1、第七章 图形的变化中考数学教材基础练 第22节 尺规作图 知识点77 五种基本作图 教材变式 1.北师七下P112第13题,2022岳阳经开区期末已知AOB,用尺规作AOB等于AOB的作图痕迹如图所示,则判断AOB=AOB所用到的三角形全等的判断方法是()A.SSSB.SASC.ASAD.AAS答案1.A教材变式 2.八上人教P48内文,2022北京顺义区一模如图,在RtABC中,C=90,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB,AC于点D,E,再分别以点D,E为圆心,大于12DE的长为半径画弧,两弧交于点F,作射线AF交边BC于点G.若CG=3,AB=10,则ABG的面积是()A.15
2、B.10C.3D.30答案2.A 图示速解 由题意得AG是ABC的角平分线,如图,过点G作GHAB于点H.C=90,GH=CG=3,ABG的面积=12ABGH=12103=15.【点拨】角平分线的性质教材变式 3.北师七上P113第2题如图,已知线段a,b.用圆规在射线OA上画一条线段OB,使OB=2a-b.(只保留作图痕迹)答案3.【参考答案】如图,线段OB即为所求.教材变式 4.人教八上P78例3,2022长沙雨花区期末下面是小华“作三角形一边上的高”的尺规作图过程.已知:ABC.求作:ABC的边BC上的高AD.作法:以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交BC于点M,N;分别以点M,N为圆
3、心,以大于12MN的长为半径画弧,两弧相交于点P;作直线AP交BC于点D,则线段AD即为所求.根据小华设计的尺规作图过程,解答下列问题.(1)使用直尺和圆规,补全图形.(保留作图痕迹)(2)AP是线段MN的 .答案4.【参考答案】(1)补全图形如下.(2)垂直平分线一题多练 5.2022合肥庐阳区期末改编已知线段b,和AOB如图所示,请完成下列问题.(作图要求:仅用直尺和圆规作图,不写作法,保留作图痕迹)【基础设问】(1)画图:在图(2)中以OB为一边,作BOC=.(2)在(1)的条件下,若AOB=60,=32,则AOC=.(3)作图:若AOB=60,D,E分别是射线OA,OB上一点,在图(4
4、)中作出边长为b的等边三角形ODE.【补充设问】(4)两个城镇A,B与两条公路l1,l2的位置如图所示,电信部门需在C处修建一座信号发射塔,要求发射塔到A,B两个城镇的距离必须相等,到l1,l2两条公路的距离也必须相等,那么点C应选在何处?请在图中用尺规作图找出点C.一题多练 答案5.【参考答案】(1)如图,BOC和BOC即为所求.(2)28或92解法提示:因为AOB=60,BOC=BOC=32,所以AOC=AOB-BOC=28,AOC=AOB+BOC=92.综上,AOC的度数为28或92.(3)如图,等边三角形ODE即为所求.(4)点C的位置如图所示.知识点78 网格作图 教材变式 1.人教
5、九上P68例2如图,在平面直角坐标系中,已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(-4,3),B(-3,1),C(-1,3).(1)请按下列要求画图.将ABC先向右平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到A1B1C1,画出A1B1C1.A2B2C2与ABC关于原点O成中心对称,画出A2B2C2.(2)若(1)中所得的A1B1C1和A2B2C2关于点M成中心对称,则对称中心点M的坐标为 .答案1.【参考答案】(1)A1B1C1如图所示.A2B2C2如图所示.(2)(2,1)解法提示:如图所示.教材变式 2.人教九上P60例题,2022扬州江都区期末如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,给出了格
6、点三角形ABC.(1)在给定的网格中,以点A为位似中心,将ABC按21放大,得到AB1C1,画出AB1C1.(2)以点C1为旋转中心,将AB1C1顺时针旋转90,得到A1B2C1.画出A1B2C1.求点A运动的路径长.答案2.【参考答案】(1)如图,AB1C1即为所求.(2)如图,A1B2C1即为所求.由勾股定理得,AC1=42+22=2 5,点A运动的路径长为902 5180=5.【注意】点的运动路径长是以点1为圆心的 1 的长一题多练 3.2022济南市中区期末改编如图,在平面直角坐标系中,ABC的顶点A,B,C的坐标分别为(-1,1),(0,3),(-2,2).【基础设问】(1)(轴对称
