1、4.4参数方程44.1参数方程的意义课标解读1.理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程2.通过常见曲线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义.1参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数反过来，对于t的每一个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程叫做曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数2求参数方程的一般步骤(1)建立直角坐标系，设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)；(2)选取适当的参数；(3)根据已知条件、图形的几何性质、物理意义等，建立点M的坐标与参数的函数关系式；(4)证明
2、所求得的参数方程就是所求曲线的方程(通常省略不写)1从参数方程的概念来看，参数t的作用是什么？什么样的量可以当参数？【提示】参数t是联系变数x，y的桥梁；可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数2在选择参数时，要注意什么？【提示】在选择参数时，要注意以下几点：参数与动点坐标x，y有函数关系，且x，y便于用参数表示；选择的参数要便于使问题中的条件明析化；对于所选定的参数，要注意其取值范围，并能确定参数对x，y取值范围的制约；若求轨迹，应尽量使所得的参数方程便于消参点与曲线的位置已知曲线C的参数方程是(t为参数)(1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关
3、系；(2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值【自主解答】(1)把点M1(0,1)代入，得解得t0，故点M1在曲线C上，把点M2(5,4)代入，得这个方程组无解，因此点M2(5,4)不在曲线C上，(2)因为点M3(6，a)在曲线C上，所以解得故a9.已知某条曲线C的参数方程为(其中t为参数，aR)，点M(5,4)在该曲线上，求常数a.【解】点M(5,4)在曲线C上，解得：a的值为1.求曲线的轨迹方程如图441，ABP是等腰直角三角形，B是直角，腰长为a，顶点B、A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程图441【自主解答】法一设P点的坐标为(x，y)，过P点作x轴的垂线交x
4、轴于Q.如图所示，则RtOABRtQBP.取OBt，t为参数(0ta)OA，BQ.点P在第一象限的轨迹的参数方程为(0ta)法二设点P的坐标为(x，y)，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，如图所示取QBP，为参数(0)，则ABO.在RtOAB中，OBacos()asin .在RtQBP中，BQacos ，PQasin .点P在第一象限的轨迹的参数方程为(为参数，0)求动点的轨迹方程，是解析几何中常见的题型之一，通常可用解析法寻找变量之间的关系，列出等式，得到曲线的方程当变量之间的关系不容易用等式表示时，可以引入参数，使变量之间通过参数联系在一起，从而得到曲线的参数方程设质点沿以原点为圆心，半径为
5、2的圆做匀角速运动，角速度为rad/s.试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程【解】如图所示，运动开始时质点位于点A处，此时t0，设动点M(x，y)对应时刻t，由图可知又t(t以s为单位)，故参数方程为(t为参数，t0)(教材第56页习题4.4第1题)物体从高处以初速度v0(m/s)沿水平方向抛出以抛出点为原点，水平直线为x轴，写出物体所经路线的参数方程，并求出它的普通方程(2013课标全国卷)已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(02)，M为PQ的中点(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点【命题意图
6、】本题考查参数方程及轨迹方程，主要考查逻辑思维能力和运算求解能力【解】(1)依题意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的轨迹的参数方程为(为参数，02)(2)M点到坐标原点的距离d(02)当时，d0，故M的轨迹过坐标原点1已知曲线(为参数，02)下列各点A(1,3)，B(2,2)，C(3,5)，其中在曲线上的点是_【解析】将A点坐标代入方程得：0或，将B、C点坐标代入方程，方程无解，故A点在曲线上【答案】A(1,3)2椭圆的焦点坐标为_【解析】把椭圆方程化为普通方程，得1.则a225，b216，所以c29.椭圆的焦
