1、2.2幂函数、指数函数、对数函数及分段函数命题角度1幂、指数、对数的运算与大小比较高考真题体验对方向1.(2019全国3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.abcB.acbC.cabD.bca答案B解析因为a=log20.220=1,又0c=0.20.30.201,所以acb.故选B.2.(2018全国12)设a=log0.20.3,b=log20.3,则()A.a+bab0B.aba+b0C.a+b0abD.ab00,b=log20.30,ab0.又a+b=lg0.3lg0.2+lg0.3lg2=lg3-1lg2-1+lg3-1lg2=(lg3-1)(2lg2
2、-1)(lg2-1)lg2而lg 2-10,2lg 2-10,lg 3-10,a+b0.a+bab=1b+1a=log0.32+log0.30.2=log0.30.4log0.30.3=1.abb0,且ab=1,则下列不等式成立的是()A.a+1bb2alog2(a+b)B.b2alog2(a+b)a+1bC.a+1blog2(a+b)b2aD.log2(a+b)a+1bb2a答案B解析不妨令a=2,b=12,则a+1b=4,b2a=18,log2(a+b)=log252(log22,log24)=(1,2),即b2alog2(a+b)a+1b.故选B.4.(2017全国11)设x,y,z为正
3、数,且2x=3y=5z,则()A.2x3y5zB.5z2x3yC.3y5z2xD.3y2x1.则x=log2t=lgtlg2,同理,y=lgtlg3,z=lgtlg5.2x-3y=2lgtlg2-3lgtlg3=lgt2lg3-3lg2lg2lg3=lgt(lg9-lg8)lg2lg30,2x3y.2x-5z=2lgtlg2-5lgtlg5=lgt(2lg5-5lg2)lg2lg5=lgt(lg25-lg32)lg2lg50,2x5z,3y2x1,可得2x3y;再由2x5z=2ln55ln2=ln25ln321,可得2x5z.所以3y2xbcB.bacC.cabD.bca答案A解析a=30.3
4、1,0b=ln 21,c=log2cos 6=log232bc.选A.3.(2019河南八市联考二)设a=2313,b=1323,c=log2313,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.bacC.acbD.cab答案D解析a=23132323,b=13232323,且2313log2323=1,cab.故选D.4.(2019安徽安庆二模)已知正数x,y,z,满足log2x=log3y=log5z0,则下列结论不可能成立的是()A.x2=y3=z5B.y3z5y3z5D.x2y30,则x2=2k-1,y3=3k-1,z5=5k-1,所以当k=1时,x2=y3=z5;当k1时,x2y3z5;
5、当0ky3z5.故选B.5.已知0ab1,则()A.lnalnbblnbC.aln abb答案B解析0ab1,ln aln b1,故A错误;01lna1lnb,-1lna-1lnb0,-alna-blnbblnb,B正确;又-ln a-ln b0,但-aln a与-bln b的大小不确定,故C错误;由指数函数的单调性可知aaab,由幂函数的单调性可知abbb的大小关系不确定,故D错误.所以选B.命题角度2幂函数、指数函数与对数函数的图象与性质高考真题体验对方向1.(2019浙江6)在同一直角坐标系中,函数y=1ax,y=logax+12(a0,且a1)的图象可能是()答案D解析当0a1时,函数
6、y=ax的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数y=1ax的图象过定点(0,1)且单调递减,函数y=logax+12的图象过定点12,0且单调递增,各选项均不符合.故选D.2.(2014福建4)若函数y=logax(a0,且a1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是()答案B解析由图象可知loga3=1,所以a=3.A选项,y=3-x=13x为指数函数,在R上单调递减,故A不正确.B选项,y=x3为幂函数,图象正确.C选项,y=(-x)3=-x3,其图象和B选项中y=x3的图象关于x轴对称,故C不正确.D选项,y=log3(-x),其图象与y=log3x的图象关于y轴对称,故D选项不正确.综
7、上,可知选B.典题演练提能刷高分1.在同一直角坐标系中,函数f(x)=2-ax,g(x)=loga(x+2)(a0,且a1)的图象大致为()答案A解析由题意知,当a0,函数f(x)=2-ax为单调递减函数,当0a2,且函数g(x)=loga(x+2)在(-2,+)上为单调递减函数;当a1时,函数f(x)=2-ax的零点x0=2a0,且a1)的值域为y|00,且a1)的值域为y|0y1,得0a1.y=loga|x|在(0,+)上单调递减,排除B,C,D.又因为y=loga|x|为偶函数,函数图象关于y轴对称,故A正确.3.已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上,设a=f33,b