7、)画出ABC关于y轴对称的A1B1C1.(2)(位似)若以点O为位似中心,将ABC通过位似变换得到A2B2C2,使A2B2=2AB,画出A2B2C2,则点C2的坐标为 .(3)点C1和点C2之间的距离为 .(4)(最值问题)在y轴上找一点P,使点P到点A,C的距离之和最短.(不写作法,保留作图痕迹)(5)(与三角函数结合)cosBCA=.【创新设问】(6)(无刻度直尺作图)连接AC1,仅用无刻度的直尺在x轴上找一格点F,使得直线C2F将C1C2A的面积二等分.一题多练 答案3.【参考答案】(1)如图,A1B1C1即为所求.(2)如图,A2B2C2即为所求.(-4,4)(3)2 10解法提示:连
8、接C1C2,则C1C2=22+62=2 10.(4)如图,点P即为所求.(5)1010解法提示:由图可知,AB=BC=12+22=5,AC=2,ABC为等腰三角形.过点B作BMAC于点M,则CM=22,在RtBCM中,cosBCA=225=1010.(6)如图,点F即为所作.【关键】找到以1为对角线的矩形,利用矩形的对角线互相平分的性质构造中点,连接2与1的中点交轴于点第23节 视图与投影 知识点79 三视图与投影(含正方体的表面展开图)教材变式 1.人教九下P89探究,2022郑州期中 在平行投影下,矩形的投影不可能是()答案1.A 教材变式 2.北师九上P143第4题已知一个几何体如图所示
9、,则它的左视图是()答案2.B教材变式 3.人教九下P99例5,2022泰安期末一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图都是腰长为4,底边长为2的等腰三角形,则这个几何体侧面展开图的面积和圆心角分别是()A.4 60B.4 90C.2 90D.8 60答案3.B 由三视图知,该几何体是底面直径为2,母线长为4的圆锥,它的侧面展开图是一个扇形,其面积为rl=14=4.设这个扇形的圆心角为n,则42360=4,解得n=90.故侧面展开图的圆心角为90.【点拨】圆锥侧面展开图的面积=展开后扇形的面积教材变式 4.人教七上P123第13题,2022重庆南川区期末如图是一个正方体的平面展开图,则该
10、正方体可能是()答案4.D(排除法)由正方体的展开图可知,两个圆所在面是相对的面,故选项A,B不合题意;空心圆所在面的一边与含阴影的直角三角形的直角边重合,故选项C不合题意.教材变式 5.北师九上P126例1,2022济南长清区期中改编如图,在路灯下,小明的身高如图中线段AB所示,他在地面上的影子如图中线段AC所示,小亮的身高如图中线段FG所示,路灯灯泡在线段DE上.(1)在小亮由F处沿射线FD所在方向行走的过程中,他的影子长在地面上的变化情况为 .(2)请你确定灯泡所在的位置,并画出小亮在灯光下形成的影子.(3)如果小明的身高AB=1.6 m,他的影子长AC=1.4 m,且他到路灯的距离AD
11、=2.1 m,求灯泡的高.教材变式 答案5.【参考答案】(1)先变短后变长(2)如图,点O为灯泡所在的位置,线段FH为小亮在灯光下形成的影子.(3)由题意可得,=,即1.6=1.41.4+2.1,解得OD=4.答:灯泡的高为4 m.一题多练 6.原创用相同的小立方体搭一个几何体,从正面、上面看到的形状如图所示,从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方体的个数,请回答下列问题.【基础设问】(1)a=,b=,c=.(2)这个几何体最多由 个小立方体搭成,最少由 个小立方体搭成.(3)当d=e=1,f=2时,画出这个几何体的左视图.(4)若小立方体的棱长为1 cm,当该几何体的体积最
12、大时,求该几何体的表面积.一题多练【创新设问】(5)若从上述几何体中取走标有字母c的小立方体,则该几何体的 视图会发生改变.(填“主”“左”或“俯”)(6)若图(1)是标有字母c的小立方体的部分表面展开图,请你在图(2)、图(3)中各添加1个小正方形,使这6个小正方形能折叠成一个完整的小立方体.(7)如图(1),若这个正方体相对面上的两个数相等,求x,y的值.一题多练 答案6.【参考答案】(1)3 1 1(2)11 9解法提示:如图.(3)左视图如图所示.(4)当d=e=f=2时,该几何体的体积最大,此时该几何体的表面积为(6+6+6+6+8+8)11=40(cm2).(5)俯(6)如图所示.
