1、抛物线【题组一 抛物线的定义】1（2020全国高二课时练习）已知抛物线上一点P到准线的距离为，到直线:为，则的最小值为（ ）A3B4CD【答案】A【解析】抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，所以过焦点作直线的垂线，则该点到直线的距离为最小值，如图所示；由，直线，所以，故选A.2（2020全国高二课时练习）若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则等于（ ）AB1CD2【答案】D【解析】由题意，3x0=x0+，x0=p0，p=2.故选D3（2020昆明市官渡区第一中学高二期中（文）已知抛物线上点（在第一象限）到焦点距离为5，则点坐标为（ ）ABCD【答案】C【解析】设，因为点到焦点距离
2、为5即,根据抛物线定义：，解得：，代入抛物线方程，得即故选：C4（2020广东佛山.高二期末）已知抛物线上的点到其焦点的距离为2，则的横坐标是（ ）ABCD【答案】C【解析】抛物线焦点，准线方程为，设点的横坐标为，根据抛物线的定义，.故选:C5（2020定远县民族学校高二月考（理）已知抛物线：的焦点为，是上一点，且，则（ ）ABCD【答案】D【解析】，如图，由抛物线的几何意义，可知，所以，所以，故选D6（2020沙坪坝.重庆八中高二月考）若抛物线y22px（p0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（ ）Ap1Bp1Cp2Dp2【答案】D【解析】设P为抛物线的任意一点，则P到焦点的
3、距离等于到准线：x的距离，显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值，即p2故选：D7（2019河南濮阳.高二月考（文）若点为抛物线上的动点，为的焦点，则的最小值为（ ）A1BCD【答案】D【解析】由y2x2，得，2p，则，由抛物线上所有点中，顶点到焦点距离最小可得，|PF|的最小值为故选D【题组二 抛物线的标准方程】1（2020全国高二课时练习）已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是（ ）ABCD【答案】C【解析】作，垂足为点D由题意得点在抛物线上，则得由抛物线的性质，可知，因为，所以所以，解得：由，解得：（舍去）或故抛
4、物线C的方程是故选C2（2020定远县育才学校高二月考（文）设斜率为2的直线过抛物线的焦点F，且和y轴交于点A若为坐标原点)的面积为，则抛物线的方程为（ ）Ay24xBy28xCy24xDy28x【答案】D【解析】的焦点是，直线的方程为，令得，所以由的面积为得，故选.3（2020天津和平.耀华中学高二期末）设抛物线 ()的焦点为,准线为,过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线,垂足为.若,且三角形的面积为,则的值为( )ABCD【答案】C【解析】过点B作交直线AC于点M，交轴于点N，设点，由得，即，又因为,所以,所以，所以，由可解得，在中，所以，所以,解得或（舍去），故选：C4（201
5、8河南洛阳.高二一模（文）已知点，抛物线：的焦点为，射线与抛物线交于点，与抛物线准线相交于，若，则的值为（ ）A4B1C2D3【答案】C【解析】依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K由抛物线的定义知|MF|=|MK|，则|KN|：|KM|=2：1，得p=2，选C.5（2019黑龙江香坊.哈尔滨市第六中学校高二期中（文）已知点在抛物线上，则_；点到抛物线的焦点的距离是_.【答案】2 2 【解析】点代入抛物线方程得：，解得：；抛物线方程为：，准线方程为：，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离：故答案为2,26（2020全国高二课时练习）已知抛物线的焦点为，准线为若位于轴上方的动点在准线
6、上，线段与抛物线相交于点，且，则抛物线的标准方程为_【答案】【解析】如图所示，设，过点作于点，由抛物线的定义知，；在中，从而；又，所以，即，所以；在中，所以，所以抛物线的标准方程为故答案为7（2020四川省广元市川师大万达中学高二期中）已知抛物线的准线与圆相切，则的值为_.【答案】2；【解析】抛物线y2=2px（p0）的准线方程为x=，因为抛物线y2=2px（p0）的准线与圆（x3）2+y2=16相切，所以3+=4，解得p=2故答案为2【题组三 直线与抛物线的位置关系】1（2018湖南衡阳市八中高二期中（文）过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线共有( )A1条
7、B2条C3条D4条【答案】C【解析】通过图形可知满足题目要求的直线只能画出3条2（2020四川南充.高二期末（文）已知过点M（1，0）的直线AB与抛物线y2=2x交于A，B两点，O为坐标原点，若OA，OB的斜率之和为1，则直线AB方程为_【答案】2x+y-2=0【解析】依题意可设直线AB的方程为：x=ty+1，代入y2=2x得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=-2，y1+y2=2t，所以，解得，直线AB的方程为：x=+1，即2x+y-2=0故答案为2x+y-2=03（2020四川阆中中学高二月考（文）直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到直线的距离等于_.【答案】【解析】如图
8、，直线过定点，而抛物线的焦点为，弦的中点到准线的距离为，则弦的中点到直线的距离等于故答案为：4（2020昆明市官渡区第一中学高二期末（理）设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则直线的方程为_【答案】【解析】抛物线方程为，抛物线焦点为，准线为，设，因为在第一象限，所以直线的斜率，设直线方程为，代入抛物线方程消去，得，过的中点作准线的垂线与抛物线交于点，设点的坐标为，可得，得到，可得，解之得，所以，直线方程为，即,，故答案为.【题组四 弦长】1（2019安徽滁州.高二期末（理）已知为抛物线上的不同两点，为抛物线的焦点，若，则（ ）AB10CD
