1、江西省上饶中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1.化简等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量加法法则，直接运算可得结果.【详解】，故选：D.【点睛】本题考查向量的加法运算，考查运算求解能力，属于基础题.2.的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接根据两角差的余弦公式计算，即可得答案；【详解】，故选：C.【点睛】本题考查两角差的余弦公式，考查运算求解能力，求解时注意展开的右边是加号.3.若直线与互相平行，则a的值为（ ）A. 1B. C. D. 3【答案】D【解析】【分析】根据两直线平
2、行时，两直线方程系数之间的关系进行求解即可.【详解】因为直线与互相平行，所以有成立，解得.故选：D【点睛】本题考查了已知两直线平行求参数问题，属于基础题，考查了数学运算能力.4.已知，则以为直径的圆的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】因为圆以为直径，可得圆心为，半径为，求得圆的标准方程，化简，即可求得答案.【详解】圆以为直径，圆心为，半径为，圆的方程为，即故选：A【点睛】本题主要考查圆的方程，考查考生的运算求解能力，解题关键是掌握圆方程的求法，属于基础题.5.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【
3、解析】分析】以作为基底的向量需要是不共线的向量，可以从向量的坐标发现， 选项中的两个向量均共线，得到正确结果是【详解】解：可以作为基底的向量需要是不共线的向量，中一个向量是零向量，两个向量共线，不合要求中两个向量是，则故与不共线，故正确；中两个向量是，两个向量共线，项中的两个向量是，两个向量共线，故选：【点睛】本题考查平面中两向量的关系，属于基础题.6.已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过面积计算得到，再计算周长得到答案.【详解】，故，周长为：.故选：.【点睛】本题考查了扇形的面积和周长，计算扇形半径是解题的关键.7.设，若对
4、任意的实数x都成立，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数最值的定义，结合余弦函数的最值进行求解即可.【详解】因为对任意的实数x都成立，所以说明当时，函数有最大值，所以有成立，解得：，而，所以有，当时，有最小值.故选：A【点睛】本题考查了已知不等式恒成立求参数最小值问题，考查了余弦函数的最值，考查了函数最值的定义，考查了数学运算能力.8.已知，则在方向上的射影为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由于在方向上的射影为，代入值直接求解即可.【详解】解：因为，所以在方向上的射影为，故选：B【点睛】此题考查平面向量的数量积的几何意义，属于基础
5、题.9.函数的图象以下说法正确的是（ ）A. 最大值为1，图象关于直线对称B. 在上单调递减，为偶函数C. 在上单调递增，为偶函数D. 周期为，图象关于点对称【答案】A【解析】【分析】先用余弦的诱导公式化简函数的解析式，然后根据余弦函数的性质逐一对四个选项进行判断即可.【详解】.A：因为，所以有，因此函数的最大值为1，因为，所以函数的图象关于直线对称，因此本选项说法正确；B： 因为，所以，因此函数单调递减，故单调递增，因此本选项说法不正确；C：因为，所以，因此函数不具有单调性，故不具有单调性，因此本选项说法不正确；D：因为，所以函数图象关于点对称是不正确的，因此本选项说法是不正确.故选：A【点
6、睛】本题考查了余弦函数的性质应用，考查了余弦的诱导公式，属于基础题.10.已知，则（ ）A. -1B. 1C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式可得，则代入函数解析式计算可得；【详解】解：因为，所以故选：C【点睛】本题考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数值，属于基础题.11.设中边上的中线为，点满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作出图形，利用、表示，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出可得出结果.【详解】如下图所示：为的中点，则，故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.12.已
7、知圆，若直线上存在点，使得过点的圆的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是（ ）A. 或B. C. 或D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用直线与圆位置关系，由于存在点使圆的两条切线垂直，得到四边形为正方形，进一步利用点到直线的距离公式求出的取值范围.【详解】解：设过点的圆的两条切线分别与圆相切于,因为过点的圆的两条切线互相垂直，所以四边形为正方形，此时正方形的对角线长为2，所以只需圆心到直线的距离小于等于2，即2， ，解得或，故选：A【点睛】此题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式，考查运算能力和转化能力，属于中档题.二、填空题（每小题5分，共20分）13.己知向量，且，则_.【
8、答案】【解析】【分析】根据两平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为，所以，即.故答案为：【点睛】本题考查了已知两个平面向量垂直求参数，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了两个平面向量垂直的性质，考查了数学运算能力.14.已知，则的值为_.【答案】【解析】【分析】首先分子和分母上下同时除以，求得，再利用二倍角公式求解.【详解】时，等式不成立，当时，分子和分母上下同时除以，得，解得： 故答案为：【点睛】本题考查二倍角的正切公式，已知的齐次方程求，重点考查公式和计算，属于基础题型.15.若直线与圆的两个交点关于直线对称，则_【答案】-1【解析】【分析】由
