1、专题八选考内容8.1坐标系与参数方程(二选一)命题角度1极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化高考真题体验对方向1.(2019全国22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=1-t21+t2,y=4t1+t2(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos +3sin +11=0.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.解(1)因为-11-t21+t21,且x2+y22=1-t21+t22+4t2(1+t2)2=1,所以C的直角坐标方程为x2+y24=1(x-1).l的直角坐标方程为2x+3y+11=0.(2)由(
2、1)可设C的参数方程为x=cos,y=2sin(为参数,-).C上的点到l的距离为|2cos+23sin+11|7=4cos-3+117.当=-23时,4cos-3+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为7.2.(2018全国22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos -3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.解(1)由x=cos ,y=sin 得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径
3、为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-43时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43,经
4、检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=43时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-43|x|+2.3.(2018全国22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cos,y=4sin(为参数),直线l的参数方程为x=1+tcos,y=2+tsin(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.解(1)曲线C的直角坐标方程为x24+y216=1.当cos 0时,l的直角坐标方程为y=tan x+2-tan ,当cos =0时,l的直角坐标方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的
5、方程(1+3cos2)t2+4(2cos +sin )t-8=0,因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由得t1+t2=-4(2cos+sin)1+3cos2,故2cos +sin =0,于是直线l的斜率k=tan =-2.4.(2018全国22)在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为x=cos,y=sin(为参数),过点(0,-2)且倾斜角为的直线l与O交于A,B两点.(1)求的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.解(1)O的直角坐标方程为x2+y2=1.当=2时,l与O交于两点.当2时,记tan =k,则l的方程为y
6、=kx-2,l与O交于两点当且仅当21+k21,解得k1,即4,2或2,34.综上,的取值范围是4,34.(2)l的参数方程为x=tcos,y=-2+tsint为参数,434.设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=tA+tB2,且tA,tB满足t2-22tsin +1=0.于是tA+tB=22sin ,tP=2sin .又点P的坐标(x,y)满足x=tPcos,y=-2+tPsin.所以点P的轨迹的参数方程是x=22sin2,y=-22-22cos2为参数,434.5.(2017全国22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=3cos,y=sin,(为参数),直线l的参数
7、方程为x=a+4t,y=1-t,(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为17,求a.解(1)曲线C的普通方程为x29+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由x+4y-3=0,x29+y2=1,解得x=3,y=0或x=-2125,y=2425.从而C与l的交点坐标为(3,0),-2125,2425.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos ,sin )到l的距离为d=|3cos+4sin-a-4|17.当a-4时,d的最大值为a+917.由题设得a+917=17,所以a=8;当a0),M的极坐标为(1
8、,)(10).由题设知|OP|=,|OM|=1=4cos.由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程=4cos (0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点B的极坐标为(B,)(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB面积S=12|OA|BsinAOB=4cos sin-3=2sin2-3-322+3.当=-12时,S取得最大值2+3.所以OAB面积的最大值为2+3.典题演练提能刷高分1.(2019山西晋城高三第三次模拟考试)已知平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2+3cos,y=1+3sin(为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极
9、轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)过点(-2,1)的直线l与曲线C交于A,B两点,且|AB|=2,求直线l的方程.解(1)消去参数,可得曲线C的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=9,即x2+y2-4x-2y-4=0.由x=cos,y=sin(为参数)得曲线C的极坐标方程为2-4cos -2sin -4=0.(2)显然直线l的斜率存在,否则无交点.设直线l的方程为y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0.而|AB|=2,则圆心到直线l的距离d=r2-(AB2)2=9-1=22.又d=|4k|k2+1,所以|4k|k2+1=22,解得k=1.所以直线l的方程为x+y+1=
10、0或x-y+3=0.2.(2019辽宁葫芦岛高三第二次模拟考试)在直角坐标系xOy中,A(2,0),B(0,1),以O为极点,x轴的正半轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为42-12=2cos2.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)动点P是曲线C在第一象限的点,当四边形OAPB的面积最大时,求点P的直角坐标.解(1)由42-12=2cos2及cos=x,sin=y,得4(x2+y2)-12=x2,整理得x24+y23=1.故曲线C的直角坐标方程是x24+y23=1.(2)由动点P是曲线C在第一象限的点,设点P(2cos ,3sin )00)在曲线C:=4sin 上,直线l过点A(4,0)且与O
