1、姜堰区20152016学年第一学期期初试卷高三数学考试时间：120分钟 总分：160分第卷一、填空题（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上。）1、设，则 2、计算 （为虚数单位）3、一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的共有80人，为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人。4、如图是一个算法的流程图，最后输出的 5、若以连续掷两次骰子得到的点数分别作为点P的横、纵坐标，则点P到直线的概率为 6、函数的极值为7、抛物线上任一点到定直线的距离与他到定点F的距离相
2、等，则定点F的坐标为8、等差数列的前n项和为，满足，则数列的公差9、函数可以表示成一个奇函数与一个偶数之和，则10、圆C过点，直线过原点，与圆C交于两点，则11、已知非零向量满足，记，下列说法正确的是 （只填序号） 若，则有唯一解；若，则有两解；若，则无解；12、定义在R上的奇函数满足，且在上，则13、把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，设是位于这个三角形数表中国从上往下数第行，从左往右第个数，如，若，则14、在平行四边形中，为平行四边形内一点，且，若，则的最大值为 三、解答题：本大题共6小题，满分90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15、（本小题满分14分） 如图，在四
3、棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，点是的中点，作交于点。（1）求证：平面； （2）求证：平面.16、（本小题满分14分） 设的内角的对边分别为，且为钝角。（1）证明：； （2）求的取值范围。17、（本小题满分14分） 已知数列为等差数列，首项，公差，数列为等比数列，公比为，为的前n项和，记（1）求的最小值； （2）求； （3）求出使取得最大值的n的值。18、（本小题满分14分） 已知美国苹果公司某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需投入16万元，设苹果公司一年内共生产该款手机万只并全部售完，每万只的销售收入为万美元，且。（1）写出年利润（万美元）关于年产量（万只）的回收解析式； （2
4、）当年产量为多少万只值，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润。19、（本小题满分16分） 在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左右顶点为A，且A到右准线的距离为6，点是椭圆C上的两个动点。（1）求椭圆的标准方程； （2）如图，当共线时，直线分别为y轴交于两点，求证：为定值； （3）设直线的斜率分别为，当时，证明直线经过定点R。20、（本小题满分16分） 已知函数。（1）若方程有且只有一个实收解，求的值； （2）若函数的极值点恰好是函数的零点，求的最小值。姜堰区20152016学年第一学期期初试卷数学试题（附加题）（考试时间：30分钟 满分：40分）21、（【选做题】请考生
5、在四个小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前面两题记分）A.（本小题满分10分）几何证明选讲 如图，四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且。（1）证明： （2）延长到F，延长DC到G，使得，证明：四点共圆。B、（本小题满分10分）矩阵与变换 已知矩阵（1）求A的逆矩阵； （2）求矩阵A的特征值和对应的一个特征向量。C、（本小题满分10分）坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系内，直线的参数方程为参数），以为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 （1）求直线的普通方程和圆C的直角坐标方程； （2）确定直线和圆C的位置关系。D、（本小题满分10分）不等式选讲 设，求证：。【必做题】
6、第22题，第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22、（本小题满分10分） 如图，四棱锥的底面为矩形，是四棱锥的高，与所成角为，F是PB的中点，E是BC上的动点。 （1）证明：； （2）若，求直线与平面PDE所成的角的大小。23、（本小题满分10分） 已知抛物线的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且. （1）求C的方程； （2）过F的直线与C相交A、B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M、N两点，且四线在同一圆上，求的方程。20152016第二学期期初高三数学参考答案及评分标准120310425567（1,0）88910811 121311
7、0141.【解析】试题分析：因为，所以，即，又因为，所以，所以，所以，所以的最大值为1，当且仅当，取等号.15. 解：连接BE，BD，AC，设AC交BD于G，则G为AC的中点 在中，E为PC的中点，则PAEG，面BED，面BED (条件少写一个扣2分)所以平面 . 7分 （2）PD面ABCD PDBC BCCD （此条件不写扣2分）PD,CD面PCD BC面PCD 面PCD BCDEPD=CD，E为PC中点， DE PC DE面PBC DEPB，又因为PBEF平面 .1 4分 16解析：（1）由及正弦定理，得，即，. 4分又为钝角，因此，(不写范围的扣1分)故，即；. 6分（2）由（1）知，.
8、 8分于是，.10分，因此，由此可知的取值范围是.14分 17（1）所有最小值为3。.4分（2）由题意知：.6分，当时，.8分当时，.10分（3）令解得：，所以n取5或6时，最大。(少写一个结果扣2分). 14分18【解析】(1)当040，WxR(x)(16x40)16x7360.4分所以，W.6分(2)当040时，W16x7360，由于16x21600，当且仅当16x，即x50(40，)时，W取最大值为5760.14分综合知，当x32时，W取最大值为6104.16分19(1) .4分(2) 设则，又，所以直线的方程为，得，所以，.6分同理可得，所以，.8分又点在椭圆上，所有，故，所以=1（定
9、值）；.10分（3）设，将直线的方程与椭圆方程联立方程组得：. .，.12分当时，点P和点Q的横坐标相同，直线PQ的方程为，由此可见，如果直线PQ经过定点R，则点R的横坐标一定为。.14分当时，直线PQ的方程为，令得：=0所以直线PQ过定点R。.16分20（1）由题意知：函数与相切，设切点.2分又有.4分所以.6分（2）由题意知：的两个根为.8分又因为是函数的零点，两式相减得：.10分，.12分令由得又，得，设函数.14分所以在上单调递减，所有。.16分21A【解析】 (1)因为ECED，所以EDCECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以EDCEBA.故ECDEBA.所以CDAB.(2)
10、由(1)知，AEBE.因为EFEG，故EFDEGC，从而FEDGEC.连结AF，BG，则EFAEGB，故FAEGBE.又CDAB，EDCECD，所以FABGBA.所以AFGGBA180.故A，B，G，F四点共圆21B试题解析：（1） , 2分. 5分（2）矩阵的特征多项式为 ， 令，得, 8分当时，得,当时，得. 10分21C解：（）由，消去参数，得直线的普通方程为，由，即，消去参数，得直角坐标方程为.5分（）由（）得圆心，半径，到的距离，所以，直线与圆相交. 10分21D略22（） 建立如图所示空间直角坐标系设，则， 于是，则，所以5分（）若，则，设平面的法向量为，由，得：，令，则， 于是，而设与平面所成角为，所以，所以与平面所成角为 .10分 23试题解析：（1）设，代入，得由题设得，解得（舍去）或，C的方程为；.3分（2）由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为，代入得设则故的中点为又的斜率为的方程为将上式代入，并整理得设则故的中点为由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，从而即，化简得，解得或所求直线的方程为或.10分