1、2.4等比数列第1课时等比数列的概念及通项公式学习目标1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.知识点一等比数列的概念思考观察下列4个数列，归纳它们的共同特点.1,2,4,8,16，；1，；1,1,1,1，；1,1，1,1，.答案从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数.梳理等比数列的概念和特点.(1)文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q0).(2)递推公式形式的定义：q(n1)(或q，nN*).(3)
2、等比数列各项均不能为0.知识点二等比中项的概念思考在2,8之间插入一个数，使之成等比数列.这样的实数有几个？答案设这个数为G，则，G216，G4，所以这样的数有2个.梳理等比中项与等差中项的异同，对比如下表：对比项等差中项等比中项定义若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项定义式AabA公式AG个数a与b的等差中项唯一a与b的等比中项有两个，且互为相反数备注任意两个数a与b都有等差中项只有当ab0时，a与b才有等比中项知识点三等比数列的通项公式思考等差数列的通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式吗？答案
3、等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项，等比数列则可用累乘.根据等比数列的定义得q，q，q，q(n2).将上面n1个等式的左、右两边分别相乘，得qn1，化简得qn1，即ana1qn1(n2).当n1时，上面的等式也成立.ana1qn1(nN*).梳理等比数列an首项为a1，公比为q，则ana1qn1.1.常数列既是等差数列，又是等比数列.()2.若a，b，c成等比数列，则a，c的等比中项一定是b.()3.若an1qan，nN*，且q0，则an是等比数列.()4.任何两个数都有等比中项.()类型一等比数列的判定例1已知f(x)logmx(m0且m1)，设f(a1)，f(a2)，f(an)，是
4、首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列an是等比数列.考点等比数列的判定题点证明数列为等比数列证明由题意知f(an)42(n1)2n2logman，anm2n2，m2，m0且m1，m2为非零常数，数列an是等比数列.反思与感悟判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即q(与n无关的常数).跟踪训练1已知数列an的前n项和为Sn，且Sn(an1)(nN*).(1)求a1，a2；(2)证明：数列an是等比数列.考点等比数列的判定题点证明数列为等比数列(1)解a1S1(a11)，a1.又a1a2S2(a21)，a2.(2)证明Sn(an1)，Sn1(an11)，两式相减得an1an1an，即a
5、n1an，又a10，an0，nN*，数列an是首项为，公比为的等比数列.类型二等比数列通项公式的应用例2一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.考点等比数列基本量的计算题点求等比数列的项解设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么，得q，将q代入，得a1.因此，a2a1q8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是与8.反思与感悟已知等比数列an的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项.跟踪训练2在等比数列an中：(1)已知a13，q2，求a6；(2)已知a320，a6160
6、，求an.考点等比数列基本量的计算题点求等比数列的项数解(1)由等比数列的通项公式得，a63(2)6196.(2)设等比数列的公比为q，那么解得所以ana1qn152n1.例3为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2014年底，将当地沙漠绿化了40%，从2015年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg20.3，最后结果精确到整数)考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题解设该地区总面积为1,2014年底绿化面积为a1，经过
7、n年后绿洲面积为an1，设2014年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn1，则a1b11，anbn1.依题意，an1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%an的剩余面积92%an，另一部分是新绿化的12%bn，an192%an12%(1an)an，即an1，a1，是以为首项，为公比的等比数列，ann1，ann1，则an1n，an150%，n，n3.1，则当n4时，不等式n0，且a1a21，a3a49，则a4a5的值为()A.16B.27C.36D.81考点等比数列的概念题点等比数列的概念答案B解析a1a21，a3a49，q29.q3(q3舍去)，a4a5(a3a4)q27
8、.5.已知a，b，cR，如果1，a，b，c，9成等比数列，那么()A.b3，ac9B.b3，ac9C.b3，ac9D.b3，ac9考点等比中项题点利用等比中项解题答案B解析b2(1)(9)9且b与首项1同号，b3，且a，c必同号.acb29.6.在等比数列an中，a11，公比|q|1.若ama1a2a3a4a5，则m等于()A.9B.10C.11D.12考点等比数列基本量的计算题点利用基本量法解题答案C解析在等比数列an中，a11，ama1a2a3a4a5aq10q10.ama1qm1qm1，m110，m11.7.已知a，b，c，d成等比数列，且曲线yx22x3的顶点是(b，c)，则ad等于(
9、)A.3B.2C.1D.2考点等比中项题点利用等比中项解题答案B解析y(x1)22，b1，c2.又a，b，c，d成等比数列，adbc2.二、填空题8.在等比数列an中，若a33，a10384，则公比q_.考点等比数列基本量的计算题点求等比数列公比答案2解析a3a1q23，a10a1q9384，两式相除得，q7128，所以q2.9.在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为_.考点等比数列基本量的计算题点求等比数列的项答案80,40,20,10解析设这6个数所成等比数列的公比为q，则5160q5，q5，q.这4个数依次为80,40,20,10.10.数列an是等差数
10、列，若a11，a33，a55构成公比为q的等比数列，则q_.考点等比中项题点利用等比中项解题答案1解析设等差数列的公差为d，则a3a12d，a5a14d，(a12d3)2(a11)(a14d5)，解得d1，q1.11.若an为公比大于1的等比数列，a32，a2a4，则an的通项公式为_.考点等比数列的通项公式题点已知数列为等比数列求通项公式答案an23n3解析设等比数列an的公比为q，则q1.a2，a4a3q2q，2q，解得q1(舍)，q23.由q3知，a1，an3n123n3.三、解答题12.已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求a
11、n的通项公式.考点等比数列的判定题点证明数列为等比数列解(1)由题意可得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10，得2an1(an1)an(an1).因为an的各项都为正数，所以.故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an.13.已知数列an的首项为1，Sn为数列an的前n项和，且Sn1qSn1，其中q0，nN*.若2a2，a3，a22成等差数列，求an的通项公式.考点等比数列的通项公式题点判断数列为等比数列后求通项解由Sn1qSn1可知当n2时，SnqSn11，两式相减可得an1qan，又n1时，S2qS11，即a1a2qa11，解得a2q0，an0，q(n2).又q，an是公比
12、为q的等比数列.根据2a2，a3，a22成等差数列，由等差数列性质可得2a2a222a3，即2q23q20，解得q2或q，由q0可知，q2，所以an2n1，nN*.四、探究与拓展14.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，jN*)，则a53的值为()A.B.C.D.考点等比数列基本量的计算题点求等比数列的项答案C解析第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51(51).又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a532.15.设数列an的首项a1a，且an1记bna2n1，n1,2,3，.(1)求a2，a3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论.考点等比数列的判定题点证明数列为等比数列解(1)a2a1a，a3a2a.(2)因为a4a3a，所以a5a4a，所以b1a1a，b2a3，b3a5.猜想：数列bn是公比为的等比数列.证明如下：因为bn1a2n1a2nbn(nN*)，又b1a1a0，所以bn0，所以，nN*所以数列bn是首项为a，公比为的等比数列.
