1、第二课时函数奇偶性的应用(习题课)1.下列函数中是奇函数的为(D)(A)y=x-1 (B)y=x2 (C)y=|x| (D)y=x解析:y=x-1为非奇非偶函数,y=x2与y=|x|为偶函数,y=x为奇函数.故选D.2.已知函数f(x)=g(x)+|x|,对任意的xR总有f(-x)=-f(x),且g(-1)=1,则g(1)等于(B)(A)-1 (B)-3 (C)3 (D)1解析:由f(-x)=-f(x)可知f(x)是奇函数,因为 f(x)=g(x)+|x|,g(-1)=1,所以f(-1)=1+1=2,则f(1)=-2.故得f(1)=g(1)+1=-2,所以g(1)=-3,故选B.3.下列函数中
2、,既是偶函数,又在区间(0,+)上单调递减的函数为(C)(A)y= (B)y=x2+1(C)y= (D)y=x解析:选项A,D中的函数是奇函数,选项B,C中的函数是偶函数,但函数y=x2+1在(0,+)上单调递增.故选C.4.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为(A)(A)4 (B)0 (C)2m (D)-m+4解析:由f(-5)=a(-5)7-b(-5)5+c(-5)3+2=-a57+b55-c53+2=m,得a57-b55+c53=2-m,则f(5)=a57-b55+c53+2=2-m+2=4-m.所以f(5)+f(-5)=4-m+m=4
3、.故选A.5.若偶函数f(x)在(-,-1上是增函数,则下列关系式中,成立的是(D)(A)f(-)f(-1)f(2)(B)f(-1)f(-)f(2)(C)f(2)f(-1)f(-)(D)f(2)f(-)f(-1)解析:偶函数f(x)满足f(2)=f(-2),函数在(-,-1上是增函数,因为-2-1,所以f(-2)f(-)f(-1),即f(2)f(-)f(-1).6.已知函数y=f(x)在R上为奇函数,且当x0时,f(x)=x2-2x,则当x0时,f(x)的解析式是(A)(A)f(x)=-x(x+2)(B)f(x)=x(x-2)(C)f(x)=-x(x-2)(D)f(x)=x(x+2)解析:设x
4、0,则f(-x)=x2+2x=-f(x),所以f(x)=-x(x+2),故选A.7.若f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=f(x)+g(x)+2,在(0,+)上有最大值8,则在(-,0)上F(x)有(D)(A)最小值-8 (B)最大值-8(C)最小值-6 (D)最小值-4解析:根据题意有f(x)+g(x)在(0,+)上有最大值6,又因为f(x)和g(x)都是奇函数,所以f(x)+g(x)是奇函数且f(x)+g(x)在(-,0)上有最小值-6,则F(x)在(-,0)上也有最小值-6+2=-4,故选D.8.已知偶函数f(x)在0,+)上单调递增,且f(-2)=3,则满足f(2x-3)3的x的
5、取值范围是(B)(A)(-,)(,+)(B)(,)(C)(-,-)(-,+)(D)(-,-)解析:因为f(x)为偶函数,所以f(-2)=f(2)=3,f(2x-3)3等价于f(|2x-3|)f(2).又因为f(x)在0,+)上单调递增,所以|2x-3|2,解得x.故选B.9.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,则f(0),f(1),f(-2)按从小到大的顺序排列是.解析:因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)恒成立,即(m-1)x2-6mx+2=(m-1)x2+6mx+2恒成立,所以m=0,即f(x)=-x2+2.因为f(x)的图象开口向下,对称轴为y轴,在0,+)上单调递
6、减,所以f(2)f(1)f(0),即f(-2)f(1)f(0).答案:f(-2)f(1)f(0)10.设函数f(x)=(aR)为偶函数,则f(3a)=.解析:f(x)为偶函数,则对于定义域x|x0,恒有f(-x)=f(x),利用特殊值法,不妨取f(-1)=f(1),则f(-1)=0,f(1)=2(1+a)=0,所以a=-1,得f(x)=,则f(3a)=f(-3)=.答案:11.已知函数f(x)=,若f(a)=,则f(-a)=.解析:函数f(x)=1+,f(a)=,即f(a)=1+=,得=-,所以f(-a)=1+=1-(-)=.答案:12.已知函数f(x)是周期为2的奇函数,当-1x0时,f(x
