1、第2课时柱体、锥体、台体的体积课时过关能力提升基础巩固1.已知圆台OO的上、下底面半径分别为2和4,高为9,则圆台OO的体积是()A.84B.60C.54D.40解析:V=(22+24+42)9=84.答案:A2.已知高为3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图),则三棱锥B1-ABC的体积为()A.B.C.D.解析:三棱锥B1-ABC的高h=3,底面面积S=SABC=12=,则Sh=3=.答案:D3.若将半径为2的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为()A.B.C.D.解析:设卷成圆锥的底面半径为r,母线长为l,则l=2,2r=2,所以r=1,卷成圆锥的体积V=r2h=12,故
2、选A.答案:A4.某几何体的正视图与俯视图如图所示,侧视图与正视图相同,且图中的四边形都是边长为1的正方形,其中正视图中的两条虚线互相垂直,则该几何体的体积为()A.B.C.D.解析:由三视图知该几何体是在棱长为1的正方体中挖去一个倒放的底面与正方体上底面重合、高为的四棱锥,故所求体积为V=1-1.答案:D5.已知一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为()A.B.C.6D.7解析:由三视图知该多面体是由正方体割去两个角所成的图形,如图所示,则V=V正方体-2V锥体=8-2111=.答案:A6.已知圆锥SO的高为4,体积为4,则底面半径r=.解析:设底面半径为r,则r24=4,解得r=,
3、即底面半径为.答案:7.某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为.解析:由三视图可知,四棱柱的高h为1,底面为等腰梯形,且底面面积S=(1+2)1=,故四棱柱的体积V=Sh=.答案:8.如图,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,则圆柱被截后剩余部分的体积是.解析:两个同样的该几何体能拼接成一个高为a+b的圆柱,则拼接成的圆柱的体积V=r2(a+b),所以所求几何体的体积为.答案:9.已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.解析:由三视图可知该几何体是一个三棱锥,且底面积为S=21=,高为1,所以该几何体的体积为V=1=.答案:10.一座金
4、字塔的形状为四棱锥,底面正方形的原边长为230 m,由于塔外层石灰石脱落,现在底边减短为227 m,塔原高为146.59 m,因顶端剥落,现高为136.5 m.问这座金字塔现在的体积约是多少立方米?(精确到1 m3)解:如图,高h=AC=136.5 m,底面面积S=2272 m2,所以V=SAC=2272136.52 344 570(m3).故这座金字塔现在的体积约是2 344 570 m3.能力提升1.若一个螺栓的底面是正六边形,它的正视图和俯视图如图所示,则它的体积是()A.B.3C.9D.9解析:该螺栓的上部是圆柱,下部是六棱柱,圆柱的底面半径为0.8,高为2,则圆柱的体积是0.822=
5、,六棱柱的体积是=9,故螺栓的体积是9.答案:C2.在ABC中,AB=2,BC=3,ABC=120.若将ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体的体积是()A.6B.5C.4D.3解析:如图,所形成的几何体是从一个大圆锥中挖去一个小圆锥后剩下的部分,这两个圆锥的底面半径r=AD=ABsin 60=2,小圆锥的高BD=ABcos 60=2=1,大圆锥的高CD=BD+BC=1+3=4,故所形成的几何体的体积是()24-()21=3.答案:D3.如图,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的几何体.当这个几何体水平放置时,液面高度为20 cm(轴截面如
6、图),当这个几何体倒立放置时,液面高度为28 cm(轴截面如图),则这个几何体的总高度为()A.29 cmB.30 cmC.32 cmD.48 cm解析:在题图和题图中,瓶子上部没有液体的部分容积相等,设这个几何体的总高度为h,则有12(h-20)=32(h-28),解得h=29(cm).答案:A4.如图,在三棱柱ABC-ABC中,若E,F分别为AC,AB的中点,平面ECBF将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF-ACB的体积)、V2的两部分,则V1V2=.解析:设三棱柱的高为h,底面面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh.因为E,F分别为AC,AB的中点,所以SAEF=S,所以V1=Sh,V
7、2=V-V1=Sh.所以V1V2=75.答案:755.如图是一个几何体的三视图,若它的体积是3,则a=.解析:由三视图可以推断,该几何体是放倒的三棱柱,其底面是底边为2的等腰三角形(底边上的高为a),高为3.由题意知,V=2a3=3,所以a=.答案:6.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.解析:由三视图知四棱锥的高为3,底面平行四边形的底为2,高为1,因此该四棱锥的体积为V=(21)3=2.故答案为2.答案:27.降水量是指水平平面上单位面积降水的深度,现用上口直径为38 cm,底面直径为24 cm,深度为35 cm的圆台形水桶(轴截
8、面如图所示)来测量降水量.如果在一次降雨过程中,此桶盛得的雨水正好是桶深的,求本次降雨的降水量是多少毫米?(精确到1 mm)解:因为这次降雨的雨水正好是桶深的,所以水深为35=5(cm).如图,设水面半径为 r cm,在ABC中,所以=7,r=13.所以V水=(122+132)5=(cm3).水桶的上口面积是S=192=361(cm2),所以1022 (mm).故此次降雨的降水量约是22 mm.8.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的侧面积S.解:由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6和8的矩形,高为4的四棱锥.设底面矩形为ABCD,如图所示,则AB=8,BC=6,高VO=4.(1)V=(86)4=64.(2)四棱锥的侧面VAD,VBC是全等的等腰三角形,侧面VAB,VCD也是全等的等腰三角形.在VBC中,BC边上的高h1=4.在VAB中,AB边上的高h2=5.所以此几何体的侧面积S=2=40+24.