1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。9.1.2余 弦 定 理必备知识自主学习余弦定理在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,则有余弦定理语言叙述三角形任何一边的平方,等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍公式表达c2=a2+b2-2abcos C,a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B变形cos A=,cos B=,cos C=(1)在a2=b2+c2-2bccos A中,若A=90,公式会变成什么?提示:a2=b2+c2,即勾股定理.(2)利用余弦定
2、理可以解决哪些问题?提示:已知两边及其夹角解三角形;已知三边解三角形.1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任何三角形()(2)在ABC中,若a2b2+c2,则ABC一定为钝角三角形()(3)在ABC中,已知两边和其夹角时,ABC不唯一()提示:(1).余弦定理反映了任意三角形的边角关系,它适用于任何三角形.(2).当a2b2+c2时,cos A=0.因为0A,故A一定为钝角,ABC为钝角三角形.(3).当ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一,因此ABC唯一确定.2.在ABC中,已知a=4,b=6,C=120,则边
3、c的值是()A.8B.2C.6D.2【解析】选D.因为c2=a2+b2-2abcos C=16+36-246=76,所以c=2.3.在ABC中,若a2-c2+b2=ab,则cos C=.【解析】因为a2-c2+b2=ab,所以c2=a2+b2-ab.又因为c2=a2+b2-2abcos C,所以2cos C=1.所以cos C=.答案:4.(教材二次开发:例题改编)在ABC中,cos A=-,a=c,则=.【解析】由余弦定理可得cos A=-,整理得b2+bc-2c2=0即+-2=0,解得=1(负值舍去).答案:1关键能力合作学习类型一利用余弦定理解三角形(数学运算)【典例】(1)在ABC中,
4、a=1,b=2,cos C=,则c=;sin A=.(2)在ABC中,已知a=2,b=6+2,c=4,求A,B,C.【思路导引】(1)利用余弦定理公式求c;(2)已知三条边利用余弦定理求解.【解析】(1)根据余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=12+22-212=4,解得c=2.由a=1,b=2,c=2得cos A=,所以sin A=.答案:2(2)根据余弦定理得cos A=.因为A(0,),所以A=,cos C=,因为C(0,),所以C=.所以B=-A-C=-=,所以A=,B=,C=.1.已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边,其余角的求解有两种思路:一是利
5、用余弦定理的推论求出其余角;二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解.2.已知三角形三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论(或由求得的第一个角利用正弦定理)求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.1.(2020全国卷)在ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则tan B=()A.B.2C.4D.8【解析】选C.设AB=c,BC=a,CA=b,c2=a2+b2-2abcos C=9+16-234=9,所以c=3,cos B=,所以sin B=,所以tan B=4.2.(2020南昌高一检测)在ABC中,sin A=s
6、in B,c=b,则sin B=.【解析】因为sin A=sin B,所以a=b,c=b,所以cos B=,所以sin B=.答案:类型二利用余弦定理判断三角形的形状(逻辑推理)【典例】在ABC中,若2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,且sin B+sin C=1,试判断ABC的形状.【思路导引】利用正弦定理,化边为角,求出角C的值,然后判断.【解析】由已知,结合正弦定理,得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,又由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,所以bc=-2bccos A,即cos A=-,由于A为三角形的内角,所以A
7、=.对于已知2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,结合正弦定理,有2sin2A=(2sin B+sin C)sin B+(2sin C+sin B)sin C,即sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C=sin2=,又由sin B+sin C=1,得sin2B+sin2C+2sin Bsin C=1,所以sin Bsin C=.从而有sin B=sin C=.因为0B,0C,0B+Cc2且b2+c2a2且c2+a2b2.(3)ABC为钝角三角形a2+b2c2或b2+c2a2或c2+a2b2.在ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccos B
8、cos C,试判断ABC的形状.【解析】【法一化角为边】将已知等式变形为b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccos Bcos C.由余弦定理并整理,得b2+c2-b2-c2=2bc,所以b2+c2=a2.所以A=90.所以ABC是直角三角形.【法二化边为角】由正弦定理,已知条件可化为sin2Csin2B+sin2Csin2B=2sin Bsin Ccos Bcos C.又sin Bsin C0,所以sin Bsin C=cos Bcos C,即cos(B+C)=0.又因为0B+C180,所以B+C=90,所以A=90.所以ABC是直角三角形.【补偿训练】在ABC中,acos
