1、3.1 两角和与差的三角函数一、 学习内容、要求及建议知识、方法要求建议两角和与差的余弦向量法理解预习过程中要主动参与公式的发现和推导活动，要重视公式推导中的思维过程，而不是简单的记住公式的结论；将两角和与差的余弦与正弦公式在形式上的异同进行比较，并找到记忆的方法.两角和与差的正弦化归思想两角和与差的正切化归思想二、 预习指导1. 预习目标(1)经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用，掌握推导两角差的余弦公式的多种方法，充分认识到两角差的余弦公式是本单元所有公式的基础；(2)用余弦的差角公式推出余弦的和角公式,理解化归思想在三角变换中的作用；(3)掌握的诱导公
2、式；(4)理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用；(5)能正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形.2. 预习提纲(1)探究两角、的和与差、的三角函数与、的三角函数的关系，如：？反例：，思考问题：与、的关系？解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线阅读课本P91、P92思考如何推导 可记为，有其他推导方法吗?并探究 的公式：以-b代b得： 可记为 .阅读课本P95思考如何推导两角和的正弦公式即： ()以-b代b得： ()阅读课本P100、P101思考如
3、何推导公式 当时, 分子分母同时除以得：以-b代b得： ；其中都不等于(2)阅读课本P91P103的例题，学会公式的灵活运用.课本93页例3是和差角公式与同角三角函数公式的综合运用，在由sin的值求cos的值，或由cos的值求sin的值时，要注意根据角的范围，确定三角函数值的符号.课本96页例3可以看成是和差角公式的逆向运用，也可以运用余弦的差角公式求解，此例题可以体会到三角恒等变换是研究三角函数的工具.课本97页的例4、例5都是通过变换角来消除角的差异，实现解题目标.课本97页的例6的解法体现了方程思想，分析时从解题目标入手，正确掌握公式的结构是灵活运用公式的基础.3. 典型例题(1) 熟悉
4、公式例1 化简：(1)；(2)；(3)；(4).分析：(1)(2)(3)将需要化简的式子与公式相比较，把不吻合的地方用诱导公式变过来(4)仔细套用公式，展开即可.解：(1)原式(2)法1：原式法2：原式(3)原式(4)原式=例2 求值：(1)；(2)；(3).分析：直接从正、反两方面应用公式，形式不吻合时先转化成吻合形式.解：(1)原式=；(2)原式=；(3)原式=.(2) 应用公式进行计算、化简、求值、证明等例3 (1)求的值；(2)已知，求的值.分析：(1)先用诱导公式将“大角”转化为“小角”，再将“非特殊角”转化为“特殊角”.解： 分析：(2)先用结合角的范围求出，再套公式解：， 例4
5、已知，其中，求 分析：注意到已知角与未知角之间的关系：，用诱导公式处理“”，再用和差角公式.解：，又，又，.例5 已知且，求及角.分析：将“”“”看成整体，把用它们的和或差表示出来.解： ，又，.例6 (1)已知，求的值；(2)如果，求的值.分析：(1)将sin，分别展开，仅出现两种不同类型的因子：与，将已知的两个等式看成关于与的方程组，求出它们的值，然后两式相除即可.思考：若条件改为 ，可求什么？(2)因求解目标中不含角，所以解题的关键是“消元”思想.将含的项先移到等式一侧，利用消去.思考：条件怎么改可求的值？解：(1)将，分别展开得：+=-=，两式分别相加、减再除以2得：=，两式相除得，即
6、(2)由条件得 ，两式分别平方相加得：，即，.例7 已知都是锐角，且，求的值.分析：先求的正切，再视为一个角，求出的正切，最后结合的范围求角.解： =都是锐角且， 故.例8 设函数的最小正周期为(1)求的值；(2)若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到，求的单调增区间解：(1)依题意得，故的值为.(2)依题意得：由 解得 故的单调增区间为： 例9 已知，是方程的两个实根，求的值.分析：先求出，若利用同角三角函数的关系分别求、则需要讨论它们的符号，比较麻烦，这里可采用“弦”化“切”的特殊处理方法，通过添分母构造二次齐次式，再同时除以即可.解：，是方程的两个实根， =.原式=(3) 公式的逆