13、(答案不唯一,任选两种即可)(7)根据题意,得3x+1=x+3,解得x=1.-x=y,y=-1.第24节 图形的对称、平移、旋转与位似 知识点80 轴对称与中心对称 教材变式 1.人教九上P67第2题,2022济南历下区期中以下历届冬奥会图标中,是中心对称图形的是()答案1.C 教材变式 2.人教八上P65第5题如图,ABC与DEF关于直线MN对称,则以下结论中错误的是()A.BC=DEB.B=EC.ADBED.AD被MN垂直平分答案2.A教材变式 3.北师八下P84第4题如图,是44的正方形网格,其中已有3个小方格涂了阴影,按下列要求作图(所画的三个图形不能全等).(1)如图(1),请从其余
14、方格中选出1个小方格涂阴影,使阴影部分是轴对称图形,但不是中心对称图形;(2)如图(2),请从其余方格中选出1个小方格涂阴影,使阴影部分是中心对称图形,但不是轴对称图形;(3)如图(3),请从其余方格中选出3个小方格涂阴影,使阴影部分既是轴对称图形,又是中心对称图形.教材变式 答案3.【参考答案】(1)如图(1)所示(答案不唯一,任选一种即可).(2)如图(2)所示(答案不唯一,任选一种即可).(3)如图(3)所示(答案不唯一,任选一种即可).一题多练 4.原创按下列要求作图.(保留作图痕迹)【基础设问】(1)“两定一动”型(同侧)唐朝诗人李颀的诗古从军行中隐含着一个有趣的数学问题,即“将军饮
15、马”问题,如图(1),将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边的P点饮马后再回到B点宿营,请在河边m上确定点P,使得总路程最短.(2)“两定一动”型(异侧)如图(2),在一条河的两岸分别有两个村庄A,B,现要在河上建一座桥,桥的方向与河流垂直,设河的宽度不变,桥架在何处,才能使村庄A到村庄B的路程最短?请在图(2)中画出桥CD的位置.(3)(“一定两动”型)如图(3),ABC内有一点P,分别在BA,BC边上各取一点P1,P2,使PP1P2的周长最小.一题多练【创新设问】(4)(“两定两动“型)如图(4),直线l的同侧有两点A,B,在直线l上求作两点C,D,使AC+CD+DB的和最小,且C
16、D的长为定值a,点D在点C的右侧.一题多练 答案4.【参考答案】(1)如图(1)所示,P点即为所作.(2)如图(2)所示,CD即为所作.作法提示:作BB垂直于l2,使BB等于河宽,连接AB,与l1相交于点C,此时AB最短.过点C作CDl2,则CDBB,CD=BB,于是四边形CDBB为平行四边形,故BD=CB,AC+BD=AB,即AC+BD最短.(3)如图(3)所示,P1,P2即为所作.作法提示:分别作点P关于射线BA,BC的对称点N,M,连接MN分别交BA,BC于点P1,P2,此时PP1P2的周长=MN,为最小.(4)如图(4)所示,C,D即为所作.作法提示:将点A向右平移到点A1,使AA1=
17、a;作点B关于直线l的对称点B1;连接A1B1交直线l于点D;在点D左侧作CD=a,连接AC,BD,此时AC+CD+DB的和最小.知识点81 图形的折叠 教材变式 1.人教八上P75探究,2022日照期中改编如图,如果把ABC沿AD折叠,使点C落在边AB上的点E处,那么折痕AD是ABC的()A.中线B.角平分线C.高D.既是中线,又是角平分线答案1.B 教材变式 2.北师七下P132第7题,2022连云港连云区期中将一张长与宽的比为21的长方形纸片按如图,图所示的方式对折,然后沿图中的虚线裁剪,得到图,最后将图中的纸片再展开铺平,则所得到的图案是()答案2.A教材变式 3.人教八上P79第2题
18、,2021临汾期末如图,等边三角形ABC的边长为5,点F,G分别是AC,BC上的点(不与端点重合).将CFG沿直线FG折叠,使点C落在点C处,且点C在三角形的外部,则阴影部分的周长为()A.10B.12.5C.15D.17.5答案3.C 由折叠可知,CF=CF,CG=CG.由题图可知,阴影部分的周长=AB+AF+CF+BG+CG=AB+AF+CF+BG+CG=AB+AC+BC=35=15.教材变式 4.北师八下P160第21题,2022南京一模如图,E是菱形ABCD的边BC上的点,连接AE.将菱形ABCD沿AE翻折,点B恰好落在CD的中点F处,则tan B的值是()A.4B.5C.13D.15