9、A+bcos B=ccos C,试判断ABC的形状.【解析】由余弦定理知cos A=,cos B=,cos C=,代入已知条件得a+b+c=0,通分得a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)+c2(c2-a2-b2)=0,展开整理得(a2-b2)2=c4.所以a2-b2=c2,即a2=b2+c2或b2=a2+c2.根据勾股定理知ABC是直角三角形.类型三正弦定理、余弦定理的综合应用(逻辑推理、数学运算)角度1综合利用正弦定理、余弦定理解三角形【典例】(2020潍坊高一检测)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a+2c)cos B+bcos A=0.(1)求B的大小;(
10、2)若b=3,ABC的周长为3+2,求ABC的面积.【思路导引】(1)先利用正弦定理把条件式中的边转化为角,进行三角恒等变换求角,(2)利用余弦定理并结合已知周长求出ac的值.【解析】(1)由已知及正弦定理得(sin A+2sin C)cos B+sin Bcos A=0,(sin Acos B+sin Bcos A)+2sin Ccos B=0,sin(A+B)+2sin Ccos B=0,又sin(A+B)=sin C,且C(0,),sin C0,所以cos B=-,因为0Bba,所以在ABC中A为最小角,故由余弦定理可得cos A=.3.(2020新乡高一检测)在ABC中,内角A,B,C
11、所对的边分别为a,b,c,且acos B+bsin A=c.若a=2,ABC的面积为3(-1),则b+c=()A.5B.2C.4D.16【解析】选C.因为在ABC中acos B+bsin A=c,由正弦定理得sin Acos B+sin Bsin A=sin C,又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以sin Bsin A=cos Asin B,又sin B0,所以sin A=cos A,所以tan A=1,又A(0,),所以A=.因为SABC=bcsin A=bc=3(-1),所以bc=6(2-),因为a=2,所以由余弦定理可得a2=(b+c)2-2b
12、c-2bccos A,所以(b+c)2=4+(2+)bc=4+(2+)6(2-)=16,可得b+c=4.4.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b2+c2-a2=bc,0,a=,则b+c的取值范围是(用区间表示).【解析】由b2+c2-a2=bc得,cos A=,因为0A0知,B为钝角,又因为=1,则b=sin B,c=sin C,b+c=sin B+sin C=sin B+sin=sin B+cos B=sin,因为B,所以B+,所以sin,b+c.答案:备选类型求解三角形面积问题(数学运算)【典例】(1)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2
13、+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则ABC面积的最大值为.(2)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ab,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B.求角C的大小;若sin A=,求ABC的面积.【思路导引】(1)解题的关键有两个:一是将已知式利用正弦定理转化为边的等式,从而可获得边的关系,再利用余弦定理可获得A的大小;二是结合三角形的面积公式借助均值不等式求得bc的最值,从而得到面积的最值.(2)解题的关键是注意角大小的比较,从而得到cos A的值,然后再利用面积公式求解.【解析】(1)因为a=2,(2+b)(sin A
14、-sin B)=(c-b)sin C,所以(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C.由正弦定理得(a+b)(a-b)=(c-b)c,所以a2-b2=c2-bc.由余弦定理得cos A=,所以A=60且b2+c2-4=bc,所以b2+c2-4=bc2bc-4,当且仅当b=c时等号成立.所以bc4,所以SABC=bcsin A,所以ABC面积的最大值为.答案:(2)由题意得-=sin 2A-sin 2B,即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B,sin=sin.由ab,得AB,又A+B(0,),得2A-+2B-=,即A+B=,所以C=.由c=,sin A=,=,得
15、a=.由ac,得AC,从而cos A=,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,所以ABC的面积为S=acsin B=.利用正、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法(1)利用正弦、余弦定理解三角形,求出三角形的各个边角后,直接求三角形的面积.(2)把面积作为已知条件之一,与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他各量.(3)求三角形面积的最值或范围,这时一般要先得到面积的表达式,再通过均值不等式、三角函数的最值等方法求得面积的最值或范围.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B.(1)求B;(2)若b=2,求ABC面积的
