1、专题4 三角函数与平面向量第16练 三角函数的化简与求值三角函数的化简与求值在高考中频繁出现，重点考查运算求解能力.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，属于比较简单的题目，这就要求在解决此类题目时不能丢分，由于三角函数部分公式比较多，要熟练记忆、掌握并能灵活运用.题型分析 高考展望 体验高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 123451.(2015课标全国改编)sin 20cos 10cos 160sin 10等于_.12解析 sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 301
2、2.sin cos5cos sin5sin cos5cos sin5tan tan51tan tan5121213.12345解析答案 2.(2015重庆改编)若 tan 2tan 5，则cos310sin5等于_.解析 cos310sin5sin2310sin5sin5sin53 12345解析答案 3.(2016四川)cos28sin28_.解析 由题可知，cos28sin28cos4 22.2212345解析答案 4.(2016课标全国甲改编)若 cos4 35，则 sin 2 等于_.解析 因为 sin 2cos22 2cos24 1，又因为 cos4 35，所以 sin 22 925
3、1 725.72512345解析答案 返回 5.(2016课标全国丙改编)若 tan 34，则 cos22sin 2 等于_.解析 tan 34，则 cos22sin 2cos24sin cos cos2sin214tan 1tan2 6425.6425 高考必会题型 题型一 利用同角三角函数基本关系式化简与求值 基本方法：(1)弦切互化；(2)“1”的代换，即1sin2cos2；(3)在进行开方运算时，注意判断符号.基本公式：sin2cos21；tan sin cos.方法二 由 tan 2，得 sin 2cos，代入得4sin 2cos 5sin 3cos 42cos 2cos 52cos
4、 3cos 解析答案 例1 已知tan 2，求：(1)4sin 2cos 5sin 3cos 的值；解 方法一 tan 2，cos 0，4sin 2cos 5sin 3cos 4sin cos 2cos cos 5sin cos 3cos cos 4tan 25tan 3422523 613.6cos 13cos 613.解析答案 点评(2)3sin23sin cos 2cos2的值.3sin23sin cos 2cos2sin2cos2解 3sin23sin cos 2cos2 3tan23tan 2tan21322322221165.解析答案 解 由已知得sin 2cos.变式训练 1 已
5、知 sin(3)2sin32 ，求下列各式的值：(1)sin 4cos 5sin 2cos；原式2cos 4cos 52cos 2cos 16.解析答案(2)sin2sin 2.解 原式sin22sin cos sin2cos2sin2sin2sin214sin285.题型二 利用诱导公式化简与求值 1.六组诱导公式分两大类，一类是同名变换，即“函数名不变，符号看象限”；一类是异名变换，即“函数名称变，符号看象限”.2.诱导公式化简的基本原则：负化正，大化小，化到锐角为最好！例 2(1)设 f()2sincoscos1sin2cos32 sin22sin 12，则 f236_.解析答案 解析
6、f()2sin cos cos 1sin2sin cos22sin cos cos 2sin2sin cos 12sin sin 12sin 1tan，f236 1tan236 1tan46 1tan6 3.3点评 sin sin 0.(2)化简：sin2 cos2cossincos2sin_.解析答案 解析 原式cos sin cos sin sin sin 0变式训练 2(1)(2016课标全国乙)已知 是第四象限角，且 sin4 35，则 tan4 _.43解析 答案 解析答案(2)已知 cos6 a(|a|1)，则 cos56 sin23 _.解析cos56 cos6cos6 a.si
7、n23 sin26 cos6 a，cos56 sin23 0.0题型三 利用其他公式、代换等化简求值 两角和与差的三角函数的规律有三个方面：(1)变角，目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等.(3)变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”“逆用变用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等.例3 化简：解析答案(1)sin 50(1 3tan 10)；解 sin 50(1 3tan 10)sin 50(1tan 60tan
8、 10)sin 50cos 60cos 10sin 60sin 10cos 60cos 10sin 50cos6010cos 60cos 102sin 50cos 50cos 10sin 100cos 10 cos 10cos 101.点评 解析答案(2)2cos4x2cos2x122tan4x sin2x4.解 原式2cos2xcos2x1122tan4x cos24x4cos2xsin2x14cos4x sin4x1sin22x2sin22x cos22x2cos 2x12cos 2x.解析 因为三个内角A，B，C成等差数列，且ABC，变式训练 3(1)在ABC 中，已知三个内角 A，B，
