1、专题05 有理数的乘方重点突破知识点一 乘方（重点）乘方的概念：一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方。求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在中，叫做底数，叫做指数。读作的次方，也可以读作的次幂。读作:a的n次方,或者a的n次幂负数的幂的正负的规律：（易错）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.知识点二 科学记数法把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数（即），是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。（用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数少1.）把还原成原数时，只需把的小数点往前移动位。（
2、易错）知识点三 近似数和有效数字近似数概念：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.）【识别近似数与准确数的方法】语句中带有“约”“左右”等词语，里面出现的数据是近似数。描述“温度”“身高”“体重”的数据是近似数。准确数字与实际相符有效数字概念：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。（难点）考查题型考查题型一 有理数幂的概念理解典例1
3、（2018遵义市期中）对于(2)4与24，下列说法正确的是( )A它们的意义相同B它的结果相等C它的意义不同，结果相等D它的意义不同，结果不等【答案】D【解析】试题提示：的底数是2，指数是4，结果是16；的底数是2，指数是4，它的意思是2的四次方的相反数，结果是16故选D变式1-1（2019石家庄市期中）下列对于34，叙述正确的是（ ）A读作3的4次幂B底数是3，指数是4C表示4个3相乘的积的相反数D表示4个3相乘的积【答案】C【提示】根据有理数的乘方的含义，以及各部分的名称，逐一判断即可【详解】因为34读作：负的3的4次幂，所以选项A不正确；因为34的底数是3，指数是4，所以选项B不正确；因
4、为34表示4个3相乘的积的相反数，所以选项C正确；因为34表示4个3相乘的积的相反数，所以选项D不正确故选C【名师点拨】此题主要考查了有理数的乘方的含义，以及各部分的名称，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数an读作a的n次方变式1-2（2019惠来县期中）下列说法正确的是（）A23表示23 B32与（3）2互为相反数C（4）2中4是底数，2是幂 Da3=（a）3【答案】B【提示】根据有理数的乘方的定义对各选项提示判断后利用排除法求解【详解】A、23表示222，故本选项错误；B、-32=-9，（-3）2=9，-9与9互为相反数，故本选项正确；C
5、、（-4）2中-4是底数，2是指数，故本选项错误；D、a3=-（-a）3，故本选项错误故选B【名师点拨】本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记概念是解题的关键变式1-3（2019宝鸡市期中）若与互为相反数，则的倒数是（ ）ABCD没有倒数【答案】D【提示】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解【详解】与|b-2|互为相反数，+|b-2|=0，=0，b-2=0，解得a=0，b=2，则没有倒数故选D【名师点拨】此题考查非负数的性质，解题关键在于几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0考查题型二 有理数乘方运算典例2（2019
6、赣州市期中）13世纪数学家斐波那契的计算书中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为()A42B49C76D77【答案】C【解析】试题提示：有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方依此即可求解依题意有，刀鞘数为76变式2-1（2019马鞍山市期中）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（）A23和32B33和（3）3C22和（2）2D和【答案】B【解析】A选项中，因为，所以A中两个数运算结果不等；B选项中，因为，所以B中两个数的运算结果相等；C选项中，因为，所以C中两个数
7、的运算结果不相等；D选项中，因为，所以D中两个数的运算结果不相等；故选B.变式2-2（2018赤峰市）计算()2017(0.6)2018的结果是( )ABC0.6D0.6【答案】D【提示】逆用积的乘方解答即可【详解】，=，=，=，=-1，=.故选D.【名师点拨】此题幂的乘方与积的乘方，关键是根据积的乘方的逆运算解答考查题型三 乘方运算的符号规律典例3（2019兴仁市期中）在（1）5、（1）4、23，（3）2这四个数中，负数有几个（）A0个B1个C2个D3个【答案】C【提示】根据有理数的乘方：“负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数”即可解答.【详解】（1）5 = -5，负数的奇次幂是负数；（1
