1、2.3.2向量数量积的运算律课时过关能力提升1.已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是()A.abB.abC.|a|=|b|D.a+b=a-b解析:|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2,|a-b|2=|a|2-2ab+|b|2.因为|a+b|=|a-b|,所以|a|2+2ab+|b|2=|a|2-2ab+|b|2,即2ab=-2ab,所以ab=0,所以ab.故选B.答案:B2.设向量a,b,c满足a+b+c=0,ab,|a|=1,|b|=2,则|c|2等于()A.1B.2C.4D.5解析:由a+b+c=0得c=-(a+b),于是|c|2=|-(a+b)|2=|
2、a|2+2ab+|b|2=1+4=5.答案:D3.已知|a|=3,|b|=4,且(a+kb)(a-kb),则实数k的值为()A.B.C.D.解析:由(a+kb)(a-kb)知(a+kb)(a-kb)=0,即|a|2-k2|b|2=0,因此9-16k2=0,所以k=.答案:A4.已知a,b是非零向量,满足(a-2b)a,(b-2a)b,则a与b的夹角是()A.B.C.D.解析:由已知得(a-2b)a=0,因此|a|2-2ab=0.同理(b-2a)b=0,即|b|2-2ab=0,于是有|a|=|b|,且ab=|a|2,从而cos=,又0,所以a与b的夹角为.答案:B5.如图,在菱形ABCD中,下列
3、关系式不正确的是()A.B.()()C.()()=0D.解析:由于,所以,故D项不正确.答案:D6.如图,在ABC中,ADAB,|=1,则等于()A.2B.C.D.解析:由图可得=().ADAB,=0.又,)=0+|2=.=0+.答案:D7.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为,以a,b为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条对角线的长度为.答案:8.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中ij=0,|i|=|j|=1,则ab=.答案:-639.设O,A,B,C为平面上的四个点,=a,=b,=c,且a+b+c=0,ab=bc=ca=-1,则
4、|a|+|b|+|c|=.答案:310.在边长为1的等边三角形ABC中,设=2=3,则=.解析:由已知得),所以)-|2-=-.答案:-11.设ab,且|a|=2,|b|=1,k,t是两个不同时为零的实数.(1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直,求k关于t的函数关系式k=f(t);(2)求出函数k=f(t)的最小值.解:(1)ab,ab=0.又xy,xy=0,即a+(t-3)b(-ka+tb)=0,-ka2-k(t-3)ab+tab+t(t-3)b2=0.|a|=2,|b|=1,-4k+t2-3t=0,k=(t2-3t)(t0),即k=f(t)=(t2-3t)(t0).(2)由(1)知k=f(t)=(t2-3t)=,故函数k=f(t)的最小值为-.12.已知|a|=,|b|=1,向量a与b的夹角为45,求使向量(2a+b)与(a-3b)的夹角为锐角的的取值范围.解:设向量(2a+b)与(a-3b)的夹角为.两向量的夹角为锐角,0,(2a+b)(a-3b)0,即2a2+(2-6)ab-3b20.a2=|a|2=2,b2=|b|2=1,ab=|a|b|cos 45=1=1,4+2-6-30,即2+-60,2.设2a+b=k(a-3b)=ka-3kb,2=-6,则不存在,即向量(2a+b)与(a-3b)不共线.使向量(2a+b)与(a-3b)的夹角为锐角的的取值范围为2.