7、)=x2+x,则f()=.解析:因为函数f(x)是周期为2的奇函数,所以f()=f(5042+)=f()=-f(-)=-+(-)=.答案:13.已知函数f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=x2-x+2,求f(x),g(x)的解析式.解:因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数.所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),又因为f(x)+g(x)=x2-x+2,所以f(-x)+g(-x)=x2+x+2,即-f(x)+g(x)=x2+x+2,由,得g(x)=x2+2,f(x)=-x.14.设定义在-2,2上的偶函数f(x)在区间-2,0上单调递减,若f(1-m)f(1+m
8、),求实数m的取值范围.解:因为f(x)是-2,2上的偶函数,且在-2,0上单调递减,所以f(x)在0,2上单调递增,由f(1-m)f(1+m)得解得-1m3,解得-3m1,由得-1m1,可化简为(1-m)20,综上得m的取值范围为(0,1.15.设函数f(x)=(a0).(1)判断函数的奇偶性;(2)探究函数f(x)在,+)上的单调性,并用单调性的定义证明.解:(1)f(x)的定义域为(-,0)(0,+),因为f(-x)=-=-f(x),所以f(x)为奇函数.(2)函数f(x)在,+)上单调递增,证明:任取x1,x2,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-),因为x
9、1,x2,+),且x1x2,所以x1-x20,则f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)在,+)上单调递增.16.设f(x)是R上的奇函数,且在(0,+)内是增函数,又f(-3)=0,则xf(x)0的解集是(D)(A)x|-3x3(B)x|x-3或0x3(C)x|x3(D)x|-3x0或0x3解析:因为f(x)为奇函数,在(0,+)上为增函数,所以在(-,0)上为增函数,因为f(-3)=-f(3)=0,所以f(x)在(-,-3)和(0,3)为负,f(x)在(-3,0)和(3,+)为正,xf(x)0,即x与f(x)异号,所以解集为(-3,0)(0,3).故选D.17.函
10、数f(x)=|x3+1|+|x3-1|,则下列坐标表示的点一定在函数f(x)图象上的是(D)(A)(-a,-f(a)(B)(-a,-f(-a)(C)(a,-f(a)(D)(a,f(-a)解析:因为函数f(x)=|x3+1|+|x3-1|,xR,所以f(-a)=|(-a)3+1|+|(-a)3-1|=|-a3+1|+|-a3-1|=|a3-1|+|a3+1|=f(a),所以函数为偶函数,则(a,f(-a),(-a,f(a)均在函数图象上.故选D.18.y=f(x)在(0,2)上是增函数,y=f(x+2)是偶函数,则f(1),f(),f()的大小关系是.解析:y=f(x+2)是偶函数,则y=f(x
11、)关于x=2对称,于是f()=f(),F()=f(),又f(x)在(0,2)上是增函数,所以f()f(1)f(),即f()f(1)f().答案:f()f(1)f()19.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(-x)=f(x),f(-2)=-3,则f(-31)+f(-63)=.解析:因为f(x)为R上的奇函数,故f(-x)=-f(x-),易得f(x-)=-f(x),则f(x-3)=f(x-)=-f(x-)=f(x),即函数f(x)是以3为周期的周期函数,故f(-31)=f(-1)=f(2)=-f(-2)=3,f(-63)=f(0)=0,则f(-31)+f(-63)=3.答案:320.已知函数y=
12、f(x)(x0)对于任意的x,yR且x,y0满足f(xy)=f(x)+f(y).(1)求f(1),f(-1)的值;(2)求证:y=f(x)为偶函数;(3)若y=f(x)在(0,+)上是增函数,解不等式f(x)+f(x-5)0.(1)解:因为对于任意的x,yR且x,y0满足f(xy)=f(x)+f(y),所以令x=y=1,得到f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,令x=y=-1,得到f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=0.(2)证明:令y=-1,得f(-x)=f(x)+f(-1),因为f(-1)=0,所以f(-x)=f(x),所以y=f(x)为偶函数.(3)解:由(2)知函数f(x)是定义在非零实数集上的偶函数.所以不等式f(x)+f(x-5)0可化为Fx(x-5)f(1),所以-1x(x-5)1.即-6x(x-5)6且x0,x-50,在坐标系内,画出函数y=x(x-5)图象与y=6,y=-6两直线如图所示.由图可得x-1,0)(0,23,5)(5,6.故不等式的解集为-1,0)(0,23,5)(5,6.