8、）4 = 4，负数的偶次幂是正数；23 = -8，表示2的3次方的相反数；（3）2 = 9，负数的偶次幂是正数；故负数有2个，故选C.【名师点拨】本题考查了有理数的乘方，注意“负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数”.变式3-1（2017马鞍山期末）计算的结果是（ ）A B C D【答案】A【解析】（-1）2016+（-1）2017=1+（-1）=0，故选A.变式3-2（2019大庆市期末）a，b互为相反数，下列各数中，互为相反数的一组为（）Aa2与b2Ba3与b5Ca2n与b2n （n为正整数）Da2n+1与b2n+1（n为正整数）【答案】D【提示】依据相反数的定义以及有理数的乘方法则进行判
9、断即可【详解】解：A选项：a，b互为相反数，则a2=b2，故A错误；B选项：a，b互为相反数，则a3=-b3，故a3与b5不是互为相反数，故B错误；C选项：a，b互为相反数，则a2n=b2n，故C错误；D选项：a，b互为相反数，由于2n+1是奇数，则a2n+1与b2n+1互为相反数，故D正确；故选D【名师点拨】考查了相反数和乘方的意义，明确只有符号不同的两个数叫做互为相反数，还要熟练掌握互为相反数的两个数的偶数次方相等，奇次方还是互为相反数考查题型四 乘方的应用典例4（2020衡水市期中）一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的绳子长度为（ ）A米B米C
10、米D米【答案】C【提示】根据乘方的意义和题意可知：第2次后剩下的绳子的长度为()2米，那么依此类推得到第六次后剩下的绳子的长度为()6米【详解】1-=，第2次后剩下的绳子的长度为()2米；依此类推第六次后剩下的绳子的长度为()6米故选C【名师点拨】此题主要考查了乘方的意义其中解题是正确理解题意是解题的关键，能够根据题意列出代数式是解题主要步骤变式4-1（2018张家口市期末）某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由1个分裂为64个，则这个过程要经过（）A1小时B2小时C3小时D4小时【答案】C【提示】根据已知可知1个细胞从第1次到第3次所分裂的细胞个数分别为21
11、个,22个,23个,从而得出第n次细胞分裂后的细胞个数.【详解】解:根据已知可知：一个细胞第一次分裂成21个，第二次分裂成22个，第三次分裂成23个，由上述规律可知，第n次时细胞分裂的个数为2n个，设第x次分裂成64个，由题意得2x=64，解得x=6，即第6次分裂细菌分裂成64个，答:由每半小时分裂一次，此细菌由1个分裂成64个，共花费了3个小时.故答案选C.【名师点拨】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练的掌握有理数的乘方的相关知识点.变式4-2（2018郑州市期末）远古时期，人们通过在绳子上打结来的记录数量，即“结绳计数”，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记
12、录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）A336B510C1326D3603【答案】B【提示】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数73+百位上的数72+十位上的数7+个位上的数【详解】解：孩子自出生后的天数是173+372+27+6=510.故选B.【名师点拨】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力考查题型五 含乘方的有理数加减乘除混合运算典例5（2019乌海市期中）计算:（1） （2）（3）【答案
13、】（1）；（2）-25；（3）【解析】试题提示：(1) 易知在本小题式子最后的乘方运算得1，整个算式转化为有理数的加减混合运算. 运算时，可以将分母相同的分数结合在一起运算，也可以将符号不同的数结合在一起运算，不难得到最终结果.(2) 先处理乘方运算和绝对值，再按照有理数的四则运算法则进行运算.(3) 先将小数形式化为分数形式并将除法转化为相应的乘法运算，然后按照有理数的四则运算法则进行运算.试题解析：(1) =(2) =-25(3) =变式5-1（2019武汉市期中）计算（1）（35）+32（13） （2）32 【答案】（1）16；（2）8【提示】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可；（
14、2）先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减即即可.【详解】解：（1）（35）+32（13）=（2）+9（2）=2+（18）=16；（2）32=9（）=9+=8【名师点拨】本题考查有理数的混合运算，解题关键是运算顺序、乘方、绝对值化简.考查题型六 用科学记数法表示绝对值大于1的数典例6（2020黄石市期末）我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总 人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为A4.4108B4.40108C4.4109D4.41010【答案】C【提示】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定
15、n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【详解】解：4 400 000 000=4.4109，故选C变式6-1（2019鹤壁市期末）今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元，数据“214.7亿”用科学记数法表示为（）A2.147102B0.2147103C2.1471010D0.21471011【答案】C【解析】提示：科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数
