1、1.6三角函数模型的简单应用学习目标1.会用三角函数解决一些简单的实际问题(重点、难点).2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型(重点)知识点三角函数的应用1根据实际问题的图象求出函数解析式2三角函数是描述现实世界中周期现象的一种数学模型，因此可将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型3利用搜集的数据，作出散点图，通过观察散点图进行函数拟合而得到函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题【预习评价】一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，
2、线长l_ cm解析T1， 2，l答案题型一三角函数图象与解析式的对应问题【例1】(1)已知函数ysin axb(a0)的图象如图所示，则函数yloga(xb)的图象可能是()解析由函数的图象可得0b2，0a1，故函数yloga(xb)为减函数，且图象经过点(1b,0)结合所给选项可知选C答案C (2)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为()解析通过分析可知当t0时，点P到x轴的距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当t时，可知点P在x轴上，此时点P到x轴的距离d为0，排除答案B，故选C答案C规律方法解决
3、函数图象与解析式对应问题的策略(1)一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据(2)利用图象确定函数yAsin(x)的解析式，实质就是确定其中的参数A，.其中A由最值确定；由周期确定，而周期由特殊点求得；由点在图象上求得，确定时，注意它的不唯一性，一般要求|中最小的【训练1】函数yln(cos x)的大致图象是()解析设f(x)ln(cos x)，由f(x)f(x)知yln(cos x)是偶函数，其图象关于y轴对称，可排除B，D，又当x时，00，|)在一个周期内的图象，根据图中数据求IAsin(t)的解析式；(2)如果
4、t在任意一段秒的时间内，电流IAsin(t)都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？解(1)由题图知A300，设t1，t2，则周期T2(t2t1)2150又当t时，I0，即sin0，而|0)，300942，又N*，故所求最小正整数943规律方法处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题【训练2】一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：厘米)与时间t(单位：秒)的函数关系是：S6
5、sin(2t)(1)画出它一个周期的图象；(2)回答以下问题：小球开始摆动(即t0)，离开平衡位置是多少厘米？小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？小球来回摆动一次需要多少时间？解(1)周期T1(秒)列表：T012t226sin(2t)360603描点画图： (2)小球开始摆动(t0)，离开平衡位置为3 厘米小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6厘米小球来回摆动一次需要1 秒(即周期)题型三三角函数在实际生活中的应用【例3】如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以
6、你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？解(1)由已知可设y40.540cos t，t0，由周期为12分钟可知，当t6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6，即，所以y40.540cost(t0)(2)设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米由60.540.540cost0，得cost0，所以t0或t0，解得t04或t08，所以t8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12820(分钟)规律方法解三角函数应用问题的基本步
7、骤【训练3】一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为_.t00.10.20.30.40.50.60.70.8y4.02.80.02.84.02.80.02.84.0解析设yAsin(x)，则从表中可以得到 A4，T0.8，又由4sin 4.0，可得sin 1，即，故y4sin(t)，即y4cost答案y4cost课堂达标1函数y|sin(x)|的最小正周期为()A2 B C4 D解析易知函数ysin(x)的周期为4，故y|sin(x)|的最小正周期为42答案A2如图，某港口一天6时到18时
8、的水深变化曲线近似满足函数y3sink，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A5 B6 C8 D10解析由题意可知当sin(x)取最小值1时，函数取最小值ymin3k2，得k5，y3sin(x)5，当sin(x)取最大值1时，函数取最大值ymax358答案C3电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I5sin，则当t s时，电流强度I为()A5 A B2.5 A C2 A D5 A解析当t时，I5sin(100)5sin()5cos2.5 A答案B4某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数yaAcos (x1,2,3，12，A0)来表示，已知6月份的月平
9、均气温最高，为28，12月份的月平均气温最低，为18，则10月份的平均气温值为_解析由题意得y235cos，当x10时，y23520.5答案20.55如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m解(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处这时此人所转过的角为 t t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h10sin t12(t0)(2)由10sin
10、t1217，得sint，则t. 故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m课堂小结1三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型，三角函数模型在研究物理 、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用2三角函数模型构建的步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合(3)利用三角函数模型解决实际问题(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验基础过关1函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()Af(x)xsin xBf(x)Cf(x)x cos xDf(x)x解析由题图象可知f(x)是奇函数，可排除选项D，又f()0
11、，可排除A，f(0)0，可排除B，故选C答案C2如图所示，有一广告气球，直径为6 m，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角BAC30时，测得气球的视角为1，当很小时，可取sin ，试估算气球的高BC的值约为()A70 m B86 m C102 m D118 m解析AC180172(m)，又BAC30，BCAC86 m答案B3如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数df(l)的图象大致是()解析设所对的圆心角为，则l，弦AP的长d2|OA|sin，即有df(l)2sin 答案C4已知某种交流电流I(A)
12、随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I5sin，t0，)，则这种交流电在0.5 s内往复运动_次解析据I5sin(100t)知100 rad/s，该电流的周期为T0.02 s，则这种交流电电流在0.5 s内往复运行次数为n22 s50(次)答案505某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d_，其中t0,60解析将解析式可写为dAsin(t)的形式，由题意易知A10，当t0时，d0，得0；当t30时，d10，可得，所以d10sin 答案10sin 6如图所示，某地夏天从
13、814时的用电量变化曲线近似满足函数yAsin(x)b(0)(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式解(1)最大用电量为50万kWh，最小用电量为30万kWh(2)观察图象可知从814时的图象是yAsin(x)b的半个周期的图象，A(5030)10，b(5030)40148，.y10sin40将x8，y30代入上式，又01时才可对冲浪者开放，cos t11，cos t0，2kt2k，kZ，即12k3t12k3，kZ.0t24，故可令中k分别为0,1,2，得0t3或9t15或21t24在规定时间上午800至晚上2000之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午900
14、至下午300能力提升8动点A(x，y)在圆x2y21上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周已知时间t0时，点A的坐标是，则当0t12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是()A0,1 B1,7C7,12 D0,1和7,12解析设动点A与x轴正方向夹角为，则t0时，每秒钟旋转，在t0,1上，在7,12上，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的，故选D答案D9商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)504sin(t0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的()A0,5 B5,10C10,15 D15,20解析由2k2k，kZ，知函数F(
15、t)的增区间为4k，4k，kZ.当k1时，t3，5，而10,153，5，故选C答案C10一种波的波形为函数ysinx的图象，若其在区间0，t上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是_解析由T4可知此波形的函数周期为4，显然当0x1时函数单调递减，1x0，0,0)的部分图象如图所示，KLM为等腰直角三角形，KML90，|KL|1，则f()的值为_解析取K，L中点N，则MN，因此A.由T2得函数为偶函数，00，0,0|)，根据条件，可知这个函数的周期是12；由可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)f(2)400，故该函数的振幅为200；由可知，f(x)在2,8上单调递增，且f(2)100，所以f(8)500根据上述分析可得，12，故，且解得根据分析可知，当x2时，f(x)最小，当x8时，f(x)最大，故sin1，且sin1又因为0|1cos，故不适合；代入，得0cos，故不适合所以应选