7、点为(3,0)和(3,0)【答案】(3,0)和(3,0)3椭圆y21的一个参数方程为_【解析】设cos ，ysin ，所以椭圆的一个参数方程为(为参数)【答案】4参数方程(为参数)表示的曲线是_【答案】线段图4421如图442，OB是机器上的曲柄，长是r，绕点O转动，AB是连杆，M是AB上一点，MAa，MBb(2rab)当点A在Ox上做往返运动，点B绕着O做圆周运动时，求点M的轨迹方程【解】如题图，设点M(x，y)，BAO，由点B作BCOx，交Ox于点C，由点M作MDOx，交Ox于点D，由点M作MEBC，交BC于点E，那么yDMasin ，xODOCCDOCEMEMbcos ，得到点M(x，y
8、)的坐标满足方程组即为点M的轨迹方程2动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向上的分速度分别为9 m/s和12 m/s，运动开始时，点M位于A(1,1)，求点M的轨迹方程【解】设t s后点M的坐标为(x，y)，则所以点M的轨迹方程为(t0)3以椭圆y21的长轴的左端点A与椭圆上任意一点连线的斜率k为参数，将椭圆方程化为参数方程【解】椭圆y21的长轴的左端点A的坐标为(2,0)设P(x，y)为椭圆上任意一点(除点A)，则点P的坐标满足将k代入y21，消去x，得(4)y2y0.解得y0，或y.由y，解得x；由y0，解得x2.由于(2,0)满足方程组所以椭圆y21的参数方程为4ABC是圆x2y21的
9、内接三角形，已知A(1,0)，BAC60，求ABC的重心的轨迹方程【解】因为BAC60，所以BOC120.设B(cos ，sin )(0240)，则有C(cos(120)，sin(120)设重心坐标为(x，y)，则所以即消去60，得(3x1)29y21，0240，1cos(60)，0，即0x.ABC的重心的轨迹方程为(x)2y2(0x0恒成立，方程必有相异两实根t1，t2，且t1t23(2cos sin )，t1t2.(1)BC|t1t2|.(2)A为BC中点，t1t20，即2cos sin 0，tan 2.故直线BC的方程为y2(x3)，即4x2y150.(3)BC8，(2cos sin )
10、21.cos 0或tan .直线BC的方程是x3或3x4y150.(4)BC的中点M对应的参数是t(2cos sin )，点M的轨迹方程为(00)的顶点作两条互相垂直的弦OA，OB，求线段AB中点M的轨迹的普通方程【解】由题意知，两弦所在直线的斜率存在且不为0，所以设直线OA的方程为ykx，则OB的方程为yx，解得或所以A点坐标为(，)同理可求得B点坐标为(2pk2，2pk)设AB中点M的坐标为(x，y)，则消去k得y2px2p2.所以点M的轨迹方程为y2px2p2.5(2012湖南高考改编)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(为参数，a0)有一个公共点在x轴上，试求
11、a的值【解】消去参数t得2xy30.又消去参数得1.方程2xy30中，令y0得x，将(，0)代入1，得1.又a0，a.6已知直线l经过点P(1,0)，倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程；(2)设直线l与椭圆x24y24相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积【解】(1)直线l的参数方程为即(t为参数)(2)联立直线与圆的方程得(1t)24()24，t2t30，所以t1t2，即|t1|t2|.所以P到A、B两点的距离之积为.7已知抛物线y28x的焦点为F，过F且斜率为2的直线交抛物线于A、B两点(1)求AB；(2)求AB的中点M的坐标及FM.【解】抛物线y28x的焦点为F(2,0)，依题
12、意，设直线AB的参数方程为(t为参数)，其中tan 2，cos ，sin ，为直线AB的倾斜角，代入y28x整理得t22t200.则t1t22，t1t220.(1)AB|t2t1|10.(2)由于AB的中点为M，故点M对应的参数为，M(3,2)，FM|.教师备选8如图所示，已知直线l过点P(2,0)，斜率为，直线l和抛物线y22x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：(1)P，M间的距离PM；(2)点M的坐标；(3)线段AB的长【解】(1)直线l过点P(2,0)，斜率为，设直线l的倾斜角为，则tan ，cos ，sin ，直线l的参数方程的标准形式为(t为参数)(*)直线l和抛物线相交，
13、将直线l的参数方程代入抛物线方程y22x中，整理得8t215t500，15248500.设这个二次方程的两个根为t1，t2，由根与系数的关系得t1t2，t1t2.由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得PM.(2)因为中点M所对应的参数为tM，将此值代入直线l的参数方程的标准形式(*)，得即M(，)(3)AB|t1t2|.第2课时圆、椭圆的参数方程的应用课标解读1.能用曲线的参数方程去研究曲线的性质2.会用参数法解决圆锥曲线中的最值、定值等问题.1圆的参数方程圆的参数方程的常见形式为(为参数)其中，参数的几何意义是以圆心A(a，b)为顶点，且与x轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P所在半