19、答案4.D图示速解(转化思想)如图,过点A作AGCD于点G,四边形ABCD为菱形,B=D,AB=AD=CD.由折叠可知,AB=AF,AD=AF.AGDF,点G为DF的中点.点F为CD的中点,AD=CD=4DG.设DG=a,则AD=4a,在RtADG中,(4a)2=AG2+a2,AG=15a,tan B=tan D=15.【关键】等腰三角形的“三线合一”一题多练 5.如图(1)是长方形纸带ABCD,将长方形纸带ABCD沿EF折叠如图(2)所示,使点C,D分别落在点C1,D1处,再沿GF折叠如图(3)所示,使点C1,D1分别落在点C2,D2处.【基础设问】(1)如图(2),重合部分EFG是 三角形
20、.(2)如图(2),若EFB=55,则AED1的度数为 .(3)如图(2),若DEF=20,则C1FC的度数为 .(4)如图(3),C2FC,EGD2与DEF之间的数量关系为 .【补充设问】(5)如图,已知长方形纸带ABCD,点E,F在AD边上,点G,H在BC边上,将长方形纸带ABCD分别沿EG,FH折叠,使点D和点A都落在点M处.若+=118,则EMF的度数为 .一题多练 答案5.【参考答案】(1)等腰解法提示:由折叠可知DEF=GEF.四边形ABCD为长方形,ADBC,DEF=EFG,EFG=GEF,GE=GF,EFG是等腰三角形.(2)70解法提示:ADBC,EGB+AED1=180.又
21、GEF=EFB=55,EGB=GEF+EFB=110,AED1=180-110=70.(3)40解法提示:由折叠可知D1EF=DEF=20,DEG=40.ADBC,CGD1=DEG=40.又FC1ED1,C1FC=CGD1=40.【注意】外角的性质【点拨】等角对等边一题多练 答案(4)C2FC+2DEF+EGD2=180解法提示:由折叠可知,DEF=FEG,DEG=2DEF.ADBC,D2GC2F,DEG+EGF=180,C2FC=D2GC,EGF=D2GC+EGD2,2DEF+D2GC+EGD2=180,2DEF+C2FC+EGD2=180.(5)56解法提示:ADBC,DEG=,AFH=,
22、DEG+AFH=+=118.由折叠可知DEM=2DEG,AFM=2AFH,DEM+AFM=2(DEG+AFH)=236,FEM+EFM=360-236=124,EMF=180-(FEM+EFM)=56.一题多解(3)ADBC,DEF=20,DEF+EFC=180,EFC=160.由折叠知,EFC1=EFC=160,C1FC=360-EFC1-EFC=40.【点拨】运用整体思想知识点82 图形的平移 教材变式 1.人教七下P29概念下列现象中,属于平移的是()A.月亮绕地球运动B.翻开书中的每一页纸张C.教室里黑板的左右移动D.投掷出去的铅球答案1.C 教材变式 2.北师八下P67随堂练习,20
23、22石家庄期中如图,若图形A经过平移与下方图形(阴影部分)可以拼成一个长方形,则正确的平移方式是()A.先向右平移5格,再向下平移3格B.先向右平移4格,再向下平移5格C.先向右平移3格,再向下平移5格D.先向右平移4格,再向下平移4格答案2.D 教材变式 3.人教七下P31第6题,2022武汉青山区期中改编如图,在长为x m,宽为y m的长方形草地ABCD中,有两条小路l1和l2.l1为W字形,l2为平行四边形,每条小路的右边线都是由左边线向右平移1 m得到的,则两条小路l1,l2占地面积的情况是()A.l1占地面积大B.l2占地面积大C.占地面积一样大D.无法确定答案3.C教材变式 4.北