16、最大值.【解析】(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B.又A=-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.由和C(0,)得sin B=cos B.又B(0,),所以B=.(2)ABC的面积S=acsin B=ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos.又a2+c22ac,故ac,当且仅当a=c时,等号成立.因此ABC面积的最大值为+1.课堂检测素养达标1.一个三角形的两边长分别为5和3,它们夹角的余弦值是-,则三角形的第三条边长为()A.52B.2C.16D.4【解析】选B.设第三条边长为x,则x2
17、=52+32-253=52,所以x=2.2.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为,则C=()A.B.C.D.【解析】选C.因为a2+b2-c2=2abcos C,且SABC=,所以SABC=absin C,所以tan C=1.又C(0,),故C=.3.已知a,b,c为ABC的三边,B=120,则a2+c2+ac-b2=.【解析】由余弦定理b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2accos 120=a2+c2+ac,所以a2+c2+ac-b2=0.答案:04.在ABC中,若b=1,c=,C=,则a=.【解析】由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,所以(
18、)2=a2+12-2a1cos,所以a2+a-2=0,即(a+2)(a-1)=0,所以a=1,或a=-2(舍去).所以a=1.答案:15.(教材二次开发:练习改编)在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sin C=2sin B,则A=.【解析】因为sin C=2sin B,根据正弦定理=,所以可得c=2b,根据余弦定理a2=b2+c2-2bccos A由已知可得a2-b2=bc,故可联立方程解得cos A=.由0A,所以A=.答案:课时素养评价二余 弦 定 理 (15分钟30分)1.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是()A.90B.120C.135D
19、.150【解析】选B.设中间角为,则为锐角,由余弦定理得cos =,=60,180-60=120,所以三角形最大角与最小角的和是120.2.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b=()A.B.C.2D.3【解析】选D.由余弦定理得5=b2+22-2b2,解得b=3.3.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=2,cos(A+B)=,则c等于()A.4B.C.3D.【解析】选D.由三角形内角和定理可知cos C=-cos(A+B)=-,又由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=9+4-232=17,所以c=.【加练固】若A
20、BC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60,则ab的值为()A.B.8-4C.1D.【解析】选A.由(a+b)2-c2=4,得a2+b2-c2+2ab=4,由余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C=2abcos 60=ab,则ab+2ab=4,所以ab=.4.(2020天津高一检测)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B=bcos A,a2+b2=c2+ab,则ABC是()A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【解析】选D.根据正弦定理:acos B=bcos A,即sin Acos B=sin Bcos
21、A,即sin=0,A=B;根据余弦定理及a2+b2=c2+ab,解得cos C=,C,故C=.故ABC是等边三角形.5.在ABC中,B=60,a=1,c=2,则=.【解析】由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=3,所以b=,由正弦定理得=2.答案:26.若ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin A+csin C-asin C=bsin B,则B=.【解析】由正弦定理得a2+c2-ac=b2,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,故cos B=.又因为B为三角形的内角,所以B=45.答案:45 (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2020
22、雅安高一检测)已知ABC中,=,则B=()A.B.C.D.【解析】选C.因为=,利用正弦定理角化边得=,所以(c-b)(c+b)=a(c-a),所以c2-b2=ac-a2,所以a2+c2-b2=ac,所以=,根据余弦定理可得cos B=,因为0B,所以B=.2.(2020成都高一检测)在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A=()A.B.C.D.【解析】选A.因为在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,所以BC=ABsin BAB=BC=BC,由余弦定理得AC=BC,故ABC的面积为BCBC=ABACsin A=BCBCsin A,所以sin A=.3.(2020徐州高一检测)钝角