14、径成的角2椭圆的参数方程椭圆的参数方程的常见形式为(为参数)1椭圆的参数方程与圆的参数方程有什么区别和联系？【提示】椭圆1(ab0)和圆x2y2r2普通方程都是平方和等于1的形式，故参数方程都运用了三角代换法，只是参数方程的常数不同2椭圆的参数方程中参数的几何意义是什么？【提示】从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令椭圆1可以变成圆x2y21.利用圆x2y21的参数方程(是参数)可以得到椭圆1的参数方程(是参数)因此，参数的几何意义应是椭圆上任意一点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角(称为离心角)，而不是OM的旋转角，如图圆的参数方程的应用在圆x22xy20上求一点，使它到直线2x3y50
15、的距离最大【自主解答】圆的方程x22xy20可化为(x1)2y21，所以设圆的参数方程为设P(1cos ，sin )，则点P到直线2x3y50的距离为d(其中sin ，cos )当sin()1，即时，d取到最大值，此时x1cos 1，ysin ，即点P(1，)即为所求已知点P(x，y)在圆x2y21上，求x22xy3y2的最大值和最小值【解】圆x2y21的参数方程为(为参数)x22xy3y2cos22cos sin 3sin2sin 232sin 2cos 22sin(2)则当k(kZ)时，x22xy3y2取最大值为2，当k(kZ)时，x22xy3y2取最小值为2.椭圆参数方程的应用已知实数x
16、，y满足3x22y26x，求：(1)xy的最大值；(2)x2y2的取值范围【思路探究】本题表面上看是代数题，但由于方程3x22y26x可以表示一个椭圆，故可以用椭圆的参数方程来解【自主解答】方程3x22y26x，即(x1)21.设(1)xy1cos sin 1 sin()(其中tan ，0,2)所以xy的最大值为1.(2)x2y2(1cos )2(sin )212cos cos2sin2cos22cos (cos 2)2，因为cos 1,1，所以0x2y24.利用椭圆的参数方程(是参数)，将问题转化为三角函数问题处理(2013湖北高考)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(为参数，ab0)
17、在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为sinm(m为非零常数)与b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为_【解析】由已知可得椭圆标准方程为1(ab0)由sinm可得sin cos m，即直线的普通方程为xym.又圆的普通方程为x2y2b2，不妨设直线l经过椭圆C的右焦点(c,0)，则得cm.又因为直线l与圆O相切，所以b，因此cb，即c22(a2c2)整理，得，故椭圆C的离心率为e.【答案】(教材第47页例1)如图445，已知M是椭圆1(ab0)上在第一象限的点，A(a,0)和B(0，b)是
18、椭圆的两个顶点，O为原点，求四边形MAOB的面积的最大值(2013镇江模拟)在直角坐标系xOy中，直线l的方程为xy40，曲线C的参数方程为(为参数)(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4，)，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值【命题意图】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力和转化与化归思想【解】(1)把极坐标系下的点P(4，)化为直角坐标得点(0,4)因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程xy40，所以点P在直线
19、l上(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos ，sin )，从而点Q到直线l的距离为dcos()2，由此得，当cos()1时，d取得最小值，且最小值为.1已知圆的方程为x2y24x，则它的参数方程是_【解析】x2y24x可化为(x2)2y24，圆心为(2,0)，半径r2.参数方程为(为参数，02)【答案】(为参数，02)2椭圆(为参数)的焦距是_【解析】根据参数方程，可知a3，b2.c，焦距为2c2.【答案】23椭圆y21上的点到直线xy60的距离的最小值为_【解析】设P(cos ，sin )是椭圆上的点，则点P到直线xy60的距离d，当cos()1时，d取到最小值，最小值为2.【
20、答案】24点P(x，y)在圆(x1)2(y1)21上运动，则3x4y的最大值为_，的最小值为_【解析】设x1cos ，y1sin ，所以3x4y73cos 4sin 75sin()(其中sin ，cos )，所以当sin()1时，3x4y取到最大值12.设t，则sin tcos t1，从而sin()t1(其中sin ，cos )，sin()，所以1，解得t0，即的最小值为0.【答案】1201当x2y24时，求ux22xyy2的最值【解】设(00.所以，应有k0且kZ，即kN.所以，所求摆线的参数方程是(其中为参数，kN)已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数
