1、22 直接证明与间接证明一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议分析法与综合法了解结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程、特点反证法了解了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程、特点二、预习指导1预习目标了解数学证明的基本方法分析法、综合法、反证法的思考过程和特点，体会证明的必要性2预习提纲(1)回顾八年级(下册)(江苏科学技术出版社)，第十一章图形与证明(一)第134137页，回味：“证明中，学会有条理地思考”(2)直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明，通常称为_，直接证明的一般形式为：_(3)直接证明的两种基本方
2、法是分析法和综合法，分析法与综合法的推证过程如下：_(4)_是一种常用的间接证明方法，反证法的证明过程可以概括为_，用反证法证明一个命题常常包括3个步骤：_(5)结合课本第8081页的例1，体会分析法、综合法的思考过程和特点，并作比较；结合课本第8283页的例1和例2，体会反证法的思考过程和特点，小结解题步骤(6)阅读课本第79页至第83页内容，并完成课后练习(7)综合法、分析法和反证法在证明数学结论中起到主导作用，试举例说明，并与同学交流3典型例题(1) 综合法是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的方法其特点是“由因导果”比较法是证明
3、不等式的一种最基本、最重要的方法用比较法证明不等式的步骤是：作差(或作商)、变形、判断例1若实数 求证：；已知，求证：分析： 采用差值比较法证明思考：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换? 可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行 证明：= = =法1(差值比较法)：要证的不等式关于对称，不妨设法2(商值比较法)：不妨设， ，又， (2)分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件或明显成立的结论综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题对于解答证明
4、来说，分析法表现为“执果索因”，综合法表现为“由因导果”，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛例2 已知：，求证：；设a、b是两个正实数，且ab，求证：a3b3a2bab2分析： 分析法和综合法是两种常用的思维方法，人们常用它们来寻求证明问题的思路推证过程如下：综合法：已知条件结论；分析法：结论已知条件我们可以根据题目的实际情况选用适当的方法证明: (综合法)： ， (综合法)：(综合法)： ab，ab0，(ab)20，即a22abb20 亦即a2abb2ab0由题设条件知，ab0，(ab)(a2abb2)(ab)ab即a3b3a2bab2证明2(分析法)： 要证 a3b3a2b
5、ab2成立， 只需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立， ab0，只需证a2abb2ab成立 只需证a22abb20成立， 即需证(ab)20成立而由已知条件可知，ab，有ab0，所以(ab)20显然成立，由此命题得证例3 如图，在底面为平行四边形的四棱锥 PABCD 中，ABAC，PA平面 ABCD，点 E 是 PD 的中点()求证：ACPB； ()求证：PB/平面 AEC 分析： 对于立体几何中的证明问题，我们通常先用分析法思考：要证结论需要用什么定理，运用定理需要什么条件，然后找到或构造出这些条件，最后用综合法书写证明过程解：()PA平面 ABCD，且AC平面ABCD，ACPA，又
6、ABAC，ABPA=A，AB平面PAB，PA平面PAB，AC平面PAB，而PB平面ABCD， ACPB； ()连接BD，与 AC相交于O，连接 EO， ABCD 是平行四边形， O 是 BD 的中点， 又 E 是 PD 的中点， EOPB，又 PB平面 AEC，EO平面 AEC， PB平面 AEC (3)反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，经过正确的推理，导出矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法用反证法证明一个命题常采用以下步骤：假设命题的结论不成立； 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与定义、公理、定理或公式矛盾
7、；自相矛盾等；由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假设“结论不成立”是错误的；肯定原来命题的结论是正确的即“反设归谬存真”例4 求证：是无理数；若为奇数，则是无理数分析： 本题宜采用反证法证明证明：假设是有理数，则存在互质的整数，使得，即，为3的倍数，设，即，也为3的倍数，这与互质矛盾，假设错误，是无理数； 假设是有理数，则存在互质的整数，使得，则，为偶数，为偶数， 与同为偶数或同为奇数，它们的积为偶数，与同为偶数，设，即，为奇数为偶数，为偶数，也为偶数，这与互质矛盾，假设错误，是无理数(4)反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存
8、在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木导出矛盾通常有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；自相矛盾等如果结论的反面不止一种情形，我们要对各种情形分别导出矛盾例5 设求证： 设0 a，b，c 0，ab bc ca 0，abc 0，求证：a， b， c 0 分析： 用反证法证明时，分清结论的反面是什么，有几种情形证