24、师八下P66例1,2022烟台期末如图,在RtABC中,ACB=90,AC=4 cm,BC=3 cm,将ABC沿AB方向向右平移得到DEF.若AE=8 cm,DB=2 cm,则四边形AEFC的周长为 cm.答案4.18 ABC沿AB方向向右平移得到DEF,DF=AC=4 cm,EF=BC=3 cm,CF=AD=BE.AD+DB+BE=AE,AD+2+AD=8(cm),AD=3 cm,四边形AEFC的周长=AC+AE+EF+CF=4+8+3+3=18(cm).一题多练 5.原创如图(1),在RtABC中,AB=6 cm,ACB=30,ABC=90.将RtABC在直线l上向右平移得到RtDEF,连
25、接AD.【基础设问】(1)如图(2),求证:四边形ABED是矩形.(2)如图(2),若四边形DHCF的面积是10 cm2,则四边形ABEH的面积为 cm2.(3)将RtABC向右平移 cm,才能使四边形ABED是正方形;将RtABC向右平移 cm,才能使四边形ACFD为菱形.(4)如图(3),若点E与点C重合,则RtABC扫过的面积为 cm2;四边形ABFD的周长为 cm.【创新设问】(5)若RtABC向右移动的速度是1 cm/s,设移动时间为t s,四边形ABFD的面积为S cm2.求S随t变化的函数关系式.一题多练 答案5.【参考答案】(1)证明:由平移可知,AB DE,四边形ABED为平
26、行四边形.又ABC=90,四边形ABED为矩形.(2)10解法提示:由平移可知,AD=CF.SACFD=SADH+S四边形DHCF=CFAB,S矩形ABED=SADH+S四边形ABEH=ADAB,SACFD=S矩形ABED,S四边形ABEH=S四边形DHCF=10 cm2.(3)6 12(4)54 3解法提示:由平移易得,RtABC扫过的面积=矩形ABED的面积+RtDEF的面积=66tan 30+1266tan 30=66 3+1266 3=54 3(cm2).一题多练 答案(18+18 3)解法提示:由易知,AD=BC=EF=6tan 30=6 3,DF=26=12,四边形ABFD的周长=
27、AD+BC+EF+AB+DF=36 3+6+12=(18+18 3)(cm).(5)由题意易知AD=BE=t,BF=BE+EF=t+6 3,四边形ABFD始终为直角梯形,S四边形ABFD=12(AD+BF)AB=12(t+6 3+t)6=6t+18 3,S随t变化的函数关系式是S=6t+18 3.【点拨】梯形的面积=12(上底+下底)高知识点83 图形的旋转 教材变式 1.北师八下P76想一想,2022湖州期中如图是神舟十三号载人飞行任务标识,该标识经过旋转能得到的是()答案1.B教材变式 2.人教九上P63第9题,2022枣庄期中如图,将AOB绕点O逆时针旋转60得到AOB,连接AA.若OA
28、=1,则线段AA的长为()A.1B.2C.32D.322答案2.A 由旋转可知OA=OA,AOA=60,则AOA为等边三角形,AA=OA=1.教材变式 3.北师八下P77习题第1题,2022德州期末如图,在44的正方形网格中,MNP绕某点旋转一定的角度,得到M1N1P1,则其旋转中心是()A.D点B.C点C.B点D.A点答案3.C图示速解 如图,连接PP1,可得NN1和PP1的垂直平分线相交于B点,故旋转中心是B点.教材变式 4.人教九上P63第6题,2022平凉崆峒区期末如图是在2022年北京冬奥会会徽征集过程中,征集到的一幅图片.旋转图片中的“雪花图案”,该图案至少旋转 能与原图案重合.答
29、案4.60一题多练 5.2022重庆江津区联考改编如图,ABC绕某一点逆时针旋转(0B.(2)如图(2),在ABC中,如果ACBB,能否证明ABAC?小雅提供了一种方法:将ABC折叠,使点B恰好落在点C处,折线交AB于点F,交BC于点G,再运用三角形的三边关系即可证明,请你按照小雅的方法完成证明.如图(1),在ABC中,如果ABAC,那么我们可以将ABC折叠,使边AC落在AB上,点C落在AB上的D点,折线交BC于点E,则C=ADE.ADEB(想一想为什么),CB.答案5.【参考答案】(1)证明:ADE=B+BED,ADEB.(2)证明:由折叠知BF=CF,在ACF中,AF+FCAC,AF+BFAC,即ABAC.【点拨】三角形外角的性质【关键】三角形的三边关系