21、方程【解】令y0，可得r(1cos )0，由于r0，即得cos 1，所以2k(kZ)代入xr(sin )，得xr(2ksin 2k)又因为x2，所以r(2ksin 2k)2，即得r(kN)易知，当k1时，r取最大值为.代入即可得圆的平摆线的参数方程为(为参数).圆的渐开线已知圆的渐开线的参数方程(为参数)求出该渐开线的基圆的方程，当参数取时，求对应曲线上点的坐标【思路探究】由圆的渐开线的参数方程形式可得r3，把代入即得对应的坐标【自主解答】，半径为3.此渐开线的基圆方程为x2y29.把代入参数方程得即曲线上点的坐标为(，3)圆的渐开线参数方程其中为参数已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对
22、应的曲线上两点A、B对应的参数分别是和，求A、B两点的距离【解】根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是(为参数)，分别把和代入，可得A、B两点的坐标分别为A(，)，B(，1)那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为AB.即A、B两点之间的距离为.1若某圆的渐开线方程是(为参数)，则此圆的方程是_，对应0的点的坐标是_，对应的点是_【解析】圆的方程为x2y21，0的点的坐标是(1,0)，对应的点的坐标是(，1)【答案】x2y21(1,0)(，1)2摆线(02)与直线y1交点的直角坐标为_【解析】当y1时，有2(1cos )1，cos ，又02，或，当时，x；当时，x.【答
23、案】(，1)，(，1)图4473如图447，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH叫做“正方形的渐开线”，其中弧AE、EF、FG、GH的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是_【解析】相加得5.【答案】54已知一个圆的参数方程为(为参数)那么圆的平摆线方程中与参数对应的点A与点B(，2)之间的距离为_【解析】根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为(为参数)，把代入参数方程中可得即A(3(1)，3)，AB.【答案】1求平摆线(0t2)与直线y1的交点的直角坐标【解】由题意知，y1cos t1，cos t0，sin t1，t2k(kZ)，又0
24、t2，t.x1.交点的直角坐标为(1,1)2已知圆的渐开线(为参数，02)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积【解】把已知点(3,0)代入参数方程得解得所以基圆的面积Sr2329.3已知摆线的生成圆的直径为80 mm，写出摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高【解】因为摆线的生成圆的半径r40 mm，所以此摆线的参数方程为它一拱的拱宽为2r24080(mm)，拱高为2r24080(mm)4抛物线y22x6ysin 9cos28cos 90，求顶点的轨迹的普通方程【解】抛物线方程可化为(y3sin )22(x4cos )，所以其顶点的参数方程为普通方程为1.5已知椭圆(为参数)，
25、F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不在x轴上的一点，求PF1F2的重心G的轨迹方程【解】F1(3,0)、F2(3,0)，设P(5cos ，4sin )、G(x，y)，所以G的轨迹方程为(为参数，sin 0)图4486如图448，已知半圆x2y21(y0)，定点A(2,0)，设B为圆上一动点，以AB为一边在上半平面内作正方形ABCD，设P为正方形ABCD的中心，求点P的轨迹方程，并指出它是什么曲线【解】设轨迹上任意一点为P(x，y)，又设D(x0，y0)，xOB(0)，则B(cos ，sin )，(cos 2，sin )，(x02，y0)由且|，得解得因为P是BD的中点，所以(0)消去，得
26、点P的轨迹方程是(x1)2(y1)2(x，y)，它表示以(1,1)为圆心，为半径的半圆的一部分7如图449所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度(以弧度为单位)为参数求半径为2的圆的摆线的参数方程图449【解】当圆滚过角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如题图所示，ABM.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧的长相等，它们的长都等于2，从而B点坐标为(2，2)，向量(2，2)，向量(2sin ，2cos )，(2sin ，2cos )，因此(22sin ，22cos )(2(sin )，2(1cos )动点M的坐标为(x，y)，向量(x，y)，所以这就是所求摆
