1、安徽省六安市舒城中学2019-2020学年高一数学下学期第一次月考试题 理（含解析）满分：150时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.在等差数列中，则（ ）A. 2B. 5C. 9D. 11【答案】C【解析】【分析】由等差数列的性质可得，可得答案.【详解】在等差数列中，也成等差数列.所以，即 ，则.故选：C.【点睛】本题考查等差数列的性质，观察出下标的关系是关键，属于容易题.2.若点在角的终边上,则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出的值，确定点的坐标，结合定义求解的值.【详解】因
2、为，所以点的坐标为，所以，故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的定义，已知角终边上一点，结合定义可求三角函数值,属于容易题.3.在中，则（ ）.A. 30B. 45C. 45或135D. 60【答案】B【解析】【分析】直接利用正弦定理得，化简即得解.【详解】由正弦定理得.故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4.在中，为边上的中线，为的中点，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而
3、求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得 ，所以，故选A点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5.等比数列中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用等比数列的性质得出，再利用对数的运算性质可计算出所求代数式的值.【详解】在等比数列中，由等比数列的性质得，所以，.故选：C.【点睛】本题考查等比数列下标和性质和对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.6.的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量，若，则C等于（）A. B
4、. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由题意得到，化简整理，根据余弦定理，即可得出结果.【详解】因为向量，所以，整理得：所以解得.故选B【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理与向量共线的坐标表示，即可得出结果.7.在中，已知分别是边上的三等分点，则的值是（ ）A. B. C. 6D. 7【答案】B【解析】【详解】，是等边三角形，即.分别是边上的三等分点，故选B.8.已知是内部一点，且，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】由可知点O是的重心，所以，=，选A.【点睛】在中，给出，即已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点），重心分中线为比2:1，重心
5、与三个项点连线三等分三角形面积9.函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数图象和五点作图法可求出函数的解析式,结合余弦函数的单调区间和复合函数单调区间的判断方法求解即可.【详解】由图象可得,函数的最小正周期为,因为,所以,所以,结合图象和五点作图法可得,即,因为,所以,即,因为函数的单调递减区间为,所以,解得,所以所求函数的单调递减区间为.故选:C【点睛】本题考查利用余弦函数的图象与性质求解析式和单调区间;考查运算求解能力和整体代换的思想、数形结合思想;属于中档题、常考题型.10.如图，点P在矩形ABCD内，且满足，若， 则等于（
6、 ）A. B. C. D. 3【答案】D【解析】【分析】建立直角坐标系，写出对应点坐标，利用向量关系式即可得出结论.【详解】以为坐标原点，以为轴，以为建立平面直角坐标系，设，因为，所以，又，所以，所以，又，即，所以，即.故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的有关知识.属于较易题.11.设锐角的三个内角A，B，C所对的边分别为心a，b，c，若，则b的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由锐角三角形的性质，先求出的范围，结合正弦定理进行转化求解即可【详解】解：在锐角三角形中， ，即，且，则，即，综上，则，因为，所以由正弦定理得，得，因为，所以，所以，所以b的取值范围为
7、故选：C【点睛】此题考查三角函数的图像和性质，结合锐角三角形的性质以及正弦定理进行转化是解决此题的关键，属于中档题.12.在直角梯形中，为线段（含端点）上的一个动点.设，对于函数，下列描述正确的是（ ）A. 的最大值和无关B. 的最小值和无关C. 的值域和无关D. 在其定义域上的单调性和无关【答案】A【解析】【分析】建立合适的直角坐标,根据向量的坐标表示和平面向量数量积的坐标表示建立的函数关系式,利用二次函数的性质，分和两种情况通过判断单调性求时函数最值即可详解】建立直角坐标系如图所示:由题意知,，因为,所以,设点则,解得,即点为,所以,由平面向量数量积的坐标表示可得,，即,所以此函数的对称轴