11、M垂直,垂足为P.(1)当0=3时,求0及l的极坐标方程;(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.解(1)因为M(0,0)在C上,当0=3时,0=4sin 3=23.由已知得|OP|=|OA|cos 3=2.设Q(,)为l上除P的任意一点.在RtOPQ中,cos-3=|OP|=2.经检验,点P2,3在曲线cos-3=2上.所以,l的极坐标方程为cos-3=2.(2)设P(,),在RtOAP中,|OP|=|OA|cos =4cos ,即=4cos .因为P在线段OM上,且APOM,故的取值范围是4,2.所以,P点轨迹的极坐标方程为=4cos ,4,2.3.(2017全国2
12、2)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为x=2+t,y=kt,(t为参数),直线l2的参数方程为x=-2+m,y=mk,(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos +sin )-2=0,M为l3与C的交点,求M的极径.解(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=1k(x+2).设P(x,y),由题设得y=k(x-2),y=1k(x+2).消去k得x2-y2=4(y0).所以C的普通方程为x2-y2=4(y0).(2)C的
13、极坐标方程为2(cos2-sin2)=4(00.设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=52,t1t2=4,则|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=34.2.(2019广东六校高三第四次联考)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为x=cos,y=sin(为参数),直线l的参数方程为x=-2+2413t,y=1013t(t为参数),点P的坐标为(-2,0).(1)若点Q在曲线C上运动,点M在线段PQ上运动,且PM=2MQ,求动点M的轨迹方程.(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求|PA|PB|的值.解(1)设Q(cos ,sin ),M(x,y),则由PM
14、=2MQ,得(x+2,y)=2(cos -x,sin -y),即3x+2=2cos,3y=2sin.消去,得x+232+y2=49,此即为点M的轨迹方程.(2)曲线C的普通方程为x2+y2=1,直线l的普通方程为y=512(x+2),设为直线l的倾斜角,则tan =512,sin =513,cos =1213.则直线l的参数方程可设为x=-2+1213t,y=513t(t为参数),代入曲线C的普通方程,得t2-4813t+3=0,由于=-48132-12=2761690,故可设点A,B对应的参数为t1,t2.则|PA|PB|=|t1|t2|=|t1t2|=3.3.在平面直角坐标系xOy中,曲线
15、C的参数方程为x=3+rcos,y=1+rsin(r0,为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为sin-3=1,若直线l与曲线C相切.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)在曲线C上取两点M,N与原点O构成MON,且满足MON=6,求MON面积的最大值.解(1)由题意可知直线l的直角坐标方程为y=3x+2,曲线C是圆心为(3,1),半径为r的圆,直线l与曲线C相切,可得r=|33-1+2|2=2;可知曲线C的方程为(x-3)2+(y-1)2=4,所以曲线C的极坐标方程为2-23cos -2sin =0,即=4sin+3.(2)由(1)不妨设M(1,),N2,
16、+6(10,20),SMON=12|OM|ON|sin 6=1412=4sin+3sin+2=2sin cos +23cos2=sin 2+3cos 2+3=2sin2+3+32+3.所以MON面积的最大值为2+3.4.在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为x=32t,y=12t(t为参数),圆C1的参数方程为x=1+cos,y=sin(为参数),圆C2的参数方程为x=4cos,y=4+4sin(为参数).若直线l分别与圆C1和圆C2交于不同于原点的点A和B.(1)以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,求圆C1和圆C2的极坐标方程;(2)求C2AB的面积.解(1)由题意可
17、知,圆C1的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0,极坐标方程为=2cos ,由题意可知,圆C2的直角坐标方程为x2+(y-4)2=16,即x2+y2-8y=0,极坐标方程为=8sin .(2)直线l的极坐标方程为=6(R),直线l与圆C1,C2交于不同于原点的点A,B,A=2cos6=3,B=8sin6=4,|AB|=|A-B|=4-3.又点C2(0,4)到直线AB的距离为23,SC2AB=12(4-3)23=43-3,C2AB的面积为43-3.5.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=cos,y=1+sin(为参数),曲线C2:x2+y22=1.以O为极点,x
18、轴的非负半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系.(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)射线=3(0)与曲线C1的异于极点的交点为A,与曲线C2的交点为B,求|AB|.解(1)曲线C1的参数方程x=cos,y=1+sin(为参数)可化为普通方程x2+(y-1)2=1,由y=sin,x=cos,可得曲线C1的极坐标方程为=2sin ,曲线C2的极坐标方程为2(1+cos2)=2.(2)射线=3(0)与曲线C1的交点A的极径为1=2sin 3=3,射线=3(0)与曲线C2的交点B的极径满足221+cos23=2,解得2=2105,所以|AB|=|1-2|=3-2105.6.
19、在直角坐标系xOy中,过点P(1,2)的直线l的参数方程为x=1+12t,y=2+32t(t为参数).以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=4sin .(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于M,N两点,求1|PM|+1|PN|的值.解(1)由已知得x-1=12t,y-2=32t,消去t得y-2=3(x-1),化为一般方程为3x-y+2-3=0,即l:3x-y+2-3=0.由=4sin 得,2=4sin ,即x2+y2=4y,整理得x2+(y-2)2=4,即C:x2+(y-2)2=4.(2)把直线l的参数方程x=1+12t,y=2+32t(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程中得:12t+12+32t2=4,即t2+t-3=0,设M,N两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-1,t1t2=-3,1|PM|+1|PN|=|PM|+|PN|PM|PN|=|t1|+|t2|t1t2|=|t1-t2|t1t2|=(t1+t2)2-4t1t2|t1t2|=133.