16、绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数详解：214.7亿，用科学记数法表示为2.1471010，故选C变式6-2（2020周口市期末）一个整数8155500用科学记数法表示为8.15551010，则原数中“0”的个数为（）A4B6C7D10【答案】B【提示】把8.15551010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得【详解】8.15551010表示的原数为81555000000，原数中“0”的个数为6，故选B【名师点拨】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，科学记数法的表示的数a10n还成成原数时， n0时，小数点就向右移动n位得到原数；n0时，小数点则向左移动|n|位得到原
17、数.考查题型七 将用科学记数法表示的数变回原数典例7（2019周口市期中）“十三五”以来，我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程截止去年9月底，各地已累计完成投资元数据可以表示为（）A10.02亿B100.2亿C1002亿D10020亿【答案】C【提示】科学记数法的标准形式为a10n(1|a|10，n为整数)，本题数据“1.0021011”中的a=1.002，指数n等于11，所以，需要把1.002的小数点向右移动11位，得到原数，继而根据数位进行表示即可【详解】1.0021011=1.002100000000000=100200000000=1002亿，故选C【名师点拨】本题考查写出用科学记数
18、法表示的原数将科学记数法a10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法变式7-1（2018朝阳区期中）长江三峡工程电站的总装机容量用科学记数法表示为千瓦，把它写成原数是（ ）A182000千瓦B182000000千瓦C18200000千瓦D1820000千瓦【答案】C【提示】把数据1.82107写成原数，就是把1.82的小数点向右移动7位【详解】把数据1.82107中1.82的小数点向右移动7位就可以得到，为18 200 000故选C【名师点拨
19、】用科学记数法a10n表示的数还原成原数时，n是几，小数点就向后移几位变式7-2（2020保定市期末）用科学记数法表示的数3.61108它的原数是（）A36100000000B3610000000C361000000D36100000【答案】C【提示】科学记数法的标准形式为a10n（1|a|10，n为整数）本题把数据“3.61108中3.61的小数点向左移动8位就可以得到【详解】解：3.61108=3.61100000000=361000000，故选C【名师点拨】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，n0时，n是几，小数点就向右移几位考查题型八 求一个数的近似数典例8（202
20、0嘉峪关市期末）用四舍五入法按要求对0.050 19分别取近似值，其中错误的是（ ）A0.1（精确到0.1）B0.05（精确到百分位）C0.05（精确到千分位）D0.050 2（精确到0.000 1）【答案】C【提示】一个近似数的有效数字是从左边第一个不为0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字，精确到哪位，就是对它后边一位进行四舍五入.【详解】A：0.05019精确到0.1是0.1，正确；B：0.05019精确到百分位是0.05，正确；C：0.05019精确到千分位是0.050，错误；D：0.05019精确到0.0001是0.0502，正确本题要选择错误的，故答案选择C.【名师点拨】本
21、题考查的是近似数，近似数和精确数的接近程度可以用精确度表示一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确度就是精确程度.变式8-1（2020河池市期末）用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（ ）A0.1（精确到0.1）B0.05（精确到百分位）C0.05（精确到千分位）D0.050（精确到0.001）【答案】C【解析】根据近似数与有效数字的概念对四个选项进行逐一提示即可解答：解：A、0.05049精确到0.1应保留一个有效数字，故是0.1，故本选项正确；B、0.05049精确到百分位应保留一个有效数字，故是0.05，故本选项正确；C、0.05049精确到千分位应是0.050，故本选项错误；D、0.05049精确到0.001应是0.050，故本选项正确故选C变式8-2（2019武汉市期末）用四舍五入法对2.098176取近似值，其中正确的是（ ）A2.09（精确到0.01）B2.098（精确到千分位）C2.0（精确到十分位）D2.0981（精确到0.0001）【答案】B【解析】试题解析：A、2.0981762.10（精确到0.01），所以A选项错误；B、2.0981762.098（精确到千分位），所以B选项正确；C、2.0981762.0（精确到十分位），所以C选项错误；D、2.0981762.0982（精确到0.0001），所以D选项错误故选B