8、为,因为,当时,所以函数在区间上单调递减,所以当时,函数有最小值为,当时,函数有最大值为;当时,由二次函数的单调性知,函数在上单调递减,在上单调递增;所以当时,函数有最小值为,因为,所以函数的最大值为;综上可知,无论为何值,函数的最大值均为.故选:A【点睛】本题考查平面向量数量积的运算性质、二次函数的单调性和最值；考查分类讨论思想、逻辑推理能力和运算求解能力;属于综合型、难度较大型试题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知向量，满足，且，则在方向上的投影为_.【答案】-1【解析】【分析】利用向量的垂直关系，推出，然后求解在方向上的投影。【详解】向量，满足，且，可得，即，可
9、得，则在方向上的投影为： 故答案为：【点睛】本题考查了向量的数量积以及向量数量积的几何意义，要熟记向量数量积的几何意义，属于基础题。14.已知，若所成角为锐角，则实数的取值范围是_._.【答案】且【解析】【分析】所成角为锐角可知，并注意排除同向共线的情形即可.【详解】因为的夹角为锐角，所以，即，解得，当时，与同向，所以实数的取值范围是且.故答案为：且.【点睛】本题主要考查了向量的数量积，向量的夹角公式，共线向量，属于中档题.15.在中，角，的对边分别为，若，则 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由，利用正弦定理、三角恒等变换可求得，再利用正弦定理可将转化成，利用角A的取值范围即可求出【详解
10、】因为，所以，根据正余弦定理得到，即，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，即故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理的应用、三角恒等变换，考查了推理能力与计算能力熟练掌握正弦定理进行边与角之间的转化是解题的关键16.已知数列满足，则_【答案】【解析】因为，所以=点睛：本题主要是借助于数列的求通项的方法：累加法求解即可.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.等差数列中，且，求数列的前10项的和【答案】或.【解析】【分析】先根据条件解得首项与公差，再根据等差数列求和公式得结果.【详解】设等差数列的公差为，因为且，所以，即，解得或，当时数列的前10项的和
11、，当时数列的前10项的和.【点睛】本题考查等差数列前项和公式，考查基本分析求解能力，属于容易题.18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且满足（1）求角A的大小；（2）若，试判断的形状【答案】（1）；（2）直角三角形.【解析】【分析】（1）根据，得到的坐标，然后利用求模公式，由求解.（2）根据，得到，利用正弦定理 得到，结合（1）化简得到求解.【详解】（1）因为，所以所以，解得，因为，所以.（2）因为，所以， 所以，所以，所以，即，因为，所以，所以或，解得或，当时，当时，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查平面向量的模的求法，两角和与差的三角函数的应用，正弦定理的应用以及三角
12、形的形状判断，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.在中，角的对边分别为，已知（1）求的值；（2）若，求的面积【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先根据三角形内角关系将角A化为B,C：;再利用诱导公式求，代入化简得，解得（2）先由正弦定理得，即，再根据三角形面积公式得试题解析：（1）因为，所以因为，所以，由题意，所以，所以（2）由（1）知，所以由正弦定理得，所以，又，所以考点：诱导公式、两角和正弦公式，正弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形
13、中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.20.已知向量，设函数，（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的单调增区间【答案】（1） ；（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量的数量积公式化简得到函数，再利用周期公式求解。（2）根据，利用正弦函数的性质求解。【详解】（1），所以。（2）由（1）知：，令，解得，又，所以在区间上的单调增区间【点睛】本题主要考查平面向量的数量积坐标运算和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题。21.已知函数，是函数的零点，且的最小值为.（）求的值；（）设，若，求的
14、值.【答案】() () 【解析】【分析】()利用二倍角公式和辅助角公式整理出，根据周期求得；()根据解析式可求解出，；再利用同角三角函数关系求出，；代入两角和差余弦公式求得结果.【详解】()的最小值为 ,即 ()由()知： 又 ，【点睛】本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型.22.已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：.【答案】（1）（2）详见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列前项和公式以及等比中项、等差数列通项公式列方程组，解方程组求得，由此求得数列的通项公式.（2）由（1）求得数列的前项和的表达式，由此求得数列的表达式，利用裂项求和法求得的的表达式，进而根据单调性等知识求得的取值范围.【详解】解：(1)解：因为数列是等差数列，所以，依题意，有即解得，.所以数列的通项公式为.(2)证明：由(1)可得.所以.所以.因为，所以.因为，所以数列是递增数列，所以，所以.【点睛】本小题主要考查等差数列通项和前项和基本量的计算，考查等比中项的性质，考查裂项求和法，考查数列的单调性以及数列的取值范围的求法，属于中档题.