9、明：假设则有 这与题设条件矛盾，原不等式成立； 假设(1 - a)b，(1 - b)c，(1 - c)a同时大于，即 (1 - a)b (1 - b)c (1 - c)a 则三式相乘：(1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a 又0 a， b， c 1 同理：0 0以上三式相乘： (1 - a)a(1 - b)b(1 - c)c 与矛盾(1 - a)b，(1 - b)c，(1 - c)a不可能同时大于假设a 0， bc 0， 则b c = -a 0 ab bc ca = a(b c) bc 0矛盾， 必有a 0 同理可证：b 0， c 0例6 设二次函数求证：中至少有一个不小于分析：导出
10、矛盾时，有时会用到其它章节的有关知识，推理要严谨证明：假设都小于，则 (1)另一方面，由绝对值不等式的性质，有 (2)(1)、(2)两式矛盾，所以假设不成立，中至少有一个不小于例7 设是公比不相等的两个等比数列，证明数列不是等比数列分析：否定性命题通常用反证法证明证明：假设数列是等比数列，则 是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为，代入并整理得：，即 当异号时， ，与相矛盾；当同号时， ，与相矛盾数列不是等比数列例8 若(1)求证：；(2)令写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an；(3)证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公比q的值分析：(1)宜采用反
11、证法证明解：(1) 若，即，解得 这与题设相矛盾，故成立；(2) 归纳出这个数列的通项公式为 ；(3) 又上式是关于变量an的恒等式，解得，4自我检测(1)比较大小：2(2)设mn，x=m4m3n，y=n3mn4，则x与y的大小关系为_(3)已知，则a与b的大小关系是_ (4)设a、b、m都是正整数，且ab，则下列不等式中恒不成立的是_ 三、课后巩固练习A组1已知直线l、m，平面、，且l，m ，给出下列四个命题：(1)若，则lm； (2)若lm，则；(3)若，则lm； (4)若lm，则；其中正确命题的个数是_2给出下列三个命题：若；若正整数满足，则；设上任意一点，圆以为圆心且半径为1当时，圆相
12、切其中假命题的个数是_ 3下列四个命题：若0a，则cos(1a)cos(1a)；若0a1a；若x、yR，满足y=x，则log的最小值是；若a、bR，则其中正确的是_ 4下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则 将从大到小排列为_5(1)用反证法证明“若0，则 ”时的假设为_；(2)用反证法证明命题“如果那么”时，假设为_；(3)用反证法证明命题时，“若且，则和中至少有一个小于2”时，假设为_6否定结论“至多有两个解”的说法有一个解
13、；有两个解；至少有三个解；至少有两个解中，正确的是_ 7已知l，a、b，若a、b为异面直线，则a、b都与l相交；a、b中至少一条与l相交；a、b中至多有一条与l相交；a、b都不与l相交中，正确的是_8设大于0，则3个数：，的值的情况是都大于2；至少一个不大于2；都小于2；至少有一个不小于2中的_B组9设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“*”(即对任意的，对于有序元素对()，在中有唯一确定的元素与之对应)若对任意的，有，则对任意的，下列等式中不恒成立的是_ 10设，求证：11已知 求证：12如图：是所在平面外一点，平面，是的中点，是上的点，求证：13已知均为实数，且，求证：中至少
14、有一个大于14证明：不能为同一等差数列的三项C组15设，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（R），（R），且，则称，调和分割，已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是_C可能是线段AB的中点 D可能是线段AB的中点C，D可能同时在线段AB上 C，D不可能同时在线段AB的延长线上16若实数a，b满足且，则称a与b互补，记那么是a与b互补的_条件17设,，,.记为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为_18(1)已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数；(2)设，是公比不相等的两个等比数列，证明数列不是等比数列19对于直
15、线l：y=kx1，是否存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3xy=1的交点A、B关于直线y=ax(a为常数)对称?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由20在平面直角坐标系O中，直线与抛物线相交于、 两点(1)求证：“如果直线过点，那么”是真命题；(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由知识点题号注意点分析法与综合法14，912分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法，注意灵活它们寻求解题思路反证法58，13，14注意正确地作出假设综合问题1520灵活运用分析法、综合法与反证法解题四、学习心得五、拓展视野1先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题： 已知，求证，
16、 证明：构造函数 因为对一切xR，恒有0，所以0， 从而得， (1)若，请写出上述结论的推广式； (2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明解：(1)若，求证： (2)证明：构造函数 因为对一切xR，都有0，所以=0， 从而证得：2(1)证明：当a1时，不等式成立(2)要使上述不等式成立，能否将条件“a1”适当放宽?若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由(3)请你根据(1)、(2)的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，并给予证明解：(1)证明： ，又a1， 原不等式成立 (2)a1与a51同号对任何a0且a1恒成立，上述不等式的条件可放宽为a0且a1 (3)根据(1)(2)的证明，可推知：若a0且a1，mn0，则有证明：左式右式=若a1，则由mn0amn1，amn1不等式成立； 若0a1，则由mn00amn1， 0amn1不等式成立