1、7简单几何体的面积和体积7.1简单几何体的侧面积学习目标1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法(重点)；2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题(重、难点)；3.培养空间想象能力和思维能力(难点).知识点一侧面积的概念把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展开在一个平面上，展开图的面积就是它们的侧面积.【预习评价】圆柱OO及其侧面展开图如下，则其侧面积为多少？表面积为多少？提示S侧2rl，S表2r(rl).识点二圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式几何体侧面展开图侧面积公式圆柱S圆柱侧cl
2、2rlr底面半径l圆柱母线长c底面圆周长圆锥S圆锥侧clrlr底面半径l圆锥母线长c底面圆周长圆台S圆台侧(c1c2)l(r1r2)lr1、r2上、下底面半径c1、c2上、下底面圆周长l侧面母线长【预习评价】一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为()A.12 B.18 C.24 D.36解析由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r3，母线l5，S表rlr224.故选C.答案C知识点三直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图及侧面积公式几何体侧面展开图侧面积公式直棱柱S直棱柱侧chc底面周长h高正棱锥S正棱锥侧chc底面周长h斜高正棱台S正棱台侧(cc)hc、c上、下底面周长h
3、斜高【预习评价】一个几何体的三视图(单位长度：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A.(8016)cm2 B.84 cm2C.(9616)cm2 D.96 cm2解析该几何体是四棱锥与正方体的组合，S表面积42548016(cm2).答案A题型一旋转体的表面积和侧面积【例1】设圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60，且轴截面的一条对角线垂直于腰，求圆台的侧面积.解如图所示，作出轴截面A1ABB1，设上、下底面半径、母线长分别为r、R、l，作A1DAB于D，则A1D3，A1AB60.BA1A90，BA1D60，ADA1Dtan 303Rr，BDA1Dtan 6033
4、Rr.R2，r，lA1A2.圆台的侧面积S侧(rR)l(2)218.即圆台的侧面积是18.规律方法(1)旋转体侧面积的计算一般通过轴截面寻找其中的数量关系.(2)解决台体的问题通常要还台为锥，求面积时要注意侧面展开图的应用，上、下底面圆的周长是展开图的弧长.【训练1】(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.3 B.4 C.24 D.34(2)圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180，那么圆台的表面积是_cm2(结果中保留).解析(1)由三视图可知：该几何体为：故表面积为：r2ll22434.(2)如图所示，设圆台的上底面周长为c
5、，因为扇环的圆心角是180，故cSA210，所以SA20，同理可得SB40，所以ABSBSA20，所以S表面积S侧S上S下(r1r2)ABrr(1020)201022021 100(cm2).故圆台的表面积为1 100 cm2.答案(1)D(2)1 100题型二多面体的表面积【例2】如图所示，已知六棱锥PABCDEF，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心，底面边长为2 cm，侧棱长为3 cm.求六棱锥PABCDEF的表面积.解先求底面正六边形的面积：S六边形ABCDEF6SOBC622sin 606.又S侧面6SPCD62 612.S六棱锥表S六边形ABCDEFS侧
6、面(612)cm2.规律方法多面体中的有关计算通常转化为平面图形(三角形或特殊的四边形)来计算，对于棱锥中的计算问题往往要构造直角三角形，即棱锥的高、斜高以及斜高在底面上的投影构成的直角三角形，或者由棱锥的高、侧棱以及侧棱在底面上的投影构成的直角三角形.【训练2】已知正四棱台(上、下底面是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积.解方法一如图，E、E1分别是BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O12.连接OE、O1E1，则OEAB126，O1E1A1B13.过E1作E1HOE，垂足
7、为H，则E1HO1O12，OHO1E13，HEOEO1E1633.在RtE1HE中，E1E2E1H2HE2122323217，所以E1E3.所以S侧4(B1C1BC)E1E2(612)3108.方法二如图，正四棱台的侧棱延长交于一点P.取B1C1、BC的中点E1、E，则EE1的延长线必过P点(以后可以证明).O1、O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心.由正棱锥的定义，CC1的延长线过P点，且有O1E1A1B13，OEAB6，则有，即，所以PO1O1O12.在RtPO1E1中，PEPOO1E122323217，在RtPOE中，PE2PO2OE2242626217，所以E1EPEP
8、E1633.所以S侧4(BCB1C1)E1E2(126)3108.【探究1】某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是_cm2.解析该几何体如图所示，长方体的长，宽，高分别为6 cm，4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，所以表面积S2(4643)36339939138(cm2).答案138【探究2】如图ABC中，AC3，BC4，AB5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积.解过C点作CDAB于点D.如图所示，ABC以AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，这两个圆锥的高的和为
9、AB5，底面半径DC，故S表DC(BCAC).【探究3】已知梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADa，BC2a，DCB60，在平面ABCD内，过点C作lCB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积.解如题图所示，所得几何体为一个圆柱除去一个圆锥.在直角梯形ABCD中，ADa，BC2a，AB(2aa)tan 60a，DC2a.又DDDC2a.S表S圆环S圆柱侧S圆CS圆锥侧(2a)2a222aa(2a)2a2a(94)a2.规律方法求解组合体表面积的解题思路：求解组合体的表面积问题首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体后，先求这些几何体的表面积