27、线的参数方程教师备选8求半径为4的圆的渐开线的参数方程【解】以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OAAM，按渐开线定义，弧的长和线段AM的长相等，记和x轴正向所夹的角为(以弧度为单位)，则AM4.作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得(4cos ，4sin )由几何知识知MAB，(4sin ，4cos )，得(4cos 4sin ，4sin 4cos )(4(cos sin )，4(sin cos )又(x，y)，因此有这就是所求圆的渐开线的参数方程选修44阶段归纳提升参数
28、方程参数方程与普通方程的互化将参数方程化为普通方程实质上就是消参的过程，常用的方法有代入消元、利用三角恒等式、整体消元法等，但一定要注意转化的等价性把下列曲线的参数方程化为普通方程，并指出方程所表示的曲线是什么曲线(1)(t为参数)；(2)(为参数)【解】(1)两式相除，得t，代入任何一个方程中化简，得x2y22x0.t20，0x2.普通方程为x2y22x0(0x2)该方程表示圆心在(1,0)，半径为1的圆除去点(0,0)(2)由(sin cos )21sin 2，得x2y1.|y|sin 2|1，普通方程为x2y1(1y1)该方程表示抛物线夹在两平行线y1和y1之间的部分.参数方程的应用参数
29、方程是研究曲线的辅助工具，多注重参数方程与普通方程的互化参数思想在解题中有着广泛的应用，例如直线参数方程主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，在解决这类问题时，利用直线参数方程中参数l的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化过点P(2,1)作直线l分别交x轴，y轴的正方向于A、B两点，求APBP值最小时，直线l的方程【解】如图，设直线的倾斜角为(0)上任意一点，F为其焦点，以PF的长t为参数，写出抛物线的参数方程【解】设P(x，y)，则由抛物线的定义知xt，y22p(t)2ptp2，所以y，因此抛物线的参数方程是和其中t为参数且t.18(本小题满分13分)已知曲线C
30、1：(t是参数)，C2：(是参数)(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t是参数)距离的最小值【解】(1)C1：(x4)2(y3)21，C2：1，C1为圆心是(4,3)，半径是1的圆C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆(2)当t时，P(4,4)，Q(8cos ，3sin )，故M(24cos ，2sin )C3为直线x2y70，M到C3的距离d|4cos 3sin 13|.从而当cos ，sin 时，d取得最小值.选修44模块学习评价模块学习评价(时间120
31、分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1椭圆(是参数)的离心率是_【解析】椭圆消去参数，可得1，a5，b3，c4，e.【答案】2极坐标方程分别是2cos 和4sin ，两个圆的圆心距离是_【解析】2cos 是圆心在(1,0)，半径为1的圆；4sin 是圆心在(2，)，半径为2的圆，所以两圆心的距离是.【答案】3若点P的极坐标为(6，)，则将它化为直角坐标是_【解析】由x6cos3，y6sin3.【答案】(3，3)4极坐标系中A(3，)，B(8，)，则A、B两点的距离为_【答案】75球坐标(2，)对应的点的直角坐标是_【解析】由空间点P的
32、直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，)之间的变换关系可得【答案】(，)6已知直线的极坐标方程为sin()，那么极点到该直线的距离是_【答案】7直线(t为参数)截抛物线y24x所得的弦长为_【答案】88(2013广东高考)已知曲线C的极坐标方程为2cos .以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为_【解析】2cos 化为普通方程为，即(x1)2y21，则其参数方程为(为参数)，即(为参数)【答案】(为参数)9(2013重庆高考)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若极坐标方程为cos 4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB
33、|_.【解析】由cos 4，知x4.又x3y2(x0)由得或|AB|16.【答案】1610(2012北京高考)直线(t为参数)与曲线(为参数)的交点个数为_【解析】将消去参数t得直线xy10；将消去参数得圆x2y29.又圆心(0,0)到直线xy10的距离d3.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点【答案】211(2012湖北高考)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知射线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为_【解析】射线的普通方程为yx(x0)，代入得t23t0，解得t0或t3.当t0时，x1，y1，即A(1,1)；当t3时，x4
