1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.2 指数函数一、 学习内容、要求及建议知识、方法要求建议根式了解会进行根式与分数指数幂的互化.分数指数幂理解从实际背景和定义两个方面理解分数指数幂，能熟练运用指数运算性质进行化简、计算，并能运用公式简化运算过程指数函数理解要先学会画它们的图象，观察它们的图象，充分利用图象来研究它们的性质和解决一些问题.二、 预习指导1. 预习目标(1)通过具体实例(如细胞分裂，考古中所用的的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函数模型的实际背景认识学习指数函数的必要性；理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，理解次方根与次根式的概念，熟练掌握用根式与
2、分数指数幂表示一个正实数的算术根；能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化. (2)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的性质，能利用函数的平移与对称变换，讨论指数函数的图象；能运用指数函数的单调性，比较两个指数式值的大小，能研究一些与指数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性等问题.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型. 2. 预习提纲(1)复习八年级(上)P51-52页平方根的定义与性质、P55-56立方根的定义与性质；九年级(上)P58-59二次根式的定义与性质. (2)阅读课
3、本P45-46页次实数方根的定义与性质；分数指数幂的定义与运算性质；P49-50页指数函数的定义、图象与性质(完成下列表格空白处). y=ax(0a1)图象 性质(3)阅读课本P46-47的例题例1讲的是简单根式的运算，总结用到的运算性质.例2讲的是简单分数指数幂的运算，总结用到的运算性质.例3讲的是根式化为分数指数幂，总结方法.阅读课本P50-54的例题例1 比较两个同底数幂大小，可以构造指数函数，利用指数函数的单调性来解决.总结比较同底数幂的大小的方法.例2 构造指数函数，利用指数函数的单调性来解决未知量的取值范围. 例3作出函数与函数的图象，说明它们与函数的图象的关系.总结：一般地，函数
4、与函数的图象之间的关系.例4、例5、例6是指数函数的实际应用，体会三道例题写出了解析式的方法，体会函数模拟的作用.你能举两个具有指数函数模型的实际问题吗？ 3. 典型例题(1) 分数指数幂及其运算例1 计算：(1)；(2)47.分析：(1)式中可将小数指数幂化成分数指数幂的形式，再用分数指数幂的运算性质化简；(2)式中注意.解：(1) 原式=；(2) 原式= 点评：要注意分数指数幂的，等运算性质是在底数为正数时才成立的.例2 化简：(1) ；(2) 分析：分数指数幂和根式形式同时出现时，一般统一化成分数指数幂的形式，便于使用分数指数幂的运算性质进行化简.解：(1) 原式= =；(2) 原式 点
5、评：计算时要灵活应用：平方差：，立方差：，立方和：等公式(2) 图象问题例3 在同一坐标系中画出函数y=3x与的图象，并说出它们之间的关系.分析：列表描点作图，注意图象的变化趋势. 解：如图，作出三个函数、和的图象，可以看出点评：利用指数函数的图象直观感觉函数图象的平移变换与对称变换.一般的，函数的图象与函数的图象关于轴对称；函数的图象向左平移1个单位得到函数的图象.例4 画出函数的图象，并利用图象回答：(1)的单调区间是什么？(2)k分别为何值时，方程|3x1|=k无解？只有一解？有两解？分析：(1)图象有两种画法，法一：解析式改写成 ，分两段画出图象，其中的图象与的图象关于轴对称 ；法二：