10、，再通过求和或作差，得到所求组合体的表面积.若遇到与旋转体有关的问题，应根据条件确定各个旋转体的底面半径和母线长，再代入公式求解；若遇到与三视图有关的问题，要能够利用三视图的相关知识确定几何体的结构特征和相关数据，最后运用相应表面积公式求解.课堂达标1.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是()A. B.C. D.解析设圆柱底面半径、母线长分别为r，l，由题意知l2r，S侧l242r2.S表S侧2r242r22r22r2(21)，.答案A2.若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成45角，则这个圆台的侧面积是()A.27 B.27C.9
11、D.36解析上底半径r3，下底半径r6，母线长l3，S侧(rr)l(36)327.答案B3.圆台的母线长扩大为原来的n倍，两底面半径都缩小为原来的倍，那么它的侧面积变为原来的_倍.解析由S侧(rr)l，当r，r缩小倍，l扩大n倍时，S侧不变.答案14.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为_.解析S圆柱22aa2，S圆锥aa2，S圆柱S圆锥21.答案215.一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积.解这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半.根据图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为，母线长为2，几何体的表面积是两个
12、半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S1222(12)2(24)3.课堂小结1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积.2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解.3.S圆柱表2r(rl)；S圆锥表r(rl)；S圆台表(r2rlRlR2).基础过关1.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为()A. B.C. D.
13、解析由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为，表面积S21212.答案C2.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为()A.2 B.2 C. D.解析如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为ABC的边长，且SABCAB2，AB2，AB2.答案A3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为()A.11 B.1C.1 D.12解析设正方体棱长为a，由题意知，三棱锥的各面都是正三角形，其表面积为4SAB1D14a22a2.正方体的表面积为6a2，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为2
14、a26a21.答案C4.若圆台的上、下底面半径和母线长的比为145，高为8，则其侧面积为_.解析设圆台上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，则rk，R4k，l5k(k0)，则(5k)2(3k)282，k2，从而r2，R8，l10，S侧(28)10100.答案1005.某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_.解析由三视图，画出几何体的直观图易求得基本量，如图所示，其表面积S24(2455)286492.答案926.一个直角梯形ABCD的两底边长分别为AD2，BC5，高AB4，将其绕较长的底边旋转一周，求所得旋转体的表面积.解如图，作DMBC于点M，则DMAB4，MCBCAD523.在R
15、tCMD中，CD5.当梯形ABCD绕底边BC旋转一周后，得到同底的圆柱与圆锥的组合体，其中AB边形成圆柱的一个底面，AD边形成圆柱的侧面，CD边形成圆锥的侧面，将它们的面积分别设为S1，S2，S3，则所求旋转体的表面积为SS1S2S3，即S422424516162052.故所求旋转体的表面积是52.7.正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的表面积.解如图，设PO3，PE是斜高，S侧2S底，4BCPE2BC2，BCPE.在RtPOE中，PO3，OEBCPE.9()2PE2，PE2.S底BC2PE2(2)212.S侧2S底21224.S表S底S侧122436.能力提升8.某多面体的三视图如
16、图所示，其中主视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A.10 B.12C.14 D.16解析由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相同的梯形的面，S梯(24)226，S全梯6212，故选B.答案B9.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32，则母线长为()A.2 B.2 C.4 D.8解析圆台的轴截面如图，由题意知，l(rR)，S圆台侧(rR)l2ll32，l4.答案C10.长方体ABCDA1B1C1D1中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一个小虫从A出发沿长方体表
17、面爬行到C1来获取食物，则其路程的最小值为_.解析把长方体含AC1的面作展开图，有三种情形如图所示：利用勾股定理可得AC1的长分别为、.由此可见图(2)是最短路线，其路程的最小值为.答案11.如图，底面为菱形的直棱柱ABCDA1B1C1D1的两个对角面ACC1A1和BDD1B1的面积分别为6和8，则棱柱的侧面积为_.解析设底面边长为x，高为h，则有AC，BD，底面ABCD为菱形，AC与BD互相垂直平分，x2，x，S侧4xh4h20.答案2012.用一张48(cm2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求该圆柱的表面积.解根据卷的方法不同，可分为两种情况：(1)以矩形8 cm的边为母线，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，设底面半径为r1，则底面周长为2r14(cm)，r1 cm，底面积之和为 cm2，S表 cm2.(2)以矩形4 cm的边为母线，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，设底面半径为r2，则底面周长为2r28(cm)，r2(cm)，底面积之和为 cm2，S表 cm2.13.(选做题)已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？解(1)作圆锥的轴截面，如图所示.因为，所以rRx，所以S圆柱侧2rx2Rxx2(0xH).(2)因为0，所以当x时，S圆柱侧最大.故当x，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大.