9、6【答案】C【解析】设，则，又，由，得，.故选C2（2020江西赣州.高二月考（理）过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，且，则弦的长为（ ）AB4CD【答案】C【解析】抛物线的焦点弦公式为：，由抛物线方程可得：，则弦的长为.本题选择C选项.3（2020河南淇滨。鹤壁高中高二月考（文）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的值为（ ）A10B8C6D4【答案】B【解析】根据过抛物线焦点的弦长公式有.故选B.4（2019遵义市南白中学（理）已知过抛物线焦点的直线交其于两点，为坐标原点若，则的面积为_.【答案】【解析】设直线AB的倾斜角为（0），|AF|3，点A到准线l：x1的距离为3，2
10、+3cos3，即cos，则sinBF2+ BF cos（）BFAOB的面积为S故答案为：5（2020威远中学校高二月考（文）过抛物线的焦点作倾斜角为的弦，则的弦长为.【答案】【解析】这是一个求过抛物线的焦点弦的长度的问题，可以先求出过抛物线的焦点的弦所在直线的方程，然后再将直线方程与抛物线方程联立，并结合韦达定理，即可求得结果.由于抛物线的焦点是，所以直线方程是，联立消得，所以，故答案应填.6（2018民勤县第一中学高二期末（文）过抛物线y2=4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点，O为坐标原点，则POQ的面积为_.【答案】【解析】设P，Q，则，过抛物线y2=4x的焦点（1，0），倾
11、斜角为的直线为x-y-1=0，即x=1+y，代入y2=4x得：，即，【题组五 定点定值】1.（2019山西太行中学高二月考（理）已知为抛物线的焦点，过的动直线交抛物线于，两点当直线与轴垂直时，（1）求抛物线的方程；（2）设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点，抛物线上存在点使得直线，的斜率成等差数列，求点的坐标【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，在抛物线方程中，令，可得于是当直线与轴垂直时，解得所以抛物线的方程为（2）因为抛物线的准线方程为，所以设直线的方程为，联立消去，得设，则，若点，满足条件，则，即，因为点，均在抛物线上，所以代入化简可得，将，代入，解得将代入抛物线方程，可得于是点
12、为满足题意的点2（2019安徽六安一中高二月考（文）已知是抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.（1）求抛物线的标准方程；（2）若、是抛物线上的两个动点，且，为坐标原点，求证：直线过定点.【答案】（1）;（2）证明见解析【解析】（1）由题意得,解得,因为点在抛物线上,则,解得,又,所以,即拋物线的标准方程为.（2）设,因为,所以,即得,因为点、在抛物线上,所以,代入得,因为,则,设直线的方程为,联立,得,则,所以,所以直线的方程为，过定点.3（2019黄石市教育科学研究院高二期末（理）已知点F是拋物线C:y2=2px(p0)的焦点,点M(x0,1)在C上,且|MF|=.(1)求p的值;(2)若直线
13、l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点,证明:直线AM与直线BM的斜率之积为常数.【答案】（1）；（2）【解析】(1)由抛物线定义知|MF|=x0+,则x0+=x0,解得x0=2p,又点M(x0,1)在C上,所以2px0=1,解得x0=1,p=.(2)由(1)得M(1,1),C:y2=x.当直线l经过点Q(3,-1)且垂直于x轴时,不妨设A(3,),B(3,-),则直线AM的斜率kAM=,直线BM的斜率kBM=,所以kAMkBM=-=-.当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AM的斜率kAM=,同理直线BM的斜率kBM=,kAMkBM=.设直线l的斜
14、率为k(显然k0且k-1),则直线l的方程为y+1=k(x-3).联立消去x,得ky2-y-3k-1=0,所以y1+y2=,y1y2=-=-3-,故kAMkBM=-.综上,直线AM与直线BM的斜率之积为-.4（2018湖南天心.长郡中学高二开学考试（理）在直角坐标系中，曲线C：y=与直线交与M,N两点，（）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？说明理由.【答案】（）或（）存在【解析】【分析】（）由题设可得，或，.，故在=处的导数值为，C在处的切线方程为，即.故在=-处的导数值为-，C在处的切线方程为，即.故所求切线方程为或.（）
15、存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为复合题意得点，直线PM，PN的斜率分别为.将代入C得方程整理得.=.当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPM=OPN，所以符合题意.5（2020定远县育才学校高二月考（文）已知抛物线的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点为抛物线上一点.（1）求的方程； （2）若点在上，过作的两弦与，若，求证:直线过定点.【答案】（1）或； （2）证明见解析【解析】（1）当焦点在轴时，设的方程为，代人点得，即.当焦点在轴时，设的方程为，代人点得，即，综上可知：的方程为或.（2）因为点在上，所以曲线的方程为.设点，直线，显然存在，联立方程有：.,即即.直线即直线过定点.6（2020长春兴华高中高二期末（文）已知抛物线C；过点求抛物线C的方程；过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，求证：为定值【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由题意得，所以抛物线方程为 （2）设，直线MN的方程为，代入抛物线方程得 所以， 所以,所以，是定值