23、三角形的三边长为a,a+1,a+2,其最大角不超过120,则a的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选D.钝角三角形的三边长为a,a+1,a+2,其最大角不超过120,可设a+2所对的角为C,且为最大,cos C=,由题意可得90C120,则-cos C0,解得a3.4.(2020海淀高一检测)在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c.若2cos2-cos 2C=1,4sin B=3sin A,a-b=1,则c的值为()A.B.C.D.6【解析】选A.由2cos2-cos 2C=1,可得2cos2-1-cos 2C=0,则有cos 2C+cos C=0,即2cos2C+cos C-1=0
24、,解得cos C=或cos C=-1(舍),由4sin B=3sin A,得4b=3a,又a-b=1,联立,得a=4,b=3,所以c2=a2+b2-2abcos C=16+9-12=13,则c=.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.(2020清江高一检测)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tan B=ac,则角B的值为()A.B.C.D.【解析】选BD.根据余弦定理可知a2+c2-b2=2accos B代入化简可得2accos B=ac即sin B=,因为0BB,则sin Asin BC.若a=8,c=10,B=60,则符合
25、条件的ABC有两个D.若sin2A+sin2BB,则ab,由正弦定理得=,即sin Asin B成立.故B正确;对于C,由余弦定理可得b=,只有一解,故C错误;对于D,若sin2A+sin2Bsin2C,由正弦定理得a2+b2c2,所以cos C=0,所以C为钝角,所以ABC是钝角三角形,故D正确;综上,正确的判断为选项B和D.三、填空题(每小题5分,共10分)7.在ABC中,a2-b2=bc,sin C=2sin B,则A=.【解析】由sin C=2sin B及正弦定理得c=2b,把它代入a2-b2=bc,得a2-b2=6b2,即a2=7b2.由余弦定理得cos A=,又因为0A180,所以
26、A=30.答案:308.在ABC中,A=60,最大边长与最小边长是方程x2-9x+8=0的两个实根,则边BC的长为.【解析】设内角B,C所对的边分别为b,c.因为A=60,所以可设最大边与最小边分别为b,c.由条件可知b+c=9,bc=8,所以BC 2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bccos A=92-28-28cos 60=57,所以BC=.答案:【补偿训练】(2020宁波高一检测)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos 2C=-,则sin C=;当a=2,2sin A=sin C时,则b=.【解析】cos 2C=1-2sin2C=-,所以si
27、n2C=,因为0C,所以sin C=;所以cos C=,由正弦定理可知c=2a=4,所以c2=a2+b2-2abcos C,当cos C=时,整理为b2-b-12=0 ,即=0 ,所以b=2(负值舍去),当cos C=-,整理为b2+b-12=0,即=0,所以b=(负值舍去),所以b=2或.答案:或2四、解答题(每小题10分,共20分)9.在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.(1)求角A的大小.(2)若sin B+sin C=,试判断ABC的形状.【解析】(1)因为2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b
28、)sin C,所以2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,所以cos A=.因为0A180,所以A=60.(2)因为A+B+C=180,所以B+C=180-60=120,由sin B+sin C=,得sin B+sin(120-B)=,所以sin B+sin 120cos B-cos 120sin B=,所以sin B+cos B=,即sin(B+30)=1.又因为0B120,所以30B+30150,所以B+30=90,即B=60,所以A=B=C=60,所以ABC为正三角形.10.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且-a=0 .(1)求角C;(2)若A
29、BC的中线CE的长为1,求ABC的面积的最大值.【解析】(1)由-a=0,得=a,即=sin C,由余弦定理得cos C=sin C,所以tan C=,因为C,所以C= .(2)由余弦定理b2=1+-21cosCEA,a2=1+-21cosCEB,+得,b2+a2=2+ 即2(b2+a2)=4+c2,因为c2=a2+b2-2abcos C,所以a2+b2=4-ab2ab,所以ab,当且仅当a=b时取等号,所以SABC=absin C=.1.若ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则的值为()A.19B.14C.-18D.-19【解析】选D.设三角形的三个内角A,B,C所对的边分别为
30、a,b,c,依题意得a=5,b=6,c=7.所以=|cos(-B)=-accos B.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,所以-accosB=(b2-a2-c2)=(62-52-72)=-19,所以=-19.2.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从点O沿OD走到点D用了2 min,从点D沿DC走到点C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min,求该扇形的半径.【解析】依题意得OD=100 m,CD=150 m,连接OC,易知ODC=180-AOB=60,因此由余弦定理得OC2=OD2+CD2-2ODCDcos ODC,即OC2=1002+1502-2100150,解得OC=50(m).则该扇形的半径为50 m.关闭Word文档返回原板块