7、用熟练掌握“”，“”( “”)的化简.灵活应用两角和与差的正切公式 如：；等.例10 (1) 函数 的最小值是_；(2)若、是方程的两个根，则=_；(3)化简：=_分析：(1)先展开再合并；(2)将所求式子进行恰当的搭配，结合韦达定理求解；(3)弦切共存时，一般将“切”化成“弦”，再与通分；或将改写成，分别化“弦”再通分.解：(1)=， (2)由韦达定理.原式=(3)原式=例11 求值：(1)；(2).分析：(1)注意到，灵活应用；(2)用(1)的结论.解：(1)原式=1(2)由(1)知，只要，就有=1，从而=1+=1+1=2原式=.4. 自我检测(1)的值等于 (2) (3) (4)化简的结
8、果是 (5)已知 (6)的值为 (6)若 (7)求值：.三、 课后巩固练习 A组1在中，若，则的形状为_ 2化简等于_ 3如果，那么的值等于 4的值等于_ 5化简的值为_ 6的值等于_ 7已知， 则的值为_ 8已知， 那么的值为_ 9求值_ 10下列等式(1)； (2)；(3)；(4). 其中成立的有_ 11已知，则 12的值为_ 13 14已知，则 15已知，则 16已知，则 17设，且，求 18若，求的值 19已知，求的值 20设，则的值等于_ 21已知，则的值为_ 22已知，则的值为_ 23如果那么等于_ 24设和是方程的两个根，则、之间的关系是_ 25求值：(1) _；(2) =_ ；
9、 (3)=_ (4) =_ 26在中，则 27已知和是方程的两个根，则 .28已知，求的值 29在中，求的值 B组30化简求值：=_ 31化简求值： 32化简求值：. 33，那么 34已知，求cos的值 35已知，则，的范围分别是_ 36若，则_ 37已知，且，则_ 38若，则与的大小关系是 39若等式能够成立，则的取值范围是是 40已知，则 41已知是的三个内角，且，试判断的形状 42已知是偶函数，求 43求函数的最值 44 45若是锐角三角形，试比较大小： 1 46. 求值 47.已知，求的值 48.已知函数其中， (1)若求的值；w.w.w.zxxk.c.o.m (2)在(1)的条件下，
10、若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数.49已知又，都是钝角，求的值 50关于的一元二次方程的两个实数根分别为求的取值范围C组51函数的最小正周期是_ 52已知，求的值 53在ABC中，已知，求cosC的值. 54是否存在锐角和，使下列两式：，同时成立？若存在，求出和；若不存在，请说明理由.55已知，其中，求的值及、的值 知识点题号注意点两角和与差的余弦 直接应用公式逆用、变用灵活运用公式两角和与差的正弦 注意运用辅助角公式研究函数性质两角和与差的正切公式的变形运用求角的大小 注意角的范围 综合题公式的灵活运
11、用四、 学习心得五、 拓展视野1.课本上用向量的数量积推导了两角差的余弦公式，课本提供了另一个不用向量的证明思路，我们来试试看吧！yxO如图：在直角坐标系中，单位圆O与轴交于，以为始边分别作出角，其终边分别和单位圆交于，.，.由三角函数的定义，的坐标分别为，由两点之间的距离公式得化简得，即2.课本上用“”代“”的方法推导了两角和的余弦公式，如何用向量的数量积直接推导呢？仿书上证明，只要将角对称地翻折到轴下方即可.此时，坐标为，其它证明相同.3.关于角的范围的限定是三角函数里的一个难点，我们既要掌握一点“缩角”的方法，更要善于避免“缩角”来优化我们的解题过程.例如:(1)已知都是锐角，且，求角的
12、值.学生甲给出如下解答：都是锐角，且，.由正弦函数的性质，满足条件的角有两个：或.学生乙给出如下解答：都是锐角，且， .由余弦函数的性质，满足条件的角只有一个：.试讨论甲和乙到底谁对谁错？解：满足都是锐角，且的角是唯一的，故的值也唯一，不可能多解，所以甲肯定不对.事实上，由，以及函数在上单调递增知，同理，由知，所以，不可能等于(2)在ABC中，已知，求的值.解一： 且，又 或， 解二：，当时，与矛盾.解三， B只能是锐角.4课本证明了这样一个优美的结论：斜中，,事实上，斜中还有不少类似的等式，如等等.下面我们来证明证明：要证原等式，只要证只要证，只要证只要证(*).=，(*)式成立 原等式成立.其它几个等式，有兴趣的同学试试看吧！