9、C 成等差数列，则 tan A2tan C2 3tan A2tan C2的值为_.解析答案 所以 AC23，AC23，tanAC2 3，所以 tan A2tan C2 3tan A2tan C2tanA2C2 1tan A2tan C2 3tan A2tan C2 31tan A2tan C2 3tan A2tan C2 3.3(2)2cos 10sin 20sin 70的值是_.解析答案 解析 原式2cos3020sin 20sin 702cos 30cos 20sin 30sin 20sin 20sin 70 3cos 20cos 20 3.3返回(3)若 2，且 3cos 2sin4，则
10、 sin 2 的值为_.解析答案 解析 cos 2sin22 sin242sin4 cos4代入原式，得 6sin4 cos4 sin4，2，sin(4)0，cos4 16，sin 2cos22 2cos24 11718.1718 高考题型精练 12345678910 11 12解析答案 1.(2015陕西改编)“sin cos”是“cos 20”的_条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析 sin cos cos 2cos2sin20；cos 20cos sin sin cos.充分不必要12345678910 11 12解析答案 22.若 cos 55，0
11、，则 tan _.解析 因为 cos 55 且 0，所以 sin 2 55，所以 tan sin cos 2.12345678910 11 12解析答案 3.若 tan4 12，且20，则2sin2sin 2cos4等于_.解析 由 tan4 tan 11tan 12，得 tan 13.又20，所以 sin 1010.故2sin2sin 2cos42sin sin cos 22 sin cos 2 2sin 2 55.2 5512345678910 11 12解析答案 sin 2cos，即sin 2cos，4.已知 cos2 2sin2，则sincos5cos52 3sin72 _.解析 co
12、s2 2sin2，原式sin cos 5sin 3cos 2cos cos 10cos 3cos 17.1712345678910 11 12解析答案 5.已知 sin3 sin 4 35，则 sin76 的值是_.解析 sin3 sin 4 35 sin 3cos cos3sin sin 4 35 32sin 32 cos 4 35 32 sin 12cos 45，故 sin76 sin cos76 cos sin7632 sin 12cos 45.4512345678910 11 12解析答案 6.若(4tan 1)(14tan)17，则tan()等于_.tan()tan tan 1tan
13、 tan 4.解析 由已知得4tan 16tan tan 14tan 17，tan tan 4(1tan tan)，4 12345678910 11 12解析答案 解析 tan 2，7.(2015江苏)已知 tan 2，tan()17，则 tan 的值为_.tan()tan tan 1tan tan 2tan 12tan 17，解得tan 3.312345678910 11 12解析答案 8.设当x时，函数f(x)sin x2cos x取得最大值，则cos _.555 sin x2 55 cos x 5sin(x)，解析 f(x)sin x2cos x 其中 sin 2 55，cos 55，当
14、 x2k2(kZ)时，函数 f(x)取到最大值，即 2k2 时，函数 f(x)取到最大值，所以 cos sin 2 55.2 5512345678910 11 12解析答案(2sin 3cos)(sin cos)0,2sin 3cos,又sin2cos21，9.已知 0，2，且 2sin2sin cos 3cos20，则sin4sin 2cos 21_.解析 0，2，且 2sin2sin cos 3cos20，cos 213，sin 313，sin4sin 2cos 2122 sin cos sin cos 2cos2sin2 268.26812345678910 11 1210.(2015
15、四川)已知sin 2cos 0，则2sin cos cos2的值是_.又2sin cos cos22sin cos cos2sin2cos2解析答案 解析 sin 2cos 0，sin 2cos，tan 2.2tan 1tan21，原式221221 1.1 12345678910 11 12解析答案 11.(2015广东)已知 tan 2.(1)求 tan4 的值；解 tan4 tan tan 41tan tan 4tan 11tan 21123.2tan tan2tan 22222221.2sin cos sin2sin cos 2cos212345678910 11 12解析答案(2)求sin 2sin2sin cos cos 21的值.解 sin 2sin2sin cos cos 212sin cos sin2sin cos 2cos21112345678910 11 12解析答案 12.已知函数f(x)cos2xsin xcos x，xR.(1)求 f6 的值；解 f6 cos26sin 6cos 632212 32 3 34.解析答案 返回 12345678910 11 12(2)若 sin 35，且 2，求 f2 24.