34、，y4，即B(4,4)所以AB的中点坐标为(，)【答案】(，)12设直线的参数方程为(t为参数)，点P在直线上，且与点M0(4,0)的距离为，如果该直线的参数方程改写成(t为参数)，则在这个方程中点P对应的t值为_【解析】由|PM0|，知PM0或PM0，即t代入第一个参数方程，得点P的坐标分别为(3,1)或(5，1)；再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t1或t1.【答案】113极坐标方程cos 和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是_【解析】cos ，x2y2x，表示一个圆由得到3xy1，得到直线【答案】圆直线14已知圆C的圆心是直线(t为参数)与x轴的交点，且圆C与直线xy30相切，则圆
35、C的标准方程为_【解析】将直线的参数方程化为普通方程xy10.由题意可得圆心(1,0)，则圆心到直线xy30的距离即为圆的半径，故r，所以圆的方程为(x1)2y22.【答案】(x1)2y22二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)已知曲线C1的极坐标方程为：6cos ，曲线C2的极坐标方程为：(R)，曲线C1，C2相交于A、B两点(1)将曲线C1，C2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求弦AB的长度【解】(1)曲线C2：(R)表示直线yx，曲线C1：6cos ，即26cos ，x2y26x，即(x3)2y29.(2)圆心(3,0)
36、到直线C2的距离d，r3，弦长AB3.16(本小题满分14分)已知圆C的极坐标方程是4cos ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)，若直线l与圆C相切，求实数m的值【解】由4cos ，得24cos ，x2y24x，即圆C的方程为(x2)2y24，又由消t，得xym0，直线l与圆C相切，2，m22.17(本小题满分14分)已知曲线C的极坐标方程是2sin ，直线l的参数方程是(t为参数)(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值【解】(1)曲线C的极坐标方程可化为
37、22sin ，又x2y22，ysin ，所以曲线C的直角坐标方程为x2y22y0.(2)将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得y(x2)令y0，得x2，即M点的坐标为(2,0)又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为(0,1)，半径r1，则MC，所以MNMCr1.当M，N，C共线时，MN最大，此时为1.18(本小题满分16分)(2012福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，(，)，圆C的参数方程为(为参数)(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；(2)判断直线l与圆C的位置关系【解】(1)由题意知
38、，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，)又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为(1，)，故直线OP的平面直角坐标方程为yx.(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，)，所以直线l的平面直角坐标方程为x3y20.又圆C的圆心坐标为(2，)，半径为r2，圆心到直线l的距离dr，故直线l与圆C相交19(本小题满分16分)(2012课标全国卷)已知曲线C1的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，)(1)求点A，B，C
39、，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围【解】(1)由已知可得A(2cos ，2sin )，B(2cos ()，2sin()，C(2cos ()，2sin()，D(2cos ()，2sin()，即A(1，)，B(，1)，C(1，)，D(，1)(2)设P(2cos ，3sin )，令S|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2，则S16cos236sin2163220sin2.因为0sin21，所以S的取值范围是32,5220(本小题满分16分)(2013课标全国卷)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(0,02)【解】(1)将消去参数t，化为普通方程(x4)2(y5)225，即C1：x2y28x10y160.将代入x2y28x10y160得28cos 10sin 160.所以C1的极坐标方程为28cos 10sin 160.(2)C2的普通方程为x2y22y0.由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为(，)，(2，)