1、第一章1.41.4.2第1课时请同学们认真完成练案 8 A组素养自测一、选择题1已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为(A)AB1CD2解析A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，(1,0,0)，(1,2，2)，点A到直线BC的距离为d2两平行平面，分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n(1,0,1)，则两平面间的距离是(B)ABCD3解析两平行平面，分别经过坐标原点O和点A(2，1,1)，(2,1,1)，且两平面的一个法向量n(1,0,1)，两平面间的距离d故选B3如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1
2、，O是平面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是(B)ABCD解析建立坐标系如图，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，O(0,1,0)，(1,0,1)设n(1，y，z)是平面ABC1D1的一个法向量，则解得y0，z1，n(1,0,1)又，点O到平面ABC1D1的距离为4正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则点C1到平面A1BD的距离是(D)AaBaCaDa解析以A为原点，AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则(a，a，a)，(0，a，a)，由于AC1平面A1BD，所以点C1到平面A1BD的距离是a故选D5已知正方体ABCDA1
3、B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(B)ABCD解析建立空间直角坐标系如图所示，则(0,2,0)，(0,1,2)设ABE，则cos sin ，A到直线BE的距离d|sin 2二、填空题6RtABC的两条直角边BC3，AC4，PC平面ABC，PC，则点P到斜边AB的距离是_3_解析以C为坐标原点，CA、CB、CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4,0,0)，B(0,3,0)，P，所以(4,3,0)，所以在上的投影长为，所以点P到AB的距离为d37棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点
4、，则直线MN到平面ACD1的距离为_解析如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则平面ACD1的一个法向量为(1,1,1)，M，A(1,0,0)，点M到平面ACD1的距离d，MN平面ACD1，MN平面ACD1，MN到平面ACD1的距离d8如图，直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1，在ABC中，ACB90，ACBC1，则点B1到平面A1BC的距离为_解析如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，A1(1,0，)，B1(0,1，)，C1(0,0，)，(1,1，)，(1,0，)，(1,1,0)设平面A1BC的法向量
5、为n(x，y，z)，则即令z1得x，y0，n(，0,1)点B1到平面A1BC的距离d三、解答题9在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA12，BAC90，M为BB1的中点，N为BC的中点(1)求点M到直线AC1的距离；(2)求点N到平面MA1C1的距离解析(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，M(2,0,1)，C1(0,2,2)，直线AC1的一个单位方向向量为s0，(2,0,1)，故点M到直线AC1的距离d(2)设平面MA1C1的法向量为n(x，y，z)，则即取x1，得z2，故n(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量，因为N(1,1,0)，所以(1
6、,1，1)，故N到平面MA1C1的距离d10四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，AD2AB4，且PD与底面ABCD所成的角为45求点B到直线PD的距离解析PA平面ABCD，PDA即为PD与平面ABCD所成的角，PDA45，PAAD4，AB2以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,4)，D(0,4,0)，(0，4,4)方法一：设存在点E，使，且BEDP，设E(x，y，z)，(x，y4，z)(0，4,4)，x0，y44，z4，点E(0,44，4)，(2,44，4)BEDP，4(44)
7、440，解得(2,2,2)，|2，故点B到直线PD的距离为2方法二：(2,0,4)，(0，4,4)，16，在上的投影的长度为2所以点B到直线PD的距离为d2B组素养提升一、选择题1如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1，A1A5，AB12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(C)A5B8CD解析以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,12,0)，D1(0,0,5)设B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x0)设平面A1BCD1的法向量为n(a，b，c)，由n，n，得n(a，b，c)(x,0,0)ax0，n(a，b，c)(0，12,5)
8、12b5c0，a0，bc，可取n(0,5,12)又(0,0，5)，点B1到平面A1BCD1的距离为B1C1平面A1BCD1，B1C1到平面A1BCD1的距离为2如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，则点B到平面EFG的距离为(B)ABCD1解析以C为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则F(4,2,0)，E(2,4,0)，G(0,0,2)，B(0,4,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(2，4,2)设平面EFG的法向量为m(x，y，z)，则即令x1，则y1，z3，则m(1,1,3)，点B到平面
9、EFG的距离d3如图，ABCDEFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为(C)ABCD解析如图，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可作为x，y，z轴方向上的单位向量，因为，所以，(1,0,0)，所以P点到AB的距离d4在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则点B1到平面AD1C的距离为(A)ABCD解析如图，以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,4)，B1(2,2,4)，(2,2,0)，(2，0,4)，(2，2,0)设平面A
10、D1C的法向量为n(x，y，z)，则即取z1，则xy2，所以n(2,2,1)，所以点B1到平面AD1C的距离为，故选A二、填空题5如图所示，在直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEB是等腰直角三角形，其中AEB90，则点D到平面ACE的距离为_解析取AB的中点O，连接OE，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(0，1,0)，E(1,0,0)，D(0，1,2)，C(0,1,2)，(0,0,2)，(1,1,0)，(0,2,2)，设平面ACE的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，则平面ACE的一个法向量为(1，1，1)故点D到平面ACE的距离d6棱长为1的
11、正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，G为线段DD1上的点，且DGDD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，则A1D1到平面EFGH的距离为_解析以点D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示则E，F，G，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，(1,0,0)，(1,0,0)，又EF平面EFGH，D1A1平面EFGH，D1A1平面EFGHA1D1到平面EFGH的距离，即为点D1到平面EFGH的距离设平面EFGH的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z6，则y1，n(0，1,6)，n的单位向量n0，又，点D1到平面EFGH
12、的距离d|n0|，A1D1到平面EFGH的距离为7正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为_解析如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4,0,0)，M(2，0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)(2,2,0)，(2,2,0)，(2,0,4)，(2，0,4)，EFMN，BFAM，EFBFF，MNAMM平面AMN平面EFBD设n(x，y，z)是平面AMN的法向量，则解得取z1，则x2，y2，得n(2，2,1)平面AMN到平面EFBD
13、的距离就是点B到平面AMN的距离(0,4,0)，平面AMN与平面EFBD间的距离d三、解答题8四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，AB4，ABC60，侧棱PA底面ABCD，且PA4，E是PA的中点，求PC与平面BED的距离，并说明直线PC上各点到平面BED的距离间的关系解析以A为原点，AB所在直线为x轴，ACD中CD边上的高AF所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则F为CD的中点，A(0,0,0)，B(4,0,0)，F(0，2，0)，C(2,2，0)，D(2，2，0)，P(0,0,4)，E(0,0,2)设平面BED的一个法向量为n(x，y，z)，由(4,0,2)，
14、(2，2，2)，得即取z2，则x1，y，得n(1，2)(2,2，4)，n2680，n，故PC平面BED，PC到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离(0,0,2)，点P到平面BED的距离d，即PC到平面BED的距离为，且直线PC上各点到平面BED的距离都相等9如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD2AB2BC2，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解析取AD的中点O，在PAD中，PAPD，POAD又侧面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面ABCD建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，1,0)，B(1，1,0)，C(1，0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，则(1,0,1)，(1,1,0)假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为，设Q(0，y,0)(1y1)，则(1，y,0)设平面PCD的法向量为n(x0，y0，z0)，则即x0y0z0，取x01，则平面PCD的一个法向量为n(1,1,1)点Q到平面PCD的距离d，y或y(舍去)此时，则|，|存在点Q满足题意，此时