)=ln(-x+(-x)2+1)=ln1x+x2+1=-ln(x+x2+1)=-f(x),所以f(x)为奇函数,由复合函数的单调性知y=ln(x+x2+1)为增函数,故B正确;对于C,y=x2不是奇函数,排除C;对于D,y=tanx在R上不是单调函数,排除D.故选B.16.1中f(0)=60,无论正数a取什么值f(x-a)都不是奇函数,故不是“和谐函数”;中f(x)=cos2x-2=sin2x,f(x)的图像向左或右平移4个单位长度后其函数变为偶函数,f(x)的图像向左或右平移2个单位长度后其函数变为奇函数,故不是“和谐函数”;中f(x)=sinx+cosx=2sinx+4,因为fx-4=2sinx是奇函数,fx+4=2cosx是偶函数,故是“和谐函数”;因为f(x)=ln|x+1|,所以只有f(x-1)=ln|x|为偶函数,而f(x+1)=ln|x+2|为非奇非偶函数,故不存在正数a使得函数f(x)是“和谐函数”.综上可知,只有是“和谐函数”.5