8、=f(ln ),c=f22,则a,b,c的大小关系为()A.acbB.abcC.bcaD.bac答案A解析由题意,点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上,即8=(m-1)mn,则m=2,n=3,即f(x)=x3,则f(x)在(0,+)上是单调递增函数.又33221ln ,所以f33f22f(ln ),所以acb,故选A.4.设x1,x2,x3均为实数,且12x1=log2(x1+1),12x2=log3x2,12x3=log2x3,则()A.x1x3x2B.x3x2x1C.x3x1x2D.x2x1x3答案A解析x1,x2,x3分别是函数y=12x与y=log2(x+1),y=lo
9、g3x,y=log2x图象的交点的横坐标,作出函数y=12x,y=log2(x+1),y=log3x,y=log2x的图象如图所示,由图可得x1x3x2,故选A.5.已知函数f(x)=ex-12(x0)与g(x)=ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围是()A.-,1eB.-,eC.-1e,eD.-e,1e答案B解析函数f(x)与g(x)的图象上存在关于y轴对称的点,即f(-x)=g(x)有解,即函数y=f(-x)与函数y=g(x)的图象有交点,在同一直角坐标系内画出函数y=f(-x)=e-x-12与函数y=g(x)=ln(x+a)的图象.将点0,12代入g(x),得a
10、=e,则若两图象有交点,a0,所以8x+11,据此可知f(x)=log3(8x+1)0,所以函数的值域为(0,+).命题角度3分段函数问题高考真题体验对方向1.(2019浙江9)设a,bR,函数f(x)=x,x0,13x3-12(a+1)x2+ax,x0.若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点,则()A.a-1,b0B.a0C.a-1,b-1,b0答案C解析当x0时,由x=ax+b,得x=b1-a,最多一个零点取决于x=b1-a与0的大小,所以关键研究当x0时,方程13x3-12(a+1)x2+ax=ax+b的解的个数,令b=13x3-12(a+1)x2=13x2x-32(a+1)=g(x)
11、.画出三次函数g(x)的图象如图所示,可以发现分类讨论的依据是32(a+1)与0的大小关系.若32(a+1)0,即a0,即a-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=32(a+1)为奇重零点穿过,当b0时g(x)与y=b可以有两个交点,且此时要求x=b1-a0,故-1a1,b0,g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.-1,0)B.0,+)C.-1,+)D.1,+)答案C解析要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a的图象有两个交点,从图象可知,必须使得直线y=-x-a位于直线
12、y=-x+1的下方,所以-a1,即a-1.故选C.3.(2015全国5)设函数f(x)=1+log2(2-x),x1,则f(f(10)=()A.9B.1C.110D.0答案B解析由题意,f(f(10)=f(lg 10)=f(1)=100=1.2.(2019山西晋城二模)已知函数f(x)=4x2-1,x0,sin 2x-cos 2x,x0,则ff12=.答案2解析f12=sin 212-cos 212=-cos6=-32,f-32=434-1=2.3.已知函数f(x)=log2(1-x),x1,3x-7,x1,若f(x)=-1,则x=.答案12或log36解析当x0,若f(a)2,则实数a的取值
13、范围是.答案(-,-14,+)解析当a0时,12a2,故a-1;当a0时,log2a2,故a4.故a的取值范围是(-,-14,+).5.已知函数f(x)=2x,x1,log2x,x1,若直线y=m与函数f(x)的图象只有一个交点,则实数m的取值范围是.答案m=0或m2解析作出函数f(x)的图象,如图所示.当x0,则满足f(x)+f(x-1)1的x的取值范围是.答案(0,+)解析当x0时,x-1-1.f(x)+f(x-1)=x+1+(x-1)+1=2x+11,即x0,此时无解.当020=1,此时f(x)+f(x-1)1恒成立.当x1时,x-10,f(x)+f(x-1)=2x+2x-1=32x-1,2x-120=1,此时f(x)+f(x-1)1恒成立.综上所述,满足f(x)+f(x-1)1的x的取值范围是(0,+).