6、的图象可由在轴上方的图象不变，轴下方图象对称翻折到轴上方而得.(2)两函数与图象交点的个数，即为方程|3x1|=k解的个数，所以只要平移直线，观察它与的图象的交点个数即可.O1解： (1) 如图：作出函数的图象，由图可知，的单调增区间是；单调减区间是；(2)平移直线， 当时，直线与 的图象无交点，故方程无解； 当时，直线与 的图象有一个交点，故方程只有一解；当时，直线与 的图象有两个交点，故方程有两解.点评：分两段画图时，一般先画全体再按范围截取；利用的图象进行平移、翻折变换时，注意它的渐进线也要带着变换.(3) 性质例5 求下列函数定义域(1) ； (2) 分析：先列出使函数解析式有意义的不
7、等式或不等式组，再准确解之. 解：(1) 由题得：，定义域为.(2) 由题得：，即，即，定义域为 点评：在解指数不等式时，关键是将不等式两边化为同底，然后根据指数函数的单调性来解 例6 求下列函数的值域：(1) ； (2)(为大于1的无理数)； (3) 分析：(1)画图即可；(2)令，先求的范围，再求的范围；(3)令，转化成二次函数在区间上的最值问题.解：(1) 函数在上单调递减，故时，时，值域为. (2) 令，则，且在上单调递增，值域为.(3) 令，则为开口向下的抛物线，对称轴为，值域为.点评：对于复合函数的值域问题，主要是通过换元法将其化归为所熟悉的初等函数的值域来解决，但要特别注意换元后
8、元的范围.例7 比较下列各组数的大小：(1)； (2)； (3),.分析：(1)利用指数函数的单调性；(2)都化为以2为底的指数幂形式，再利用指数函数的单调性；(3)无法化为同底，插入中间量.解：(1)是R上的单调递减函数，且， ； (2)，且是R上的单调递增函数 (3),点评：应用指数函数的单调性来比大小，关键是化为同底，同时关注底数与1的关系.不能化同底时常借助中间量1、0等来过渡例8 已知函数，证明：在(0，1)上是减函数.分析：用函数单调性的定义证明单调性的基本步骤是：取值、作差(同正时也可考虑作商)、变形、定号、下结论.解：在(0，1)上任取，且，则，即，故在(0，1)上单调递减.点
9、评：对“”的变形是关键，目标是将其分解成若干因子的积或商的形式.例9 求下列函数的单调区间：(1)； (2)分析：(1)(2)都可看成指数函数与二次函数的复合函数，利用复合法则求单调区间.解：(1) 函数是由函数，与函数复合而成，且 为单调递减函数，要求的单调递增区间，即求的减区间，即，的单调递增区间为；同理，的单调递减区间为(2) 函数是由函数及函数复合而成，单调递减，在上单调递增，的单调递减区间为，无单调递增区间.点评：指数函数与其他函数的复合函数单调性的讨论，往往利用单调性的复合法则，要注意复合法则“同增异减”.例10 判断函数的奇偶性.分析：先求函数的定义域，再求，也可求，看其是否为0
10、.解：定义域为，关于原点对称.法一： 是偶函数.法二： =0.所以，是偶函数.点评：对的变形要时刻关注或的形式，不断对比.如果变形有困难，也可求.例11 若函数为奇函数，求实数的值；分析：用定义法或用特殊值法解：法一：是奇函数，即，即法二：函数为奇函数，且在x0处有定义，即，此时，满足总成立，点评：根据一组特殊值f(-x1)= -f(x1)解得的a，需再验证a是否对所有的定义域内的都有成立.例12 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2，试解答下面的问题.(1) 写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2) 计算10年以后该城市人口总数；(精确到0.1万人)
11、分析：根据题意，运用指数函数模型可以解决这个实际问题.解：(1) 1年以后该城市人口总数为； 2年以后该城市人口总数为； x年以后该城市人口总数为. (2) 10年后该城市人口总数为(万人)答：(1) 城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式为；(2) 10年后该城市人口总数约为(万人)点评：需要用计算器计算.4. 自我检测(1)化简：；(2)计算；(3)下列函数；.是指数函数的有_(4)函数的值域是_(5)把函数的图象向_平移_个单位得函数的图象(6)不等式的解集是_三、 课后巩固练习A组1计算： (1) _ (2)=_ 2化简 (1) 时，=_. (2) = _3(1)若函数是指数