9、对称知直线过圆心，再由垂直关系可得k，从而得解.【详解】易得直线过圆心，所以，直线与直线垂直，所以，所以.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于基础题.16.在等腰中，已知，分别是边上的点，且，其中，若的中点分别为且，则的最小值是_.【答案】【解析】【分析】以为一组基底，根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的定义和运算性质、二次函数的性质进行求解即可.【详解】，化简得：，化简得：，而，所以有，当时，即时，有最小值，所以的最小值是.故答案为：【点睛】本题考查了求平面向量模的最小值问题，考查了平面向量数量积的运算性质和定义，考查了平面向量加法的几何意义，考查了数学运算能力.三、解
10、答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知（1）的值；（2）的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据同角公式求出正弦值，再根据二倍角的正弦公式可得结果；（2）根据商数关系式求出正切值，再根据两角和的正切公式可得结果.【详解】（1）因为，所以， 所以=.（2）= =.【点睛】本题考查了同角公式、二倍角的正弦公式和两角和的正切公式，属于基础题.18.已知向量与向量的夹角为，且，.（1）求；（2）若，求【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）对进行平方，然后利用平面向量数量积的运算性质，结合平面向量数量积的定义进行求解即可；（2）根据平面向量垂直的性质，结
11、合平面向量数量积的运算性质和（1）的结论进行求解即可.【详解】（1）由得，已知向量与向量的夹角为，且，所以化简得； 解得或（舍去）；（2）由得【点睛】本题考查了已知平面向量的模求平面向量数量积，考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了平面向量垂直的性质，考查了数学运算能力.19.已知圆C：，若直线与圆C相切.求：（1）实数b的值；（2）过的直线l与圆C交于P、Q两点，如果.求直线l的方程.【答案】（1）9；（2）【解析】【分析】（1）由于直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式可得b的值；（2）由于，所以直线过圆心，从而可求出直线l的斜率，再利用点斜式求出直线方程
12、.【详解】解：（1）圆C：的圆心为，半径为2因为直线与圆C相切，所以，解得 （2）因为圆的半径为2，弦，所以直线l过圆心，所以l的斜率为，所以直线l的方程为，即【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.20.已知函数为偶函数，且函数的图象的两相邻对称中心的距离为.（1）求的值；（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递增区间.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的性质，结合正弦函数的诱导公式、余弦型函数的最小正周期公式、特殊角的余弦函数值进行求解即可；（2）根据余弦型函数的图象变换
13、过程写出函数的解析式，结合余弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）因为为偶函数，所以，所以.又，所以，所以.因为函数的图象的两相邻对称轴间的距离为，所以，因为，所以，所以，所以；（2）将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象，所以.当，即时，单调递增.所以函数的单调递增区间是.【点睛】本题考查了通过正弦型函数的性质求解析式，考查了由余弦型函数图象的变换求解析式，考查了余弦型函数的单调性，考查了数学运算能力.21.已知向量，求：（1）求；（2）若，求的最大值和最小值【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为【解析】【分析
14、】（1）根据平面向量加法的坐标表示公式和平面向量模的坐标表示公式进行求解即可；（2）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合同角的三角函数关系式、配方法进行求解即可.【详解】（1）因为，所以，因此，因为，所以（2）由可得：当时，即当时，函数有最小值；当或时，即当或时，函数有最大值或.所以的最大值为，最小值为.【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了平面向量加法和平面向量的模的坐标表示公式，考查了配方法的应用，考查了同角的三角函数关系式，考查了含的二次式的最值，考查了数学运算能力.22.已知圆，直线过定点.（1）点在圆上运动，求的最小值，并求出此时点的坐标. （2）若与圆C相交于两点
15、，线段的中点为，又与的交点为，判断是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1），；（2）是定值，定值为6【解析】分析】（1）根据可得的最小值，利用直线的方程与圆的方程联立可得的坐标；（2）设直线的方程为，联立直线与解得的坐标，联立直线CM与得的坐标，再根据两点间的距离公式得，化简可得结果.【详解】（1）因为，所以，当且仅当为线段与圆的交点时，取得等号，因为直线的方程为：，联立，消去整理得，解得或（舍），所以，所以.所以的最小值为，出此时点的坐标为.（2）因为直线与圆相交，斜率必定存在且不为0,可设直线的方程为，由，得，所以.又直线CM与垂直，所以直线的方程为，由，得，所以.所以为定值.故是定值，且为6.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的性质，考查了求直线的交点坐标，属于基础题.