12、函数，则a=_ (2)已知指数函数f(x)的图象经过点(2，3)，则f(-2)= _4比较下列各组数的大小： (1) ； (2)；(3)5解下列不等式： (1)； (2)6求下列函数的定义域： (1) ； (2) 7求下列函数的值域 (1)f (x)=1， ； (2)； (3) ； (4)； (5) 8(1)若的图象恒过定点P，则点P坐标为_ (2)已知0a1，b0，xR，将下列各式分别用u表示出来： 14二次函数y=ax2+bx与指数函数y=()x的图象只可能是 ( )15已知函数的图象与函数的图象关于原点对称，则f(2x)= _16怎样由函数y=4x的图象，通过适当的变换得到函数的图象？1
13、7已知，试求f(x)g(x)的解集18若函数的定义域为，则实数的取值范围是_19设定义上的运算：，则函数的最大值是_20函数f(x)=ax(a0，a1)在1，2中的最大值比最小值大，则a的值为 21已知函数在上最大值为14，求实数的值22若为奇函数，求b的值23已知函数，且，函数的定义域为(1)求的解析式； (2)求的单调区间； (3)求的值域 24设，(1)若0a1，求f (a)+f (1-a)的值；(2)利用(1)的结论，求的值25已知函数，(1)求f(x)定义域和值域； (2)讨论f(x)奇偶性； (3)讨论f(x)单调性C组26若函数 则不等式的解集为_27关于x 方程有负根，则a的取
14、值范围为_28已知函数若存在使则b的取值范围为_29设，如果当时，有意义，则实数a的取值范围是_30已知函数 (其中，为常量，且，)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)(1)求； (2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围31阅读不等式的解法：由得，显然在定义域内是减函数，又当时，即；当时， 所以不等式的解集为.利用解此题的方法证明：有惟一解32富兰克林是美国著名的科学家、社会活动家，他的业绩遍及19个科技领域这位科学家死后只留下了一千英镑的遗产，然而他却留下了几十万英镑的遗嘱，这份有趣的遗嘱内容是这样的：“一千英镑赠给波士顿的居民，如果他们接受了这一千英镑，那么这笔钱应该托付给一些挑选出
15、来的公民，他们得把这些钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息这些款过了100年增加到131000英镑我希望那时侯用100000英镑来建立一所公共建筑物，剩下的31000英镑拿去继续生息100年”请你计算一下富兰克林的遗嘱能实现吗？知识点 题号注意点分数指数幂注意灵活运用运算性质进行化简与计算.指数函数注意依据指数函数的图象熟记指数函数的性质，并能在解题中灵活运用.综合问题注意各知识点间的联系.实际问题注意问题的实际意义.四、 学习心得五、 拓展视野 指数的历史个相同的因数相乘，即，记作，叫作的次幂，这时叫做指数.本来，幂的指数总是正整数，后来随着数的扩充，指数的概念也不断发展.正整数指
16、数幂，特别是与面积、体积的计算联系紧密的平方和立方的概念，在一些文明古国很早就有了.我国汉代曾有人提出过负整数指数的概念，可惜未曾流传开来.15世纪末，法国数学家休凯引入了零指数概念.17世纪英国的瓦利士在他的无穷小算术中提出了负指数，他写道：“平方指数倒数的数列的指数是-2，立方指数倒数的数列的指数是-3，两项逐项相乘，就有了五次幂倒数的数列它的指数显然是(-2)+(-3)=-5.同样，平方根倒数的数列的指数是”这是一个巨大的进步，不过瓦利士没有真正使用的指数符号.分数指数幂最早在奥力森的比例算法中出现，他使用的符号不简洁.现在的分数指数和负指数是牛顿创设的.牛顿在1676年6月13日写信给莱布尼兹说：“因为当代数学家将等写成，所以我将写成；又将写成”.牛顿还首先使用任意实数指数.18世纪以后，人们发现复数还可用三角式即指数式表示，从而得到了一般复数指数的概念.1679年莱布尼兹写信给荷兰数学家惠更斯讨论方程，这是引入变指数的开始.指数概念形成以后，欧拉才把对数建立在指数的逆运算的基础上，这就是现行教科书中广泛采用的方法.- 13 - 版权所有高考资源网